2022-2023學年山西省晉城市第一中學校高二上學期11月月考數學

試題

一、單選題

1.401是等差數列5,9,13…，的第項.（）

A.98B.99C.100D.101

【答案】C

【分析】根據等差數列定義和通項公式即可.

【詳解】等差數列5,9,13,…中，

首項卬=5,公差"=9-5=4,

/.an=5+（〃-1）x4=4〃+1

?/an=4〃+1=401

n—100.

故401是等差數列5,9,13…的第100項.

故選：C.

3

y——

2.準線為4的拋物線標準方程是（）

【答案】A

_e=_3

【分析】先分析拋物線的焦點位置，進而可得2-4,求出P的值，進而可得答案.

3

y——

【詳解】解：根據題意，若拋物線的準線為4,則拋物線的焦點在夕軸正半軸軸上,

設拋物線方程為1=2勿，

p33

---=—p——

則24,故2,

則拋物線的標準方程為-=,

故選：A.

3.在棱長為1的正方體中，設'8=°,/。=及，4=c,則7@+工）的值為（）

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】B

【分析】由正方體的性質可知兩兩垂直，從而對7@+工）化簡可得答案

【詳解】由題意可得

所以a_LAa，c,所以4;=0,。?。=0,

所以q-（〃+c）=ai+a-c=O

故選：B

4.《九章算術》是我國秦漢時期一部杰出的數學著作，書中第三章“衰分”有如下問題：“今有大夫、

不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何?''意思是：”有

大夫、不更、簪褰、上造、公士（爵位依次變低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出

錢數成遞增等差數列，這5個人各出多少錢?”在這個問題中，若不更出17錢，則公士出的錢數為

（）

A.10B.14C.23D.26

【答案】D

【分析】設大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的錢數依次構成等差數列根據/前5

項和為100求解.

【詳解】解：設大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的錢數依次排成一列，構成數列缶”｝.

由題意可知,等差數列0｝中的=17,前5項和為100,

設公差為“①〉。），前"項和為S1

則=5%=100,解得%=20,

所以=3,

所以公士出的錢數為牝=03+24=20+2x3=26,

故選：D.

5.設工為等差數列｛叫的前〃項和，若$9=3乃，則cos37-S2）=（）

B_731」

A.2B.2C.2D.2

【答案】C

_7C

【分析】利用等差數列求和公式和等差數列性質，求出生一孑，原式轉化為c°s（5%）,利用誘導公

式即可求解.

Q+q)x92a5X9)

Sc?=———-——=—2——=9a.=3zra,=—

【詳解】因為22，所以3,

5萬1

i、COS(57-S2)=cos(a3-+-a4+a5+a6-^-a1)=cos5a5=cos—=—

故選：C.

、—=1—

6.已知直線V=2x+f與橢圓4相交于A、B兩點,若線段N2的中點縱坐標為2,則

t=（）

15_1517

A.8B.2C.2D.2

【答案】D

y=2x+t

任+2=1

【分析】聯立直線與橢圓方程得￡+'一,整理得17/+16比+4*一4=0,設'（演，必）、

8（當，％）,利用韋達定理和中點坐標公式，即可得出答案.

y=2x+，

321

---FV=1

【詳解】解：聯立直線與橢圓方程得14?，整理得17/+16a+4f2-4=°,

設“G，M）、以和%）,貝然=2%+//2=2七+/

???西+丫2=一與，占.々=^^，乂+了2=2（西+匕）+2'=2*[—號）+2/=3

???線段Z8的中點縱坐標為5,

2tt17

弘+必=—=1t=—

17解得2,

故選：D.

7.如圖，一個底面半徑為尺的圓柱被與其底面所成角為的平面所截，截面是一個

橢圓，當e為30,時，這個橢圓的離心率為

1皂正2

A.2B.2C.3D.3

【答案】A

【詳解】由橢圓的性質得，橢圓的短半軸6=R,

__2R_2石。

2Q=-------a=-----R

因為截面與底面所成角為6,所以橢圓的長軸長cose,得3

e—_C=_1

所以橢圓的離心率a2

故選A

【解析】橢圓的幾何性質.

8.己知函數/（x）在（-1,+8）上單調，且函數y=/（x-2）的圖象關于x=l對稱，若數列

｛〃〃｝是公差不為0的等差數列，且"，）=/（%）則｛加｝的前100項的和為（）

A.-200B.-100C.0D.-50

【答案】B

【分析】由函數y=/'（x-2）的圖象關于x=l軸對稱，平移可得y=/（x）的圖象關于x=-l對

稱，由題意可得。5。+。*=-2,運用等差數列的性質和求和公式，計算即可得到所求和.

【詳解】解：函數/（x）在（-1,+8）上單調，且函數y=/（x-2）的圖象關于x=l對稱，

可得y=/（x）的圖象關于x=-1對稱，

由數列｛〃〃｝是公差不為0的等差數列，且/（的。）=/（%/），

可得。5。+的/=-2,又｛〃〃｝是等差數列，

所以ai+ai（）（）=a5（）+a｝i=-2,

100（4+loo）__

則｛"〃｝的前100項的和為2100

故選從

【點睛】本題考查函數的對稱性及應用，考查等差數列的性質，以及求和公式，考查運算能力，屬

于中檔題.

二、多選題

9.以下四個命題表述正確的是（）

A.直線（3+加）》+勺-3+3〃?=0（加€幻恒過定點（-3,-3）

B.圓f+/=4上有且僅有3個點到直線/：x-y+也=°的距離都等于1

C.曲線G：/+V2+2x=0與曲線G：x2+V-4x_8y+/n=0恰有三條公切線，則加=4

D.已知圓C：/+V=l,點P為直線》+2了=4上一動點，過點P向圓C引兩條切線4、PB,其

中A、8為切點，則直線經過定點

【答案】BCD

【分析】利用直線系方程求解直線所過定點判斷A；求出圓心到直線的距離，結合圓的半徑判斷

B；由圓心距等于半徑和列式求得加判斷C；求出兩圓公共弦所在直線方程，再由直線系方程求得

直線所過點的坐標判斷D.

【詳現年］由（3+加）工+4y一3+3加=0,得3x+4歹一3+加。+3）=0,

Jx+3=0Jx=—3

聯立（3x+4y—3=0,解得b=3,

...直線（3+m）x+4y-3+3m=0（加eK）恒過定點（-3,3）,故A錯誤;

?.?圓心（o,o）到直線/：x-y+&=°的距離等于i,.?.直線與圓相交，而圓的半徑為2,

故到直線距離為1的兩條直線，一條與圓相切，一條與圓相交，

因此圓上有三個點到直線/：x-y+0=°的距離等于1,故B正確；

兩圓有三條公切線，則兩圓外切，曲線G：*+^+2x=°化為標準式（x+lf+V=l,

曲線。2：x)+「—4x-8y+/n=0化為標準式(x-2f+(y-4)2=20-m>0

圓心距為J（2+l>+42=5=l+j2°_",解得機=4,故c正確；

設點尸的坐標為（見〃），,以為直徑的圓的方程為/+丁-3-即二°,

兩圓的方程作差得直線<3的方程為：mx+ny=\!消去"得，2",

x--=o~,x==：（--）

令2,2y-l=0n,解得4,2,故直線經過定點4,2’，故D正確.

故選：BCD

10.己知數列"J的前〃項和為S",則下列說法正確的是（）

A.若S“="T,則｛%｝是等差數列；

B.若"”｝是等差數列，則三點1°'而）、10°'而(110,罹］

111”共線;

C.若｛“"｝是等差數列，且％=T1,%+%=-6,則數列｛%｝的前〃項和S,有最小值；

D.若等差數列｛""｝的前12項和為354,前12項中，偶數項的和與奇數項的和之比為32：27,則

公差為5.

【答案】BCD

【分析】A選項利用S"-51=%（，?22）求出勺即可判斷；B選項根據等差數列前〃項和公式對點坐

標進行處理，同時利用斜率相等證明共線；C選項利用等差數列的性質求出公差，再結合首項和公

差的正負判斷S，，有無最小值；D選項根據偶數項和奇數項的比值求出偶數項和奇數項的和，從而作

差求出公差.

【詳解】A選項:°a=5-，1=〃2_[_[（〃_1）一]卜2〃-1（〃22）,當”=1時，％=￡=0,不符

0,(〃=1)

合q，=2〃7,所以““2〃T(〃22),故人錯;

〃("l)d

Sna[+

2一

B選項：因為“”｝為等差數列，所以％一?

n?2

So

To-'21102

S&_—oo01100100

10ioo=J110100=。

因為10-100~2110-100-2，所以三點共線，B正確;

C選項：因為%+%=4+。9=-6,所以%=5,d=2,因為q<°,d>0,所以S“有

最小值，當"=6時取最小值，故C正確;

D選項：因為品=354,前I2項里偶數項和奇數項的和的比為32:27,所以偶數項和為192,奇數

項和為162,偶數項和-奇數項和=6"=30,所以公差為5,D正確.

故選：BCD.

11.已知數列SJ的前"項和為S",下列說法正確的是（）

A,若S"=2”2-6〃+1,則&=4〃-4

B.若數列也｝為等差數列，S"為數列"J的前〃項和，已知‘。=20,邑。=90,則$2。=5°

（―）12

C.若a”=4〃-3,則數列的前10項和為41

D.若數列｛""｝為等差數列，且《。“+即》2<0,a1000+a1024>0）則當<。時，〃的最大值為2023

【答案】BC

【分析】對于A,〃=1時，q=S=-3*0,即可判斷出正誤；對于B,由數列｛“"｝為等差數列，

SSSS

可得Bo,2O-IO,30~20t成等差數列，解得S%即可判斷出正誤；對于C,"”=4〃-3,

_^=__'—=lp______L]

向（4n-3）（4n+l）414〃-3而+U,可得出數列[的“+J的前io項和，即可判斷出正誤；

對于D,由數列｛""｝為等差數列，且《。U+"|。12<0,%000+%024>°,可得4012>°,"⑼I<°,利用

求和公式及其性質即可判斷出正誤.

【詳解】解:A.〃=l時,q=E=2-6+1=-3%0,因此如=4〃-4不正確:

B.由數列也｝為等差數列，則與，S20-Sw,S30-S20,成等差數列，

，2區。-20）=90-邑。+20,解得$20=5。，因此正確；

111______!_）

C%=4〃-364+]（4〃一3）（4〃+1）414〃一34n+lJ

數列儲同+」的前】0項和為41J41,因此正確；

+

D"?數列依｝為等差數列，且％。u+/2<°,?l000?1024>0,

?,2%012>0,即《012>0,01011<0,

S32022（：+限2）=⑹?匹“+*）<0%=2023（?+限）=2023aM?>0

則2,2,

???當S”<°時，〃的最大值為2022,因此不正確.

故選：BC.

12.如圖1,曲線C：（X2+V）'=16X2V為四葉玫瑰線，它是一個幾何虧格為零的代數曲線，這種

曲線在苜蓿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應用.如圖2,苜蓿葉型立交橋有兩層，將所有原來需

要穿越相交道路的轉向都由環形匝道來實現，即讓左轉車輛駛入環道后再自右側切向匯入主路，四

條環形匝道就形成了苜蓿葉的形狀給出下列結論正確的是（）

圖1圖2

A.曲線C只有兩條對稱軸

B.曲線C僅經過1個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）

C.曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2

D.過曲線C上的任一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大值為2

【答案】BCD

【分析】對于A,由圖象可得答案，對于B,由圖象結合曲線方程判斷即可，對于C,由曲線方程

結合基本不等式可判斷，對于D,利用基本不等式判斷

【詳解】因為曲線上任一點a/）,關于x軸的對稱點a，-y）滿足曲線方程，關于y軸的對稱點

（-XJ）滿足曲線方程，關于直線的對稱點（％x）滿足曲線方程，關于直線夕=-*的對稱點

（一乃一幻滿足曲線方程，所以可知曲線有4條對稱軸，所以A錯誤，

22

<x+y

由得個‘-2,

22>22+v222

（x+yi=16xy<=4（x+y）22yzi

所以''74',所以廠+y44,當且僅當x=V時等號成立，

所以曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2,所以C正確，

由圖可知將第一象內的整數點（11），（1，2），（2，1）分別代入曲線方程中，等號不成立，所以曲線在第一

象限不經過整數點，由對稱性可知曲線只經過原點，所以曲線C僅經過1個整點，所以B正確，

由曲線的對稱性，在第一象限內的曲線上任取一點（XJ）,則過這一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸

22

S=xy<X-y-<2

圍成的矩形面積為‘2,當且僅當x=V時等號成立，所以所圍成的矩形的面積的最

大值為2,所以D正確，

故選：BCD

三、填空題

13.已知等差數列｛4｝的首項為2,公差為8,在｛4｝中每相鄰兩項之間插入三個數，使它們與原

數列的項一起構成一個新的等差數列數列｛"”｝的通項公式勺=.

【答案】2〃，（"￡”）

【分析】等差數列｛""｝滿足為％=4,故可以求得｛%｝的首項與公差，從而可以寫出

｛凡｝的通項公式.

【詳解】設數列｛%｝的公差為心由題意可知，a'=A',%=

于是%―/=A2-Al=8.

因為％-q=4小，所以4/=8,所以"'=2.

所以“"=2+（M-1）X2=2?（MS7V+）.

故答案為：2〃，（〃右乂）

14.若數列第二項起，每一項與前一項的差構成等差數列，則稱數列｛%｝為二階等差數列，已

知數列｛“"｝是一個二階等差數列，且％=3,%=7,%=13,則見=.

【答案】n2+n+\

【分析】利用已知條件求出二階等差數列的首項和公差，再求出二階等差數列的通項公式，最后利

用累加法即可得到數列S"｝的通項公式.

【詳解】?."2-6=4,a3-a2=6t且數列也，｝是一個二階等差數列，

a—a〃=4+(〃—1),2—2〃+2

（〃一1）（4+2〃）>

an-a,=4+6+…+2〃=-----------=n+n-2

由累加法得2

=3+/+〃-2=/+〃+1.而?=3也符合，

故答案為：?2+?+1

15.如圖，已知點尸為拋物線C：「=4x的焦點過點尸且斜率存在的直線交拋物線。于48兩點,

點D為準線/與x軸的交點，則“DAB的面積s的取值范圍為.

【答案】區+8）

c4

.X+x=2H——

【分析】設4B坐標和直線N8的方程，讓直線方程與拋物線進行聯立可得■?公，

為吃=1,接著利用弦長公式求出再求出點。到直線的距離，最后利用三角形的面積公式

即可求出答案

【詳解】由拋物線C：/=4x可得焦點/（L0）,準線方程為x=-l,°（T°）,

設"（XQ）外打力），直線”的方程為k4（1）（/"°）,

[y=k（x-\）4

由i/=4x，可得/》2-（2公+4卜+/=0,貝/+"2+乙砧=1,

\AB\=J1+%2-7（XI+X2）2-4-VIX2=J1+無2+-4=40；*）

所以八fA,

直線AB的一般方程為丘一丫一卜=0,

d=^L

點°（T，0）到直線AB的距離V^+T,

”>4

=4.

所以

所以的面積s的取值范圍為（4內）,

故答案為：（4+00）

16.閱讀材料：空間直角坐標系°-xyz中，過點尸（%，％a。）且一個法向量為萬=（。也。）的平面

a的方程為一%）+c（z—zo）=°,閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面a的方程

為3x-5y+z-7=0,直線/是兩平面工-3夕+7=°與4y+2z+l=°的交線，則直線/與平面a所成

角的正弦值為.

叵工加

【答案】35##35

【分析】根據閱讀材料可得平面a的一個法向量，再在兩平面的交線上取兩個點，從而得交線的方

向向量，由此利用向量夾角余弦的坐標表示即可得解.

【詳解】因為平面。的方程為3A5y+z-7=°,所以平面。的一個法向量力二0，fl）,

又直線3m。上有兩個W）,

所以直線/的方向向量為比=8/=（3,1,-2）,

IcoMM師司""5-2|_癡

n

COS\機,）\~?一|1—I--

所以直線,與平面a所成角的正弦值為網網J14x,3535

故答案為：35.

四、解答題

17.在銳角“BC中，a,b,c分別為角A,B,C所對的邊且Ka=2csin”.

（1）確定角°的大小；

3出

⑵若C=V7且28c的面積為T,求a+b的值.

c=-

【答案】⑴3

⑵〃+6=5

【分析】（1）由正弦定理邊化角，即可求解；

（2）由面積公式和余弦定理列方程可得4+6.

【詳解】（1）由Ga=2csiM,

結合正弦定理可得退sin4=2sinCsinJ,

,/sin4H0,

..

..sinC=——

2,

因為“8c為銳角三角形，

C=-

所以3.

1,.「_也,3A/3

S——ubsinC=—cib=---

(2)因為“8C的面積242,

所以解得湖=6.

=a2+b2-2abcosC=(a+b)~-3ab=(a+6)2-18=7

由余弦定理可得c

所以("+”=25,

解得a+b=5.

18.記是公差不為0的等差數列｛""｝的前〃項和，若4=55，%，=S".

（1）求數列｛見｝的通項公式知；

（2）求使'＞《，成立的n的最小值.

【答案】（1/"=2〃一6；（2〃

【分析】（1）由題意首先求得出的值，然后結合題意求得數列的公差即可確定數列的通項公式;

（2）首先求得前n項和的表達式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.

【詳解】（1）由等差數列的性質可得：$5=5%,貝|J：。3=5%,二%=°,

設等差數列的公差為“，從而有：=3-d）3+"）=-/，

5*4=%+。2+%+〃4=（。3-2d）+Q-1）+〃3+（〃3+1）=-21

從而：由于公差不為零，故：＜1=2,

數歹IJ的通項公式為：”"=%+（〃-3）4=2〃-6.

)6S“="x(-4)+^^——-x2=n2-5n

(2)由數列的通項公式可得：4-2-6=-4,貝|j：V72,

則不等式S,>。“即：n2-5n>2n-6,整理可得：("T)("-6)>。，

解得：〃<1或">6,又〃為正整數，故〃的最小值為7.

【點睛】等差數列基本量的求解是等差數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握

等差數列的有關公式并能靈活運用.

n

I$_'a

19.已知數列｛"〃｝的前"項和為S",且向“eN",求生的值，并證明：數列

是一個常數列.

_3

【答案】外一彳，證明見解析.

【分析】根據給定的遞推公式求出生,再結合“〃22,%=5“-5,1，,推理計算作答

a.=-3“二T~,Q〃+i*—?=S,=a.=—a)=—

【詳解】因為4,且2?+1,neN,則34,解得-4,

S?2(I)

由"2"+1"I有當"22時，2n-la",

a一〃2<(〃-1)-4。的_"=幺=!

兩式相減得："2〃+1"+,2〃-1"，化簡整理得2〃+12〃-1,而314,

a“二

因此〃EN",2n-l4,

所以數列是一個常數列.

2

20.已知數列5｝滿足“+2%+2a3+...+2'"%“=〃-2"eN*)

(1)求數列.J的通項公式；

(2)設數列｛“"｝的前項〃和為S”，若5,2及“一51恒成立，求實數義的取值范圍.

(21'

一^0,—

【答案】(1)""="+1；(2)I2」.

【分析］(1)由題意可得當“22時4+2叼+2一%+…+2"2a"_尸(〃_1>2'1(〃22)與已知條件兩式

相減，即可得可，再檢驗％是否滿足""即可.

(2)由等差數列前”項和公式求出S",由不等式分離出九，轉化為最值問題，再利用基本不等式

求最值即可求解.

【詳解】⑴因為4+2。2+2-%+--+2"%“=〃-2"(〃€"),

所以q+2%+22+???+2〃？%_[=(〃-1)2"?22)

兩式相減可得：2"”=〃2-(1)2=(〃+1)2-(〃22)

所以勺=〃+1(〃22),

當〃=1時，％=2滿足％=〃+1(〃*2),

所以4,=〃+1,

〃(2+〃+1)〃(〃+3)

(2)”=-"2—2,

由5可得：”23+>51,

+51n(H+3)+102

所以-2(?+l)+n+l-2(〃+1),

g(〃),山+3)+102

令2(〃+1),只需兀4goi).

/?(77+3)+102(〃+1)(〃+2)+100〃+250

g(〃)=----7--------------------------------1----

2(〃+1)2(〃+1)2n+\

n+150/、21

-----=------g(〃)■

當且僅當2〃+1即"=9時等號成立，此時7m'"萬,

<21

所以2,

21

7°'萬

所以實數幾的取值范圍為

〃NADC=NP4B=9(T,BC=CD=-AD=\.

21.如圖，在四棱錐尸T8co中，ADUBC,2E為棱

的中點，異面直線4與C。所成的角為9。°.

(1)在平面PN8內是否存在一點“，使得直線CM〃平面P8E,如果存在，請確定點M的位置，如

果不存在，請說明理由；

⑵若二面角尸-8T的大小為45°,求尸到直線CE的距離.

【答案】（1）存在，在平面尸內可以找到一點加（"=’8cC。），使得直線C"〃平面P8E

30

⑵2

【分析】（1）先判斷存在符合題意的點，再通過作輔助線找到該點，證明CW〃平面尸5E即可；

（2）建立空間直角坐標系，通過已知的二面角度數，找到線段之間關系，從而確定相關點的坐標,

然后利用向量的運算求得答案.

【詳解】（1）延長交直線CQ于點

AE=ED=-AD

?.?點￡為“。的中點，2,

BC=CD=LAD,:.ED=BC

2,

AD//BC,即EO〃8C,

?，?四邊形BCDE為平行四邊形，即E8〃CO.

ABcCD=M,:.MwCD,:.CM//BE9

?：BEu平面PBE,CMu平面PBE,

???CMII平面PBE,

Me"B,ZBu平面尸ZB,

e平面尸NB,

故在平面48內可以找到一點"="8cCD），使得直線CM//平面PBE.

（2）如圖所示，.??//℃=/尸/8=90'，即

且異面直線21與所成的角為900,即尸4,。，

又ABcCD=M,AB,CDu平面4BCD,:.AP_L平面ABCD

ADu平面4BCD,PA_LAD

又AD±CD,PA_LCD,ADcPA=4力。,PZu平面PAD,

???8_1_平面上。,

?.?PDu平面P4D,CD.LPD

因此NPZM是二面角尸-8一4的平面角，大小為45°.

PA=AD.

BC^CD=-AD=\

因為2

以/為坐標原點，平行于8的直線為x軸，為了軸，/P為z軸，

建立空間直角坐標系,

.??P（0,0,2）,E（0,l,0）,C（-l,2,0）,

EC=（-1,1,0）,EP=（0,-1,2）,EC方向上的單位向量坐標為“［后收'°）,

則而在反上的投影的絕對值為rl,

際--曰=逑

所以「到直線CE的距離為V22.

"-I

22.已知雙曲線C與橢圓94有相同的焦點，且焦點到漸近線的距離為2.

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）設。為雙曲線C的右頂點，直線/與雙曲線C