教學(xué)要求：

1、熟練掌握點(diǎn)的三面投影規(guī)律及兩點(diǎn)的相對(duì)位置；

2、掌握各種空間直線的投影特性及其基本作圖方法；熟悉點(diǎn)與直線、直線與直線的相對(duì)位置及其判別。教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)的投影規(guī)律，點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與直線、直線與直線的相對(duì)位置及其判別。教學(xué)難點(diǎn)：相對(duì)位置及其判別教學(xué)方法：講授+自學(xué)+實(shí)訓(xùn)

2.2點(diǎn)與直線的投影本節(jié)內(nèi)容：一、點(diǎn)的投影二、直線的投影點(diǎn)的投影規(guī)律兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn)各種位置直線的投影特性直線上點(diǎn)的投影兩直線的相對(duì)位置XYZO直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)：點(diǎn)A（x，y，z）一、點(diǎn)的投影AXYZOA●a●a●a（x，z）（x，y）（y，z）Pb●●AP采用三面投影。過空間點(diǎn)A的投射線與投影面P的交點(diǎn)a即為點(diǎn)A在P面上的投影。B1●B2●B3●點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。點(diǎn)的投影特性a●解決辦法？HWV點(diǎn)的三面投影體系投影面◆正面投影面（簡稱正面或V面）◆水平投影面（簡稱水平面或H面）◆側(cè)面投影面（簡稱側(cè)面或W面）投影軸oXZOX軸

V面與H面的交線OZ軸

V面與W面的交線OY軸

H面與W面的交線三投影面互相垂直它與坐標(biāo)系有什么不同？Y點(diǎn)A在三投影面體系中的投影WHVOXZYa●a●a●

A●a點(diǎn)A的正面投影a點(diǎn)A的水平投影a點(diǎn)A的側(cè)面投影規(guī)定：空間點(diǎn)用大寫字母表示，如A、B、C等，水平投影用相應(yīng)的小寫字母a、b、c表示，正面投影用相應(yīng)的小寫字母加撇表示，如a′、b′、c′，側(cè)面投影用相應(yīng)的小寫字母加兩撇表示，如a″、b″、c″。

投影面展開①aa⊥OX軸，V、H投影長對(duì)正；

a′a″⊥Z軸，V、W投影高平齊；

aay⊥YH，a″ay⊥YW即H、W投影寬相等。②

aax=aaz=y=A到V面的距離;aax=aay=z=A到H面的距離;aay=aaz=x=A到W面的距離。●●YZazaXYayOaaxaya●點(diǎn)的投影規(guī)律：WHVOXZYa●a●a●

A●點(diǎn)的三面投影和坐標(biāo)的關(guān)系（x，z）（x，y）（y，z）A（x，y，z）aa′a″（x，y）（x，z）（y，z）若把三個(gè)投影面當(dāng)作空間直角坐標(biāo)面，投影軸當(dāng)作直角坐標(biāo)軸，則點(diǎn)的空間位置可用其（X、Y、Z）三個(gè)坐標(biāo)來確定，點(diǎn)的投影就反映了點(diǎn)的坐標(biāo)值，其投影與坐標(biāo)值之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系。●●aaax例1：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影。●a●●aaaxazaz解法一:通過作45°線使aaz=aax解法二:用分規(guī)直接量取aaz=aaxa●例2：已知點(diǎn)A（10，12，15），求作它的三面影。XZYHYWO分析：A（10，12，15）a′aa″（10，15）（10，12）（12，15）aaa特殊位置點(diǎn)：ddeeffefdzxYW

YH0例3：已知點(diǎn)的兩投影，求其第三投影daaa點(diǎn)的投影規(guī)律:②

aax=aaz=y（A到V面的距離）aax=aay=z（A到H面的距離）aay=aaz=x（A到W面的距離）①aa⊥OX軸，V、H投影長對(duì)正；

a′a″⊥Z軸，V、W投影高平齊；

aay⊥YH，a″ay⊥YW即H、W投影寬相等。空間點(diǎn)

點(diǎn)的X、Y、Z三個(gè)坐標(biāo)均不為零，其三個(gè)投影都不在投影軸上。投影面上的點(diǎn)

點(diǎn)的某一個(gè)坐標(biāo)為零，其一個(gè)投影與投影面重合，另外兩個(gè)投影分別在投影軸上。投影軸上的點(diǎn)

點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)為零，其兩個(gè)投影與所在投影軸重合，另一個(gè)投影在原點(diǎn)上。與原點(diǎn)重合的點(diǎn)

點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)為零，三個(gè)投影都與原點(diǎn)重合。

各種位置點(diǎn)的投影兩點(diǎn)的相對(duì)位置

兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法：兩點(diǎn)間的相對(duì)位置可通過它們的坐標(biāo)差來確定。◆x坐標(biāo)大的在左

◆y坐標(biāo)大的在前◆z坐標(biāo)大的在上B點(diǎn)在A點(diǎn)之左、之前、之下。無軸投影圖

不畫投影軸的投影圖，稱為無軸投影圖。無軸投影圖是根據(jù)相對(duì)坐標(biāo)來繪制的，其投影圖仍符合點(diǎn)的投影規(guī)律。例4：已知點(diǎn)A的三投影，又知另一點(diǎn)B對(duì)點(diǎn)A的相對(duì)坐標(biāo)△X=－12，△Y=－8，△Z=10，求點(diǎn)B的三投影。分析：點(diǎn)A是參考點(diǎn)，根據(jù)相對(duì)坐標(biāo)△X、△Y、△Z的正負(fù)值，可判定點(diǎn)B在點(diǎn)A的右方、后方和上方。注意：側(cè)面投影△Y的量取方向

兩點(diǎn)的相對(duì)位置是根據(jù)兩點(diǎn)相對(duì)于投影面的距離遠(yuǎn)近（或坐標(biāo)大小）來確定的。X坐標(biāo)值大的點(diǎn)在左；Y坐標(biāo)值大的點(diǎn)在前；Z坐標(biāo)值大的點(diǎn)在上。

根據(jù)一個(gè)點(diǎn)相對(duì)于另一點(diǎn)上下、左右、前后坐標(biāo)差，可以確定該點(diǎn)的空間位置并作出其三面投影。兩點(diǎn)的相對(duì)位置例5：已知點(diǎn)B的投影和點(diǎn)A的兩個(gè)投影，求點(diǎn)A的第三個(gè)投影。b

bb

a

a解法一：a

b

bb

a

aa

△y△y解法二：例5：已知點(diǎn)B的投影和點(diǎn)A的兩個(gè)投影，求點(diǎn)B的第三個(gè)投影。重影點(diǎn)：空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。A、C為H面的重影點(diǎn)A、C為哪個(gè)投影面的重影點(diǎn)呢？●●●●●aacc()ac()被擋住的投影加()注意：重影點(diǎn)在三對(duì)坐標(biāo)值中，必定有兩對(duì)相等。從投影方向觀看，重影點(diǎn)必有一個(gè)點(diǎn)的投影被另一個(gè)點(diǎn)的投影遮住而不可見。判斷重影點(diǎn)的可見性時(shí)，需要看重影點(diǎn)在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點(diǎn)的投影可見，反之不可見，不可見點(diǎn)的投影加括號(hào)表示。二、直線的投影

兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同面投影用直線連接，就得到直線在該投影面上的投影直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性一、直線的投影特性AB●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點(diǎn)積聚性直線平行于投影面投影反映線段實(shí)長

ab=AB

實(shí)形性直線傾斜于投影面投影比空間線段短ab=ABcosα類似性●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●aaabbb●●●●●●直線投影的基本特性

一般情況下，直線的投影仍然為直線，特殊情況積聚為一點(diǎn)。二、直線在三個(gè)投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面而與其余兩投影面平行各種位置直線的投影特性投影面的平行線

各種位置直線的投影特性投影面的平行線

規(guī)定：與H面的夾角為α；與V面的夾角為β；與W面的夾角為γ。baabab正平線γαβγ水平線baaabbbaabba側(cè)平線αβ投影面平行線的投影特性：在與線段平行的投影面上的投影反映實(shí)長，該線段的投影為傾斜的線段（反映直線與另兩個(gè)投影面的傾角）。其余兩個(gè)投影分別平行于相應(yīng)的投影軸，且都小于實(shí)長。投影面的垂直線

各種位置直線的投影特性投影特性：投影面的垂直線

各種位置直線的投影特性②其余兩個(gè)投影分別平行于相應(yīng)的投影軸，且都反映實(shí)長。①在其垂直的投影面上，投影積聚為一點(diǎn)。一般位置直線

各種位置直線的投影特性一般位置直線

各種位置直線的投影特性一般位置直線

各種位置直線的投影特性投影特性：三個(gè)投影都是傾斜線段，且都小于實(shí)長。

如何求實(shí)長？（1）求直線的實(shí)長及對(duì)水平投影面的夾角ABbbaaCXO|zA-zB|ABab|zA-zB|XaabbAB|zA-zB|abAB|zA-zB

|ABbbaaCXO（2）求直線的實(shí)長及對(duì)正面投影面的夾角

|YA-YB|aXabbabAB|YA-YB|AB|YA-YB|ABab|YA-YB|XZYO（3）求直線的實(shí)長及對(duì)側(cè)面投影面的夾角

ABbbabaaZXab”aOYHYWabb|XA-XB||XA-XB|ABabbXabAB例1：已知如圖，線段的實(shí)長為AB，求它的水平投影。a|zA-zB|ab|yA-yB|怎樣在“原圖”上求作？a有兩種方法，有兩解|yA-yB|abAB|zA-zB|直線與點(diǎn)的相對(duì)位置空間直線上的點(diǎn)：直線AB上K點(diǎn)的諸投影必在直線AB的同面投影上，且分直線及其投影成定比。

直線上的點(diǎn)具有兩個(gè)基本特性：屬于性：若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的諸投影必在直線的同面投影上，且遵守點(diǎn)的投影規(guī)律，反之亦然。定比性：線段上的點(diǎn)分割線段及其投影成定比。即：AK：KB

=a'k'：k'b'=a

k：kb=a"k"

：k"b"

定比定理利用這兩個(gè)特性可以在直線上取點(diǎn)，或判斷已知點(diǎn)是否在直線上。例2：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。②cabcab●●abcabc①●●在不在ab●c●●aabcb③c不在應(yīng)用定比定理另一判斷法?bXaabc例3：已知點(diǎn)C在線段AB上，求點(diǎn)C的正面投影。cabacabac解法一：應(yīng)用定比定理。例3：已知點(diǎn)C在線段AB上，求點(diǎn)C的正面投影。解法一：應(yīng)用定比定理。bXaabc解法二：應(yīng)用第三投影。abkkbbXaaBC=L例4：已知點(diǎn)C在線段AB上，試作出點(diǎn)C的投影，使BC

的實(shí)長等于已知長度L。cLczB-zAabABC兩直線的相對(duì)位置平行相交交叉垂直相交空間兩直線的相對(duì)位置平行相交交叉同面直線異面直線垂直相交一般相交垂直交叉一般交叉兩直線平行投影特性：空間兩直線平行，則其同面投影必互相平行，反之亦然。aVHcbcdABCDbdaabcdcabd例5：判斷圖中兩條直線是否平行。對(duì)于一般位置直線，只要有兩個(gè)同面投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CDbdcacbaddbac對(duì)于特殊位置直線，只有兩個(gè)同面投影互相平行，空間直線不一定平行。求出側(cè)面投影后可知：AB與CD不平行。例6：判斷圖中兩條直線是否平行。作出側(cè)面投影如何判斷？兩直線相交HVABCDKabcdkabckdabcdbacdbcdakkk若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間點(diǎn)的投影規(guī)律。交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)●●cabbacdkkd例7：過C點(diǎn)作水平線CD與AB相交。先作正面投影dbaabcdc1(2)3(4)兩直線交叉★同面投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間點(diǎn)的投影規(guī)律。★“交點(diǎn)”是兩直線上的一對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影點(diǎn)，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點(diǎn)。為什么？兩直線相交嗎？12●●3

4●●投影特性：例8：判斷圖中兩直線的相對(duì)位置baacddcbX11直線AB與CD交叉！可否作側(cè)面投影來判別？XOBDACbbaaccdd(3)41(2)4312ⅠⅡ判斷兩直線重影點(diǎn)的可見性

判斷重影點(diǎn)的可見性時(shí)，需要看重影點(diǎn)在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點(diǎn)投影可見，反之不可見，不可見點(diǎn)的投影加括號(hào)表示。ⅢⅣ例9：判斷兩直線重影點(diǎn)的可見性bbcddcXaaⅠ、Ⅱ是H面的重影點(diǎn)Ⅲ、Ⅳ是V面的重影點(diǎn)121(2)3(4)34兩直線垂直相交（或垂直交叉）直角投影定理：若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角。設(shè)直角邊BC//H面因

BC⊥AB,同時(shí)BC⊥Bb所以

BC⊥ABba平面直線在H面上的投影互相垂直即∠abc為直角因此

bc⊥ab故

bc⊥ABba平面又因

BC∥bcABCabcHacbabc.證明：dabcabc●●d例10：過C點(diǎn)作直線CD與AB垂直相交。AB為正平線,正面投影反映直角。例11:已知直線AB的兩面投影和C點(diǎn)的水平投影,試過C點(diǎn)作一條直線CE垂直于AB。

cbab'a'OXee'c'e1e1'c1'作法一：作法二：想一想，CE是不是點(diǎn)C到直線AB的距離？再想想，為什么有兩個(gè)距離？因?yàn)橛袃山猓狐c(diǎn)C與點(diǎn)C1。ffOcbaabXcddee例12：過點(diǎn)E作線段AB、CD的公垂線EF。Xa

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