2021-2022學年廣東省佛山市南海區高二下學期期中數學試

題

一、單選題

1.f(x)=x3-8x,則lim，(2+&)-A2)=()

.TOAx

A.—4B.—8C.4D.8

【答案】c

【分析】根據導數的定義，得到lim當土竽二改=/(2),然后計算即可求解.

Ar->0N

【詳解］/'⑵=lim/(2+Ax)-/?⑵=Hm(2+4上8(2+&)二(8-16)二

Ar->0AxAITOAX

..8+4A￥+8Ax+4Ax2+2Ax2+Ax3-8-8Ax..4Ax+6Ax2+Ax3

hm------------------------------------=lim---------------

A—oAx-Ax

=lim(4+6Ar+Ax2)=4

Ax->0

故選：c

2.教學大樓共有4層，每層都有東西兩個樓梯，由一樓到4樓共有走法種數為()

A.6B.23C.42D.43

【答案】B

【分析】根據分步計數法進行計算.

【詳解】解：由題意得可知:

由一層走到二層有兩種選擇，由二層走到三層有兩種選擇，由三層走到四層有兩種選擇,

根據分步計數法的原則可知共有23種走法.

故選：B

2

3.已知雙曲線C:/」的一條漸近線過圓尸：(X-2>+(y+4)2=l的圓心,則C的

離心率為()

A.6

C.y/5D.3

2

【答案】C

【分析】求出圓心坐標，代入漸近線方程求出匕，然后求解雙曲線的離心率.

【詳解】解：圓尸心-2)2+(〉+4)2=1的圓心(2,-4),

2

雙曲線C:/-七=1的漸近線為：y=±6x,

雙曲線C:x2_[=l的一條漸近線過圓P：(x-2>+(y+4)2=l的圓心,

可得2Z?=4,所以力=2,。=1,則°=“2+/=百,

則C的離心率e=￡=逐.

a

故選：C.

4.函數y=/(x)的導函數y=1T(尤)的圖象如圖所示，則函數y=/(x)的圖象可能是

【答案】D

【詳解】原函數先減再增，再減再增，且x=0位于增區間內，因此選D.

【名師點睛】本題主要考查導數圖象與原函數圖象的關系：若導函數圖象與x軸的交點

為七,且圖象在飛兩側附近連續分布于*軸上下方，則.%為原函數單調性的拐點，運用

導數知識來討論函數單調性時，由導函數尸(x)的正負，得出原函數f(x)的單調區間.

5.設數列｛叫的前”項和為S“，且4=2M+.=2"(“WM),則席=()

1313|44

K2-402+2-2-4c2'+2

A?---------------B.-----C.-----L).-----

3333

【答案】D

【分析】由4+“向=2”并項求和結合等比數列求和即可得解

2412

【詳解】由題兒二q+(%+4)++(a12+al3)=2+2+2++2

_￡0Z￡)2|4+2

2~+1-43

故選D

【點睛】本題考查數列求和，等比數列求和公式，準確計算是關鍵，是基礎題

6.設/(X)是R上的可導函數，且滿足了'(x)>/(x),對任意的正實數下列不等式恒

成立的是

A./(a)<</(0)；B.f(a)>ellf(O)-

C“⑷<叫“

ee

【答案】B

【分析】根據條件構造函數尸(x)=華，求函數的導數，利用函數的單調性即可得到

e

結論.

【詳解】解：設尸口片勺土

則尸。)二八神,一八神、=八')-小),

[e]e"

f'(x)>f(x),

??.F'(x)>0,即函數F(x)在定義域上單調遞增.

任意正實數4，滿足4>0,

:.F(a)>尸(0),

印華>華，

ee

/(?)>eV(O)

故選：B.

【點睛】本題主要考查函數單調性的判斷和應用，根據條件構造函數是解決本題的關鍵.

7.若函數/(x)=e*—(a—l)lnx+2在區間(0,1)上不單調，則實數。的取值范圍為()

A.[l,e+1]B.

C.(-oo,l]u[e+l,+co)D.(-oo,l)vj(e+l,+oo)

【答案】B

【分析】對f(x)求導并將問題轉化為y=xe、-a+l在(0,1)上存在變號零點，再應用導數

研究)'的單調性，結合零點存在性定理列不等式求參數范圍.

【詳解】由題設，f\x)=e-^-=xe~a+｛,又f(x)在(0,1)上不單調，

XX

所以y=xe*-a+1在(0,1)上存在變號零點，而y'=(x+l)e'>0,

則》在(0,1)上遞增，只需(1-4)(e+1—a)<0,B|J1<a<e+1.

故選:B

8.對于一切實數x,令[x]為不大于x的最大整數，則函數f(x)=[x]稱為高斯函數或取

整函數.若4〃eN*,S"為數列｛4｝的前〃項和，則530=()

31

B.-n2H—n

22

C.3n2-2n

【答案】A

【分析】根據高斯函數的性質以及數列求和公式進行計算.

【詳解】解：由題意，當〃=3&,”=3人+1,〃=3&+2（%eN+）時，均有

故可知:

1+5-1）

x（〃一l）+"

故選：A

二、多選題

9.現有不同的紅球4個，黃球5個，綠球6個，則下列說法正確的是（）

A.從中任選1個球，有15種不同的選法

B.若每種顏色選出1個球，有'120種不同的選法

C.若要選出不同顏色的2個球，有31種不同的選法

D.若要不放回地依次選出2個球，有210種不同的選法

【答案】ABD

【分析】利用排列知識計算得到選項ABD正確；若要選出不同顏色的2個球，有74種

不同的選法，所以選項C錯誤.

【詳解】解：A.從中任選1個球，有4+5+6=15種不同的選法，所以該選項正確；

B.若每種顏色選出1個球，有4x5x6=120種不同的選法，所以該選項正確；

C.若要選出不同顏色的2個球，有4x5+5x6+4x6=74種不同的選法，所以該選項錯誤;

D.若要不放回地依次選出2個球，有15x14=210種不同的選法，所以該選項正確.

故選：ABD

10.已知數列｛《,｝的通項公式為%=掾％,若數列｛%｝是遞減數列，則實數A不能取

的值是（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】AB

【分析1根據數列單調性的性質可知4用-%=二券匕<0,然后可得％>3-3〃，根據

不等式恒成立的條件可知k得取值范圍.

【詳解】解：由題意得：

數列｛4｝是遞減數列

＜。對于一切的〃eN+恒成立

3(〃+1)+23/?4~k3—372—k,__,,，一八、.

即4+1-4,-^―7-------=]—＜。對于一切的〃￡NKT.怛成立

故女＞3-3〃對于一切的“eN3恒成立，當”=1時,3-3n有最大值0

故女＞0,所以&€（0,水?）

故選：AB

11.下列命題中正確的是（）

A.在等比數列｛4｝中，4%=4=4,則%=±8

B.已知等差數列｛%｝的前〃項和為S,,,且兀=10,$20=40,則$3。=9。

C.已知數列｛4｝滿足4=15,a+「a“=2〃（〃€N*）,則?的最小值為日

D.已知數列｛4｝滿足可=3",且《=1,則數列｛《,｝前9項的和$9=241

【答案】BCD

【分析】對于A,根據44=4=4,求得公比，即可判斷；

對于B,利用等差數列前”項和的性質即可判斷；

對于C,利用累加法求出數列｛4｝的通項公式，從而可判斷：

對于D,根據遞推公式求出。2，%，，的，即可判斷.

【詳解】解：對于A,設公比為4，

因為4%=%=4,所以,

所以q=q,

故q=d=4,所以d=2,

所以6=4?d=8,故A錯誤；

對于B,已知等差數列｛q｝的前〃項和為5“,

則S10,S20-SIO,S3O-S2O成等差數列，

所以2(02()—$]())=Si。+Sm—,

即60=10+&。-40,解得$3。=90,故B正確；

對于C由4+1一°“=2”(”wN*),

當“22時，得/-“I=2,

為，=4,

/一為=6,

an~an-\=2(rt-l),

累加得4,-4=2+4+6++2(〃-1)="("-1),

所以a“=*-”+15,

則%=〃+”_1,

nn

當〃=3時，—=7,當〃=4時，—,

nn4

根據雙鉤函數得性質可知，當〃=4時，旦取得最小值為三，故C正確；

n4

對于D,因為為q+i=3〃，且4=1,

貝|]/=3,=3,a4=9,%=9,4=27,%=27,a8=81,tzQ=81,

所以Sg=l+3+3+9+9+27+27+81+81=241,故D正確.

故選：BCD.

12.已知函數〃尤)=d+x,實數加，〃滿足不等式〃2加—3")+“〃-2)>0,則()

-n/?+1

A.w>enB.—>------

em771+1

C.ln(/n-n)>0D.w2021<n2021

【答案】AC

【分析】先判斷函數的奇偶性及單調性結合不等式/(2加-3〃)+/(〃-2)>0可得

九〃所滿足的關系式，再利用指數函數、對數函數和基函數的單調性以及特殊值法逐項

判斷

[詳解]因為/(-X)=(-司3+(-x)=-^x3+x]=-f(x),

所以“X)為奇函數，

因為/'(6=3/+1>0,

所以〃X)R上單調遞增，

由/(2加—3〃)+/(〃—2)>0,

得〃2〃?-3")>-/(”-2)=/(2-〃)，

所以2，〃—3〃>2—n,

即機一m>n,

因為y=e"在R上是增函數，所以故A正確；

因為y=lnx在(0,+8)上是增函數，所以ln(m-〃)>0,故C正確；

因為y=Y⑼在R上是增函數，所以"2必>“2021,故D錯誤；

令,〃=2,〃=0,可驗證B錯誤.

故選：AC

三、填空題

13.過拋物線y?=4x的焦點作直線交拋物線于4為,必),8(々,%)兩點，如果用+々=10,

那么|4B|=.

【答案】12

【分析】根據給定條件，求出拋物線的準線方程，再結合拋物線定義計算作答.

【詳解】拋物線y2=4x的準線為：x=-\,設拋物線y2=4x的焦點為F,

由拋物線定義得:|隅=|AF|+|B尸|=(%+1)+(%+1)=12,

所以|AB|=12.

故答案為：12

14.函數/(x)=e2,過原點的切線方程是.

【答案】2ex-y=0.

【分析】設切點為(x0,e2&),根據導數的幾何意義求出函數切點為(x0,e2%)的切線方程,

再根據切線過原點求出與,即可得解.

【詳解】解：設切點為(題看”>),

rW=2e2',則1(x0)=2e%,

2

故切點為(%,e%)的切線方程為y-e^=Ze?"(x-x0),

又因此切線過原點，

2x2x

mW-e?=-2x0e?,解得/=；,

所以函數/。)=62，過原點的切線方程是k6=26，-￡),

即2ex—y=0.

故答案為：2ex-y=0.

15.設S“為等差數列｛%｝的前"項和，若4=9,費-2=4,則為的值為.

【答案】27

【分析】根據今-今=4求出公差d,又4=9即可求解

yj

【詳解】設等差數列｛q｝的公差為d,

因為品=9("；的)=咫，￡==5a3

所以今-*=。5-%=2d=4

所以d=2,又4=9

a[0=4+9x。=9+9x2=27

故答案為：27

四、雙空題

16.中國最早的化妝水是1896年在香港開設的廣生行生產的花露水，其具有保濕、滋潤、

健康皮膚的功效.已知該化妝水容器由一個半球和一個圓柱組成(其中上半球是容器的

蓋子，化妝水儲存在圓柱中)，容器軸截面如圖所示，上部分是半圓形，中間區域是矩

形，其外周長為12cm.則當圓柱的底面半徑r=時，該容器的容積最大，最

大值為.

【分析】設圓柱的底面半徑為，圓柱的高為〃，根據已知條件可得出力=6-等r,

根據柱體的體積公式可得V=6%-+”利用導數可求得丫的最大值及其對應

2

的廠的值，即為所求.

【詳解】設圓柱的底面半徑為，圓柱的高為近

則由題意可得乃r+2〃+2r=12,所以〃=巴生初=6-"r.

22

12

由人。，得f

故容器的容積V=1//?=乃/(6-三二'=6萬/-￡(”0/(0</.<^^

容易忽略上半球是容器的蓋子，化妝水儲存在圓柱中.

『=12萬一瞥到巴令聯。，解得「=。(舍)或-去

顯然當re(0,時，V'>0,函數y=6萬/一必⑴，單調遞增;

I7T+2J2

當時，V'<o,函數V=6R2單調遞減

\7l-\-22+TTJ2

Q

所以當r=.cm時'V取得最大值,

..../2+萬8-128乃

此時〃=6------x----=2cm,V=7Tx2=cm'

2萬+2TC+2)S+2)2

8128萬3

故答案為：'em；--rem.

TT+2(乃+2)

五、解答題

17.已知函數〃x)=V+加+&T+C在點尸(1,2)處的切線斜率為4,且在x=-l處取得

極值.

⑴求函數f(x)的解析式；

⑵當了目-公司時，求函數f(x)的最大值.

【答案】(l)/(x)=x3+x2-x+l;

(2)11.

【分析】(1)根據導數的幾何意義，結合極值的性質進行求解即可；

(2)根據導數的性質進行求解即可.

/(I)=2,l+a+b+c=2,

【詳解】⑴/0)=3/+2or+6,由題意得0=4,即3+24+6=4,

7(-1)=0,[3-2a+6=0,

解得a=\,b=-\,c=l.所以/(x)=x3+x2-x+1,

/(X)=3X2+2X-1,令/'(尤)=0,得x=-l或x=；.

1、

X(-00,-1)-1(§,+8)

3

/,(X)+0——0+

22

/(A)/2/

27

符合題意；

1?2

⑵由(1)可知：/(-1)=0,/(-)=—,而f(2)=ll,f(-2)=-l,

所以/(X)1a=11.

>

18.已知數列｛“"｝中，q=2,a?+1=2a?-?+l(neN).

⑴求生，并證明也-〃｝為等比數列；

⑵求數列｛%｝的前〃項和S“.

【答案】(1)見解析

⑵$,,=歿3+2"-1

【分析】(1)由遞推公式化簡，根據等比數列的定義證明

(2)由分組求和法求解

【詳解】⑴%=2,4-1+1=4,

一(〃+1)=一〃+1—(〃+1)=2(an-n),

4-1=1,故｛4-"｝是首項為1,公比為2的等比數列.

(2)由(1)得a“-〃=2"T,即a“=〃+2"T,

5?=(1+2++/2)+(1+2'++2'i)=.〃('；1)+2"-1

19.已知函數210r.

⑴討論7U)的單調性；

(2)設函數g(x)=x—2,若存在xw[l,e],使得式?斗(x),求。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析；

2

⑵(卜,e丁+2

【分析】（1）根據實數。的正負性，結合導數的性質分類討論求解即可；

（2）利用常變量分離法，通過構造函數，利用導數的性質進行求解即可.

【詳解】⑴

當好0時，/'（力＜0在（0,+°0）上恒成立；

70

當a>0時，令/'(x)>0得x>±；令ra）＜o得0。＜2；

綜上：時y（x）在（0,+刃）上單調遞減;

4＞0時，危）在I。,；］上單調遞減，在（*+℃）上單調遞增;

（2）由題意知ax—21IU＜A—2在（0,+刃）上有解

所以8"）四=89）=子，因此有“4袈

所以。的取值范圍為：［f，袈

【點睛】關鍵點睛：運用常變量分離法利用導數的性質是解題的關鍵.

20.已知正項數列｛4｝的首項％=1,前〃項和S”滿足4,二區+病匚何之？）.

⑴求數列｛%｝的通項公式；

⑵記數列」一的前w項和為1,若對任意的“wN*,不等式47；。恒成立，求

實數a的取值范圍.

【答案】⑴%=2〃-1；

⑵或aN2.

【分析】(1)化簡數列的遞推公式，得病-67=1,進而可求解數列的通項公式;

(2)利用裂項法，求解乙，列出不等式，即求.

【詳解】⑴當“22時，q=V^+JS“_1，

???s“-s,i=￡?+6；，即卮-卮=1,又后=1，

所以數列｛四｝是首項為1，公差為1的等差數列，故瘋=〃，

又由%=7^+JS“_|=〃+〃-1=2〃-1(/?>2),

當”=1時，q=l也適合,

所以凡=2"-L

一(2"-1)(2“+1)-2(2〃-12〃+])，

7>4二+—++-1—1_L1

“213352〃-12n+l)2(2n+l)2

又；對任意的〃eN*,不等式47；,<a2-a恒成立,,

：.2<cr-a,解得或aN2.

即所求實數。的范圍是或“22.

21.如圖，已知四邊形ABC。為菱形，對角線AC與相交于0,440=60%平面

ADEF)平面BCEF=直線EF,F0A.^WiABCD,BC=CE=DE=2EF=2

(1)求證：EFIIDA；

(2)求二面角A-￡F-8的余弦值.

3

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】(1)根據四邊形ABC。為菱形，得到AD//BC,利用線面平行的判定定理得到

ADH平面BCEF,然后利用線面平行的性質定理證明.

(2)以0為坐標原點、0A,OB,0F為x,y,z軸建立空間直角坐標系，取CO中點

M,連EM,OM,分別求得平面4DEF一個法向量為機=(x,y,z),平面8C￡F一個法向

量為n=(x,y,z),然后由cos<m,n>-—~—求解.

【詳解】(1)因為四邊形ABC。為菱形，所以AO//BC,

Q4)(Z平面3CEF,8Cu平面3CEF

/.4)〃平面BCEF,

因為平面AOEF平面8CEF=直線",A￡>U平面4)防，

所以EF//AD；

(2)因為四邊形4?C￡>為菱形，所以AC_L3￡),

因為O/，平面A8CD,所以以0為坐標原點、OA,OB,OF為x,,z軸建立空間直

角坐標系，

取C。中點連EM,0M,

ZBAD=60°,BC=2:.OA=OC=4i,OB=OD=\,

BC=CD=CE=DE=2;.CDE為正三角形,EM=6

OMHBC,OM=-BC,EF//BC,EF=-BC,

22

EFHOM,EF=OM:.OF//EM,OF=EM,

n?

從而4(6,o,o),8(0,1,0),C(-6,0,0),D(0,-l,0),E(--,--,6)，

22

設平面ADEF一個法向量為m=(x,y,z),

Gx+