2020年中考數學總復習代數壓軸綜合題1.(2019北京,26,6分)在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx-

與y軸交于點A,將點A向右平移2個單位長度,得到點B,點B在拋物線上.(1)求點B的坐標(用含a的式子表示);(2)求拋物線的對稱軸;(3)已知點P

,Q(2,2).若拋物線與線段PQ恰有一個公共點,結合函數圖象,求a的取值范圍.中考真題解析(1)∵拋物線y=ax2+bx-

與y軸交于點A,∴點A的坐標為

.∵將點A向右平移2個單位長度,得到點B,∴點B的坐標為

.(2)∵點B

在拋物線上,∴4a+2b-

=-

,即b=-2a.∴拋物線的對稱軸為x=1.(3)點A

,B

,P

.當a>0時,-

<0,如圖1.圖1圖2令拋物線上的點C

.∵當x<1時,y隨x的增大而減小,∴yC<-

.令拋物線上的點D(xD,2)(xD>1).∵當x>1時,y隨x的增大而增大,∴xD>2.結合函數圖象,可知拋物線與線段PQ沒有公共點.當a<0時,(i)當-

<a<0時,-

>2,如圖2.令拋物線上的點C

.∵當x<1時,y隨x的增大而增大,∴yC>-

.令拋物線上的點D(xD,2)(xD>1).∵當x>1時,y隨著x的增大而減小,∴xD>2.結合函數圖象,可知拋物線與線段PQ沒有公共點.(ii)當a=-

時,A(0,2),B(2,2),P

,Q(2,2),如圖3.圖3圖4結合函數圖象,可知拋物線與線段PQ恰有一個公共點Q(2,2).(iii)當a<-

時,0<-

<2,如圖4.令拋物線上的點C

.∵當x<1時,y隨x的增大而增大,∴yC>-

.令拋物線上的點D(xD,yD)

,∵當x>1時,y隨x的增大而減小,∴xD<2.結合函數圖象,可知拋物線與線段PQ恰有一個公共點.綜上所述,a的取值范圍為a≤-

.思路分析本題第(3)問需要對a的大小進行分類討論,同時要關注拋物線與y軸的交點坐標.解題關鍵解決本題的關鍵是分情況討論后精準畫圖,要在探究的過程中發現點P與點A,B縱坐標相等的

關系,進而關注點Q與拋物線的關系.2.(2018北京,26,6分)在平面直角坐標系xOy中,直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點A,B,拋物線y=ax2+bx-3a經

過點A,將點B向右平移5個單位長度,得到點C.(1)求點C的坐標;(2)求拋物線的對稱軸;(3)若拋物線與線段BC恰有一個公共點,結合函數圖象,求a的取值范圍.解析(1)將x=0代入y=4x+4得y=4,∴B(0,4).∵點B向右平移5個單位長度得到點C,∴C(5,4).(2)將y=0代入y=4x+4得x=-1,∴A(-1,0).將點A(-1,0)代入拋物線解析式y=ax2+bx-3a得0=a-b-3a,即b=-2a,∴拋物線的對稱軸為直線x=-

=-

=1.(3)拋物線始終過點A(-1,0),且對稱軸為直線x=1,由拋物線的對稱性可知拋物線也過點A關于直線x=1的對稱

點(3,0).①a>0時,如圖1.圖1將x=5代入拋物線的解析式得y=12a,∴12a≥4,∴a≥

.②a<0,且拋物線頂點不在線段BC上時,如圖2.圖2將x=0代入拋物線得y=-3a,∵拋物線與線段BC恰有一個公共點,∴-3a>4,∴a<-

.若拋物線的頂點在線段BC上,則頂點為(1,4),如圖3.圖3將點(1,4)代入拋物線的解析式得4=a-2a-3a,∴a=-1.綜上所述,a≥

或a<-

或a=-1.思路分析(1)先求B點坐標,由B點向右平移5個單位長度確定C點坐標.(2)確定A點坐標,代入拋物線的解析式,利用公式確定對稱軸.(3)結合圖象和拋物線的對稱性解答.解題關鍵解決本題第(3)問的關鍵是要先確定題目中拋物線所過的定點,進而通過臨界點求出a的取值范

圍.同時不要忽略拋物線頂點是公共點的情況.3.(2017北京,27,7分)在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=x2-4x+3與x軸交于點A,B(點A在點B的左側),與y軸交

于點C.(1)求直線BC的表達式;(2)垂直于y軸的直線l與拋物線交于點P(x1,y1),Q(x2,y2),與直線BC交于點N(x3,y3).若x1<x2<x3,結合函數的圖象,

求x1+x2+x3的取值范圍.解析(1)令y=0,即0=x2-4x+3,解得x=1或x=3.∵拋物線y=x2-4x+3與x軸交于點A,B(點A在點B的左側),∴點A,B的坐標分別為(1,0),(3,0).令x=0,得y=3.∵拋物線y=x2-4x+3與y軸交于點C,∴點C的坐標為(0,3).設直線BC的表達式為y=kx+b,k≠0,∴

解得

∴直線BC的表達式為y=-x+3.(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴拋物線的頂點坐標為(2,-1),對稱軸為直線x=2.由題意可知,點P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)關于直線x=2對稱,∴x2-2=2-x1,∴x1+x2=4.由x1<x2<x3,結合函數的圖象,可得-1<y3<0,即-1<-x3+3<0,解得3<x3<4.∴7<x1+x2+x3<8.思路分析(1)求出點B、C的坐標,用待定系數法求直線BC的表達式.(2)先借助拋物線的對稱性確定x1+x2的

值,再畫出函數圖象,確定x3的范圍,從而得解.4.(2019北京西城一模,26)在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y=x2-mx+n.(1)當m=2時,①求拋物線的對稱軸,并用含n的式子表示頂點的縱坐標;②若點A(-2,y1),B(x2,y2)都在拋物線上,且y2>y1,則x2的取值范圍是

;(2)已知點P(-1,2),將點P向右平移4個單位長度,得到點Q.當n=3時,若拋物線與線段PQ恰有一個公共點,結合

函數圖象,求m的取值范圍.解析(1)①∵m=2,∴拋物線為y=x2-2x+n.∵x=-

=1,∴拋物線的對稱軸為直線x=1.

(1分)∵當x=1時,y=1-2+n=n-1,∴頂點的縱坐標為n-1.

(2分)②由開口方向向上可知當x2<-2時,y2>y1;由對稱軸為x=1可知,當x2>4時,y2>y1,所以x2<-2或x2>4.

(4分)(2)∵點P(-1,2)向右平移4個單位得到點Q,∴點Q的坐標為(3,2).∵n=3,∴拋物線為y=x2-mx+3.當拋物線經過點Q(3,2)時,2=32-3m+3,解得m=

.當拋物線經過點P(-1,2)時,2=(-1)2+m+3,解得m=-2.當拋物線的頂點在線段PQ上時,

=2,解得m=±2.結合圖象可知(圖略),m的取值范圍是m≤-2或m=2或m>

.

(6分)思路分析本題(1)②需要關注對稱軸與頂點的關系;(2)中恰有一個公共點,有兩種情況,一種是相交,另一

種是相切,即頂點在線段PQ上.解題關鍵解決本題的關鍵是畫出y=x2-mx+3的示意圖:畫出的圖象開口方向、大小都不變,與y軸交點也不

變,進而借助圖象進行觀察.5.(2019北京東城一模,26)在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y=mx2-6mx+9m+1(m≠0).(1)求拋物線的頂點坐標;(2)若拋物線與x軸的兩個交點分別為A和B(點A在點B的左側),且AB=4,求m的值;(3)已知四個點C(2,2),D(2,0),E(5,-2),F(5,6),若拋物線與線段CD和線段EF都沒有公共點,請直接寫出m的取值

范圍.解析(1)y=mx2-6mx+9m+1=m(x2-6x+9)+1=m(x-3)2+1.∴拋物線的頂點坐標為(3,1).

(2分)(2)∵對稱軸為x=3,且AB=4,∴A(1,0),B(5,0),將A(1,0)代入拋物線,可得m=-

.

(4分)(3)m<-1或m>

.

(6分)

提示:分別將C(2,2),F(5,6)代入拋物線表達式得m=1,m=

,將D(2,0),E(5,-2)代入拋物線表達式得m=-1,m=-

,因為沒有公共點,所以圖象開口應更小,即m的絕對值更大,所以m<-1或m>

.

6.(2019北京朝陽一模,26)在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y=x2-2x+a-3,當a=0時,拋物線與y軸交于點A,

將點A向右平移4個單位長度,得到點B.(1)求點B的坐標;(2)將拋物線在直線y=a上方的部分沿直線y=a翻折,圖象的其他部分保持不變,得到一個新的圖象,記為圖形

M,若圖形M與線段AB恰有兩個公共點,結合函數的圖象,求a的取值范圍.解析(1)當a=0時,拋物線表達式為y=x2-2x-3,∵當x=0時,y=-3,∴點A的坐標為(0,-3).

(1分)∴點B的坐標為(4,-3).

(2分)(2)如圖1,當a=0時,圖形M與線段AB恰有三個公共點,如圖2,當a=-3時,圖形M與線段AB恰有一個公共點,圖1如圖3,當a=1時,圖形M與線段AB恰有兩個公共點,圖2圖3由圖象可知,當-3<a<0或a=1時,圖形M與線段AB恰有兩個公共點.

(6分)思路分析本題(2)要理解“在直線y=a上方的部分沿直線y=a翻折”的含義,嘗試畫出各種情況的示意圖.7.(2019北京豐臺一模,26)在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c過原點和點A(-2,0).(1)求拋物線的對稱軸;(2)橫、縱坐標都是整數的點叫做整點.已知點B

,記拋物線與直線AB圍成的封閉區域(不含邊界)為W.①當a=1時,求出區域W內的整點個數;②若區域W內恰有3個整點,結合函數圖象,直接寫出a的取值范圍.解析(1)∵拋物線y=ax2+bx+c過原點(0,0)和點A(-2,0),∴拋物線的對稱軸為x=-1.

(1分)(2)∵拋物線y=ax2+bx+c經過原點(0,0)和點A(-2,0),∴c=0,b=2a.∴拋物線解析式可化為y=ax2+2ax.①a=1時,拋物線解析式為y=x2+2x.

(2分)∴拋物線的頂點為(-1,-1).由圖象知(圖略),區域W內的整點個數為2.

(3分)②

≤a<

或1<a≤2或-4≤a<-3.

(6分)

提示:(1)當a>0時,①圖象經過(-1,-2),則a=2,∴1<a≤2;②圖象經過(1,2),(1,1),分別得到a=

,a=

,∴

≤a<

;(2)當a<0時,圖象經過(-1,4),(-1,3)時,分別得到a=-4,a=-3,∴-4≤a<-3.

8.(2019北京石景山一模,26)在平面直角坐標系xOy中,直線y=kx+1(k≠0)經過點A(2,3),與y軸交于點B,與拋物

線y=ax2+bx+a的對稱軸交于點C(m,2).(1)求m的值;(2)求拋物線的頂點坐標;(3)N(x1,y1)是線段AB上一動點,過點N作垂直于y軸的直線與拋物線交于點P(x2,y2),Q(x3,y3)(點P在點Q的左側).

若x2<x1<x3恒成立,結合函數的圖象,求a的取值范圍.解析(1)∵y=kx+1(k≠0)經過點A(2,3),∴k=1.

(1分)∵直線y=x+1與拋物線y=ax2+bx+a的對稱軸交于點C(m,2),∴m=1.(2)∵拋物線y=ax2+bx+a的對稱軸為x=1,∴-

=1,即b=-2a.∴y=ax2-2ax+a=a(x-1)2.∴拋物線的頂點坐標為(1,0).

(3分)(3)當a>0時,如圖,若拋物線過點B(0,1),則a=1.結合函數圖象可得0<a<1.當a<0時,不符合題意.綜上所述,a的取值范圍是0<a<1.

(6分)9.(2019北京通州一模,26)已知二次函數y=x2-ax+b在x=0和x=4時的函數值相等.(1)求二次函數y=x2-ax+b的對稱軸;(2)過P(0,1)作x軸的平行線與二次函數y=x2-ax+b的圖象交于不同的兩點M、N.①當MN=2時,求b的值;②當PM+PN=4時,請結合函數圖象,直接寫出b的取值范圍.

解析(1)∵二次函數y=x2-ax+b在x=0和x=4時的函數值相等.∴對稱軸為直線x=2.

(1分)(2)①不妨設點M在點N的左側.∵對稱軸為直線x=2,MN=2,∴點M的坐標為(1,1),點N的坐標為(3,1).

(2分)∴-

=2,1=1-a+b.∴a=4,b=4.

(4分)②1≤b<5.

(6分)(提示:當函數圖象經過(0,1)時,b=1;經過(2,1)時,b=5,又因為此時M,N重合所以舍去5.)10.(2019北京門頭溝一模,26)在平面直角坐標系xOy中,一次函數y=x+4的圖象與x軸交于點A,與過點(0,5)且

平行于x軸的直線l交于點B,點A關于直線l的對稱點為點C.(1)求點B和點C坐標;(2)已知某拋物線的表達式為y=x2-2mx+m2-m.①如果該拋物線頂點在直線y=x+4上,求m的值;②如果該拋物線與線段BC有公共點,結合函數圖象,直接寫出m的取值范圍.

解析(1)∵直線y=x+4與x軸交于點A,∴點A坐標為(-4,0).∵直線y=x+4與過點(0,5)且平行于x軸的直線l交于點B,∴點B的坐標為(1,5).

(1分)∵點A關于直線l的對稱點為點C,∴點C坐標為(-4,10).

(2分)(2)①∵拋物線的表達式為y=x2-2mx+m2-m=(x-m)2-m,∴頂點坐標為(m,-m).

(3分)∵拋物線頂點在直線y=x+4上,∴-m=m+4,∴m=-2.

(4分)②-6≤m≤4.

(6分)(提示:當拋物線經過點C時,m=-6或m=-1;當拋物線經過點B時,m=4或m=-1,所以m的取值范圍是-6≤m≤4.)11.(2019北京燕山一模,26)在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2-2ax-3a(a≠0)的頂點為D,與x軸交于A,B兩

點(A在B的左側).(1)當a=1時,求點A,B,D的坐標;(2)橫、縱坐標都是整數的點叫做整點.若拋物線在點A,B之間的部分與線段AB所圍成的區域內(不含邊界)

恰有7個整點,結合函數圖象,求a的取值范圍.

解析(1)∵y=ax2-2ax-3a=a(x2-2x-3)=a(x+1)(x-3),令y=0,得x=-1或x=3,∴A(-1,0),B(3,0).

(2分)當a=1時,拋物線化為y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴D(1,-4).

(3分)(2)如圖,當a>0時,①當a=1時,拋物線在點A,B之間的部分與線段AB所圍成的區域內恰有7個整點.②當a=

時,拋物線在點A,B之間的部分與線段AB所圍成的區域內有6個整點.結合函數圖象可得

<a≤1.

(5分)當a<0時,同理可得-1≤a<-

.∴a的取值范圍是-1≤a<-

或

<a≤1.

(6分)12.(2019北京大興一模,26)在平面直角坐標系中xOy中,已知拋物線y=ax2-4ax+1.(1)求拋物線的對稱軸;(2)若拋物線過點A(-1,6),求二次函數的表達式;(3)將點A(-1,6)沿x軸向右平移7個單位得到點B,若拋物線與線段AB始終有兩個公共點,結合函數的圖象,求a

的取值范圍.

解析(1)x=-

=-

=2,∴拋物線的對稱軸為x=2.

(1分)(2)把x=-1,y=6代入y=ax2-4ax+1得6=a+4a+1,解得a=1,∴y=x2-4x+1.

(3分)(3)∵點A的坐標為(-1,6),又點A沿x軸向右平移7個單位得到點B,∴點B的坐標為(6,6).

(4分)∵拋物線與線段AB始終有兩個公共點,當a>0時,把A(-1,6)代入y=ax2-4ax+1,得a=1,∴a≥1,當a<0時,將點(2,6)代入y=ax2-4ax+1,得a=-

,∴a<-

,綜上,當拋物線與線段AB始終有兩個公共點時,a≥1或a<-

.

(6分)13.(2019北京石景山二模,26)在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y=x2-2mx+m2-1.(1)求拋物線的對稱軸(用含m的式子表示);(2)若點(m-2,y1),(m,y2),(m+3,y3)都在拋物線y=x2-2mx+m2-1上,則y1,y2,y3的大小關系為

;(3)直線y=-x+b與x軸交于點A(3,0),與y軸交于點B,過點B作垂直于y軸的直線l與拋物線y=x2-2mx+m2-1有兩個

交點,在拋物線對稱軸右側的點記為P,當△OAP為鈍角三角形時,求m的取值范圍.解析(1)∵拋物線為y=x2-2mx+m2-1,∴拋物線的對稱軸為直線x=

=m.

(1分)(2)y3>y1>y2.(3)①當∠OAP=90°時,拋物線經過點P(3,3),∴m1=1,m2=5(舍).

(4分)②當∠AOP=90°時,拋物線經過點P(0,3),∴m1=-2,m2=2(舍).∴若△OAP為鈍角三角形,m的取值范圍為m>1或m<-2.14.(2019北京平谷二模,26)已知:二次函數C1:y1=ax2+2ax+a-1(a≠0).(1)把二次函數C1的表達式化成y=a(x-h)2+b(a≠0)的形式,并寫出頂點坐標;(2)已知二次函數C1的圖象經過點A(-3,1).①求a的值;②點B在二次函數C1的圖象上,點A,B關于C1的對稱軸對稱,連接AB.二次函數C2:y2=kx2+kx(k≠0)的圖象與線

段AB只有一個交點,求k的取值范圍.

解析(1)y=a(x+1)2-1(a≠0).

(1分)頂點坐標為(-1,-1).

(2分)(2)①∵二次函數C1的圖象經過點A(-3,1),∴a=

.

(3分)②∵A(-3,1),對稱軸為x=-1,∴B(1,1).

(4分)當k>0時,當二次函數C2的圖象經過點A(-3,1)時,k=

,當二次函數C2的圖象經過點B(1,1)時,k=

,∴

≤k<

.

(5分)當k<0時,C2的圖象與線段AB相切,切點坐標為

,解得k=-4.

(6分)綜上所述,

≤k<

或k=-4.15.(2019北京懷柔二模,26)在平面直角坐標系xOy中,直線y=x與拋物線y=ax2-(3+a)x+3(a≠0)交于A,B兩點,并

且OA<OB.(1)當a=1時,求拋物線與x軸的交點坐標;(2)當2

≤OB≤4

時,求a的取值范圍.解析(1)把a=1代入y=ax2-(3+a)x+3,得y=x2-4x+3.令y=0,解得x1=1,x2=3.∴拋物線與x軸的交點坐標是(1,0),(3,0).

(2分)(2)①當a>0,OB=4

時,B(4,4).可得a=

.當a>0,OB=2

時,B(2,2).可得a=

,∴

≤a≤

.

(4分)②同理可得當a<0時,-

≤a≤-

,∴

≤a≤

或-

≤a≤-

.

(6分)16.(2019北京豐臺二模,26)在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線C1:y=ax2-2ax-3a(a≠0)和點A(0,-3).將點A先

向右平移2個單位,再向上平移5個單位,得到點B.(1)求點B的坐標;(2)求拋物線C1的對稱軸;(3)把拋物線C1沿x軸翻折,得到一條新拋物線C2,拋物線C2與拋物線C1組成的圖象記為G.若圖象G與線段AB

恰有一個交點時,結合圖象,求a的取值范圍.解析(1)B(2,2).

(1分)(2)拋物線C1對稱軸為x=-

=1.

(3分)(3)當拋物線C1:y=ax2-2ax-3a過點A(0,-3)時,-3a=-3,解得a=1.

(4分)當拋物線C1:y=ax2-2ax-3a過點(0,-2)時,-3a=-2,解得a=

.

(5分)由圖象知(圖略),a的取值范圍是-1≤a<-

或

<a≤1.

(6分)17.(2019北京海淀二模,26)在平面直角坐標系xOy中,拋物線C:y=ax2-2ax+3與直線l:y=kx+b交于A,B兩點,且點

A在y軸上,點B在x軸的正半軸上.(1)求點A的坐標;(2)若a=-1,求直線l的解析式;(3)若-3<k<-1,求a的取值范圍.

解析(1)∵拋物線C:y=ax2-2ax+3與y軸交于點A,∴點A的坐標為(0,3).(2)當a=-1時,拋物線C為y=-x2+2x+3.∵拋物線C與x軸交于點B,且點B在x軸的正半軸上,∴點B的坐標為(3,0).∵直線l:y=kx+b過A,B兩點,∴

解得

∴直線l的解析式為y=-x+3.(3)如圖.當a>0時,當a=3時,拋物線C過點B(1,0),此時k=-3.結合函數圖象可得a>3.當a<0時,當a=-1時,拋物線C過點B(3,0),此時k=-1.結合函數圖象可得a<-1.綜上所述,a的取值范圍是a<-1或a>3.18.(2019北京順義二模,26)在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=mx2+2mx-3(m>0)與x軸交于A、B兩點(點A在

點B左側),與y軸交于點C,該拋物線的頂點D的縱坐標是-4.(1)求點A、B的坐標;(2)設直線l與直線AC關于該拋物線的對稱軸對稱,求直線l的表達式;(3)平行于x軸的直線b與拋物線交于點M(x1,y1)、N(x2,y2),與直線l交于點P(x3,y3).若x1<x3<x2,結合函數圖象,求x1

+x2+x3的取值范圍.

解析(1)∵拋物線y=mx2+2mx-3(m>0)的頂點D的縱坐標是-4,∴

=-4,解得m=1,∴y=x2+2x-3,令y=0,則x1=-3,x2=1,∴A(-3,0),B(1,0).

(2分)(2)由題意,拋物線的對稱軸為x=-1,點C(0,-3)的對稱點坐標是E(-2,-3),點A(-3,0)的對稱點坐標是B(1,0),設直線l的表達式為y=kx+b,∵點E(-2,-3)和點B(1,0)在直線l上,∴

解得

∴直線l的表達式為y=x-1.

(4分)(3)由對稱性可知x2-(-1)=-1-x1,得x1+x2=-2,結合圖象可得-2<x3<1,∴-4<x1+x2+x3<-1.

(6分)解題關鍵解決本題最后一問的關鍵是發現x1+x2=-2這一數量關系,這是由拋物線的對稱性得來的,同時建

議掌握中點坐標公式:若平面直角坐標系中有兩點(x1,y1),(x2,y2),那么其中點坐標為

.19.(2018北京東城一模,26)在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2-4ax+3a-2(a≠0)與x軸交于A,B兩點(點A在

點B左側).(1)當拋物線過原點時,求實數a的值;(2)①求拋物線的對稱軸;②求拋物線的頂點的縱坐標(用含a的代數式表示);(3)當AB≤4時,求實數a的取值范圍.解析(1)∵點O(0,0)在拋物線上,∴3a-2=0,a=

.(2)①∵-

=

=2,∴拋物線的對稱軸為直線x=2.②∵拋物線的解析式可化為y=a(x-2)2-a-2,∴拋物線的頂點的縱坐標為-a-2.(3)(i)當a>0時,依題意得

解得a≥

;(ii)當a<0時,依題意得

解得a<-2.綜上,a<-2或a≥

.解題關鍵解決本題第三問的關鍵是要借助拋物線的頂點坐標和與y軸的交點建立不等式組.20.(2018北京西城一模,26)在平面直角坐標系xOy中,拋物線G:y=mx2+2mx+m-1(m≠0)與y軸交于點C,拋物線

G的頂點為D,直線l:y=mx+m-1(m≠0).(1)當m=1時,畫出直線l和拋物線G,并直接寫出直線l被拋物線G截得的線段長;(2)隨著m取值的變化,判斷點C,D是否都在直線l上,并說明理由;(3)若直線l被拋物線G截得的線段長不小于2,結合函數的圖象,直接寫出m的取值范圍.解析(1)直線l被拋物線G截得的線段長為

.當m=1時,拋物線G的函數表達式為y=x2+2x,直線l的函數表達式為y=x.畫出的兩個函數的圖象如圖所示.(2)∵拋物線G:y=mx2+2mx+m-1(m≠0)與y軸交于點C,∴點C的坐標為(0,m-1).∵y=mx2+2mx+m-1=m(x+1)2-1,∴拋物線G的頂點D的坐標為(-1,-1).對于直線l:y=mx+m-1(m≠0),當x=0時,y=m-1;當x=-1時,y=m×(-1)+m-1=-1.∴無論m取何值,點C,D都在直線l上.(3)m的取值范圍是m≤-

或m≥

.提示:當m>0時,截得的線段長為

,令

≥2,解得m≥

;當m<0時,截得的線段長為

,令

≥2,解得m≤-

.思路分析解決本題最后一問需要借助勾股定理,用含m的式子表示出截得的線段長.21.(2018北京海淀一模,26)在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y=x2-2ax+b的頂點在x軸上,P(x1,m),Q(x2,m)(x1<x2)是此拋物線上的兩點.(1)若a=1,①當m=b時,求x1,x2的值;②將拋物線沿y軸平移,使得它與x軸的兩個交點間的距離為4,試描述出這一變化過程;(2)若存在實數c,使得x1≤c-1,且x2≥c+7成立,則m的取值范圍是

.解析∵拋物線y=x2-2ax+b的頂點在x軸上,∴

=0,∴b=a2.(1)∵a=1,∴b=1.∴拋物線的解析式為y=x2-2x+1.①∵m=b=1,∴令x2-2x+1=1,解得x1=0,x2=2.②依題意,設平移后的拋物線為y=(x-1)2+k.∵拋物線的對稱軸是直線x=1,平移后與x軸的兩個交點之間的距離是4,∴(3,0)是平移后的拋物線與x軸的一個交點,∴(3-1)2+k=0,即k=-4.∴變化過程:將原拋物線向下平移4個單位.(2)m≥16.提示:根據題意可知,點P、Q間的距離大于8,又因為P、Q兩點關于直線x=a對稱,因此x2≥a+4,將x=a+4,y=m代入函數解析式得m=16,所以m≥16.22.(2018北京朝陽一模,26)在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2-4ax-4(a≠0)與y軸交于點A,其對稱軸與x軸

交于點B.(1)求點A,B的坐標;(2)若方程ax2-4ax-4=0(a≠0)有兩個不相等的實數根,且兩根都在1,3之間(包括1,3),結合函數的圖象,求a的取

值范圍.解析(1)y=ax2-4ax-4=a(x-2)2-4a-4.令x=0,得y=-4,∴A(0,-4).拋物線的對稱軸為直線x=2,∴B(2,0).(2)當拋物線經過點(1,0)時,a=-

,當拋物線經過點(2,0)時,a=-1.結合函數圖象可知,a的取值范圍為-

≤a≤-1.23.(2018北京豐臺一模,26)在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2-4ax+3a的最高點的縱坐標是2.(1)求拋物線的對稱軸及拋物線的表達式;(2)將拋物線在1≤x≤4之間的部分記為圖象G1,將圖象G1沿直線x=1翻折,翻折后的圖象記為G2,圖象G1和G2

組成圖象G.過點(0,b)作與y軸垂直的直線l,當直線l和圖象G只有兩個公共點時,將這兩個公共點分別記為P1(x1,y1),P2(x2,y2),求b的取值范圍和x1+x2的值.解析(1)∵拋物線y=ax2-4ax+3a=a(x-2)2-a,∴拋物線的對稱軸為直線x=2.∵拋物線最高點的縱坐標是2,∴a=-2.∴拋物線的表達式為y=-2x2+8x-6.(2)由圖象可知,b=2或-6≤b<0.

由圖象的對稱性可得x1+x2=2.思路分析解決本題第二問需要先畫出示意圖,通過觀察解決.解題關鍵解決本題第二問的關鍵是要根據示意圖尋找臨界點,求x1+x2時要借助拋物線的對稱性.24.(2018北京石景山一模,26)在平面直角坐標系xOy中,將拋物線G1:y=mx2+2

(m≠0)向右平移

個單位長度后得到拋物線G2,點A是拋物線G2的頂點.(1)直接寫出點A的坐標;(2)過點(0,

)且平行于x軸的直線l與拋物線G2交于B,C兩點.①當∠BAC=90°時,求拋物線G2的表達式;②若60°<∠BAC<120°,直接寫出m的取值范圍.解析(1)A(

,2

).(2)①設拋物線G2的表達式為y=m(x-

)2+2

,如圖所示,設拋物線的對稱軸與直線l的交點為D,由題意可得AD=2

-

=

.∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABD=45°,∴BD=AD=

,∴點B的坐標為(0,

).∵點B在拋物線G2上,∴m(0-

)2+2

=

,解得m=-

.∴拋物線G2的表達式為y=-

(x-

)2+2

,即y=-

x2+2x+

.②-

<m<-

.提示:當∠BAC=60°時,∠ABD=60°,可得BD=1,點B的坐標為(

-1,

),進而可求得m=-

.當∠BAC=120°時,∠ABD=30°,可得BD=3,點B的坐標為(

-3,

),進而可求得m=-

,所以m的取值范圍為-

<m<-

.25.(2018北京東城二模,26)在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx-3(a≠0)經過點A(-1,0)和點B(4,5).(1)求該拋物線的表達式;(2)求直線AB關于x軸的對稱直線的表達式;(3)點P是x軸上的動點,過點P作垂直于x軸的直線l,直線l與拋物線交于點M,與直線AB交于點N.當PM<PN時,

求點P的橫坐標xP的取值范圍.解析(1)把點(-1,0)和(4,5)分別代入y=ax2+bx-3(a≠0),得

解得

∴拋物線的表達式為y=x2-2x-3.(2)設點B(4,5)關于x軸的對稱點為B',則點B'的坐標為(4,-5).設所求直線的表達式為y=mx+n,m≠0,把點(-1,0)和(4,-5)分別代入y=mx+n,得

解得

∴直線AB關于x軸的對稱直線的表達式為y=-x-1.(3)設直線AB'與拋物線y=x2-2x-3交于點C,直線l與直線AB'的交點為N',則PN'=PN.∵PM<PN,∴PM<PN'.∴點M在線段NN'上(不含端點).∴點M在拋物線y=x2-2x-3夾在點C與點B之間的部分上.聯立y=x2-2x-3與y=-x-1,可得點C的橫坐標為2.又點B的橫坐標為4,∴點P的橫坐標xP的取值范圍為2<xp<4.26.(2018北京西城二模,26)拋物線M:y=ax2-4ax+a-1(a≠0)與x軸交于A,B兩點(點A在點B左側),拋物線的頂點

為D.(1)拋物線M的對稱軸是直線

;(2)當AB=2時,求拋物線M的函數表達式;(3)在(2)的條件下,直線l:y=kx+b(k≠0)經過拋物線的頂點D,直線y=n與拋物線M有兩個公共點,它們的橫坐標

分別記為x1,x2,直線y=n與直線l的交點的橫坐標記為x3(x3>0),若當-2≤n≤-1時,總有x1-x3>x3-x2>0,請結合函數

的圖象,直接寫出k的取值范圍.解析(1)x=2.(2)∵拋物線y=ax2-4ax+a-1的對稱軸為直線x=2,拋物線M與x軸的交點為A,B(點A在點B左側),AB=2,∴A,B兩點的坐標分別為A(1,0),B(3,0),∵點A在拋物線M上,∴將A(1,0)的坐標代入拋物線的函數表達式,得a-4a+a-1=0,解得a=-

.∴拋物線M的函數表達式為y=-

x2+2x-

.(3)k>

.提示:如下圖,∵x3>0,∴直線l與y軸的交點在點(0,-2)上方,又∵直線l過拋物線的頂點D

,∴根據圖象可知,k>

=

.27.(2018北京海淀二模,26)在平面直角坐標系xOy中,已知點A(-3,1),B(-1,1),C(m,n),其中n>1,以點A,B,C為頂

點的平行四邊形有三個,記第四個頂點分別為D1,D2,D3,如圖所示.(1)若m=-1,n=3,則點D1,D2,D3的坐標分別是(

),(

),(

);(2)是否存在點C,使得點A,B,D1,D2,D3在同一條拋物線上?若存在,求出點C的坐標;若不存在,說明理由.

解析(1)D1(-3,3),D2(1,3),D3(-3,-1).(2)不存在.理由如下:假設存在滿足條件的點C,即A,B,D1,D2,D3在同一條拋物線上,則線段AB的垂直平分線x=-2即為這條拋物線

的對稱軸,而D1,D2在直線y=n上,則D1D2的中點C也在拋物線的對稱軸上,故m=-2,即點C的坐標為(-2,n).由題意得D1(-4,n),D2(0,n),D3(-2,2-n).注意到D3在拋物線的對稱軸上,故D3為拋物線的頂點.設拋物線的表達式是y=a(x+2)2+2-n.當x=-1時,y=1,代入得a=n-1.所以y=(n-1)(x+2)2+2-n.令x=0,得y=4(n-1)+2-n=3n-2=n,解得n=1,與n>1矛盾.所以不存在滿足條件的點C.28.(2017北京西城一模,27)在平面直角坐標系xOy中,二次函數y=mx2-(2m+1)x+m-5的圖象與x軸有兩個公共

點.(1)求m的取值范圍;(2)若m取滿足條件的最小的整數.①寫出這個二次函數的解析式;②當n≤x≤1時,函數值y的取值范圍是-6≤y≤4-n,求n的值;③將此二次函數圖象平移,使平移后的圖象經過原點O.設平移后的圖象對應的函數表達式為y=a(x-h)2+k,當

x<2時,y隨x的增大而減小,求k的取值范圍.解析(1)∵二次函數y=mx2-(2m+1)x+m-5的圖象與x軸有兩個公共點,∴

解得m>-

且m≠0.∴m的取值范圍是m>-

且m≠0.(2)①∵m取滿足條件的最小的整數,∴m=1.∴二次函數的解析式為y=x2-3x-4.②圖象的對稱軸為直線x=

.當n≤x≤1<

時,函數值y隨自變量x的增大而減小,∵函數值y的取值范圍是-6≤y≤4-n,∴當x=1時,函數值為-6.當x=n時,函數值為4-n.∴n2-3n-4=4-n,解得n=-2或n=4(不合題意,舍去).∴n的值為-2.③由①知y=x2-3x-4,故a=1.∵函數圖象經過原點,∴k=-h2,∵當x<2時,y隨x的增大而減小,∴h≥2,∴k≤-4.

思路分析(1)由拋物線與x軸有兩個交點得

即可求出m的取值范圍.(2)①通過(1)可以確定m的值.②根據二次函數圖象的增減性確定端點處函數值,列方程求解.③畫出圖象,由圖象過原點得k=-h2,觀察圖象得

到h的范圍,從而求得k的范圍.29.(2019北京朝陽二模,26)在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2-2a2x(a≠0)的對稱軸與x軸交于點P.(1)求點P的坐標(用含a的代數式表示);(2)記函數y=-

x+

(-1≤x≤3)的圖象為圖形M,若拋物線與圖形M恰有一個公共點,結合函數的圖象,求a的取值范圍.解析(1)拋物線y=ax2-2a2x的對稱軸是直線x=-

=a,∴點P的坐標是(a,0).

(2分)(2)由題意可知圖形M為線段AB,A(-1,3),B(3,0).當拋物線經過點A時,解得a=-

或a=1;當拋物線經過點B時,解得a=

.

(3分)如圖1,當a=-

時,拋物線與圖形M恰有一個公共點.圖1如圖2,當a=1時,拋物線與圖形M恰有兩個公共點.如圖3,當a=

時,拋物線與圖形M恰有兩個公共點.圖2圖3結合函數的圖象可知,當a≤-

或0<a<1或a>

時,拋物線與圖形M恰有一個公共點.

(6分)思路分析本題的第二問需要畫出拋物線的示意圖(經過原點),同時關注對稱軸與頂點的坐標之間有怎樣

的數量關系.教師專用題組1.(2019安徽,22,12分)一次函數y=kx+4與二次函數y=ax2+c的圖象的一個交點坐標為(1,2),另一個交點是該二

次函數圖象的頂點.(1)求k,a,c的值;(2)過點A(0,m)(0<m<4)且垂直于y軸的直線與二次函數y=ax2+c的圖象相交于B,C兩點,點O為坐標原點,記W=

OA2+BC2.求W關于m的函數解析式,并求W的最小值.解析(1)因為點(1,2)在一次函數y=kx+4的圖象上,所以2=k+4,即k=-2,因為一次函數y=kx+4與二次函數y=ax2

+c圖象的另一個交點是該二次函數圖象的頂點,所以(0,c)在一次函數y=kx+4的圖象上,即c=4.又點(1,2)也在

二次函數y=ax2+c的圖象上,所以2=a+c,從而a=-2.

(6分)(2)解法一:因為點A的坐標為(0,m)(0<m<4),過點A且垂直于y軸的直線與二次函數y=-2x2+4的圖象交于點B,C,

所以可設點B的坐標為(x0,m),由對稱性得點C的坐標為(-x0,m),故BC=2|x0|.又點B在二次函數y=-2x2+4的圖象

上,所以-2

+4=m,即

=2-

,從而BC2=4

=8-2m.又OA=m,所以W=OA2+BC2=m2-2m+8=(m-1)2+7(0<m<4),所以m=1時,W有最小值7.

(12分)解法二:由(1)得二次函數的解析式為y=-2x2+4,因為點A的坐標為(0,m)(0<m<4),過點A且垂直于y軸的直線與

二次函數y=-2x2+4的圖象交于點B,C,所以令-2x2+4=m,解得x1=

,x2=-

.所以BC=2

,又OA=m,從而W=OA2+BC2=m2+

=m2-2m+8=(m-1)2+7(0<m<4).所以m=1時,W有最小值7.

(12分)思路分析(1)將(1,2)代入一次函數解析式求出k,代入二次函數解析式得a+c=2,由題意可判斷點(0,c)也在

一次函數圖象上,從而求得a,c.(2)解法一:由題意可設點B(x0,m),由二次函數的對稱性可得點C(-x0,m),可得BC

=2|x0|,依據B點在二次函數的圖象上,得出

=2-

,從而求出W關于m的函數解析式,最后根據二次函數的性質求出最值.解法二:由(1)可令-2x2+4=m,求出兩根,從而得BC的長,從而求出W關于m的函數解析式,最后根據

二次函數的性質求出最值.2.(2019內蒙古包頭,26,12分)如圖,在平面直角坐標系中,已知拋物線y=ax2+bx+2(a≠0)與x軸交于A(-1,0)、B

(3,0)兩點,與y軸交于點C,連接BC.(1)求該拋物線的解析式,并寫出它的對稱軸方程;(2)點D為拋物線對稱軸上一點,連接CD、DB,若∠DCB=∠CBD,求點D的坐標;(3)已知F(1,1),若E(x,y)是拋物線上一個動點(其中1<x<2),連接CE,CF,EF,求△CEF面積的最大值及此時點E

的坐標;(4)若點N為拋物線對稱軸上一點,拋物線上是否存在點M,使得以B,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若

存在,請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標;若不存在,請說明理由.

解析(1)∵拋物線y=ax2+bx+2(a≠0)過A(-1,0),B(3,0)兩點,∴

解得

∴拋物線的解析式為y=-

x2+

x+2.∴對稱軸方程是x=1.

(3分)(2)過點D作DG⊥y軸于G,作DH⊥x軸于H.設點D(1,y0),∵C(0,2),B(3,0),∴在Rt△CGD中,CD2=CG2+GD2=(2-y0)2+(1-0)2,在Rt△BHD中,BD2=BH2+HD2=(3-1)2+(y0-0)2.在△BCD中,∵∠DCB=∠CBD,∴CD=BD,∴CD2=BD2.∴(2-y0)2+(1-0)2=(3-1)2+(y0-0)2,∴4y0=1,∴y0=

.∴點D的坐標是

.

(6分)(3)過點E作EQ⊥y軸于Q,過點F作FR⊥y軸于R,過點E作EP⊥FR于P,∴∠EQR=∠QRP=∠RPE=90°,∴四邊

形QRPE是矩形.則S△CEF=S矩形QRPE-S△EQC-S△CRF-S△FPE,∵E(x,y),C(0,2),F(1,1),∴S△CEF=EQ·QR-

EQ·QC-

CR·RF-

FP·EP=x(y-1)-

x(y-2)-

×1×1-

(x-1)(y-1).∵y=-

x2+

x+2,∴S△CEF=-

x2+

x,∴S△CEF=-

+

.∵-

<0,1<

<2,∴當x=

時,△CEF的面積取最大值,為

.此時點E的坐標為

.

(9分)(4)存在點M,使得以B,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形.點M的坐標為(2,2)或

或

.

(12分)思路分析(1)根據A,B兩點坐標用待定系數法求拋物線的解析式;(2)作DG⊥y軸,DH⊥x軸,然后分別在Rt△

CGD和Rt△BHD中求出CD2和BD2,由∠DCB=∠CBD可推出CD=BD,列方程,問題解決;(3)作EQ⊥y軸于Q,FR

⊥y軸于R,EP⊥FR于P,可證四邊形QRPE是矩形,再根據S△CEF=S矩形QRPE-S△EQC-S△CRF-S△FPE得到關于x的二次函數,

最后由二次函數的性質求出最值,問題解決;(4)拋物線的對稱軸方程是x=1,C,B兩點在對稱軸的兩側,故在對

稱軸的左側有一點,在對稱軸的右側存在兩點:一點在x軸的上方,另一點在x軸的下方,然后分別求出.3.(2019四川成都,28,12分)如圖,拋物線y=ax2+bx+c經過點A(-2,5),與x軸相交于B(-1,0),C(3,0)兩點.(1)求拋物線的函數表達式;(2)點D在拋物線的對稱軸上,且位于x軸的上方,將△BCD沿直線BD翻折得到△BC'D,若點C'恰好落在拋物

線的對稱軸上,求點C'和點D的坐標;(3)設P是拋物線上位于對稱軸右側的一點,點Q在拋物線的對稱軸上,當△CPQ為等邊三角形時,求直線BP

的函數表達式.

解析(1)由題意,得

解得

∴拋物線的函數表達式為y=x2-2x-3.(2)∵拋物線與x軸的交點為B(-1,0),C(3,0),∴BC=4,拋物線的對稱軸為直線x=1.設拋物線的對稱軸與x軸交于點H,則H點的坐標為(1,0),BH=2.由翻折得C'B=CB=4.在Rt△BHC'中,由勾股定理,得C'H=

=

=2

.∴點C'的坐標為(1,2

),tan∠C'BH=

=

=

.∴∠C'BH=60°.由翻折得∠DBH=

∠C'BH=30°.在Rt△BHD中,DH=BH·tan∠DBH=2×tan30°=

.∴點D的坐標為

.(3)取(2)中的點C',D,連接CC'.∵BC'=BC,∠C'BC=60°,∴△C'CB為等邊三角形.分類討論如下:①當點P在x軸上方時,點Q在x軸上方.連接BQ,C'P.∵△PCQ,△C'CB為等邊三角形,∴CQ=CP,BC=C'C,∠PCQ=∠C'CB=60°.∴∠BCQ=∠C'CP.∴△BCQ≌△C'CP.∴BQ=C'P.∵點Q在拋物線的對稱軸上,∴BQ=CQ.∴C'P=CQ=CP.又∵BC'=BC,∴BP垂直平分CC'.由翻折可知BD垂直平分CC'.∴點D在直線BP上.設直線BP的函數表達式為y=kx+b,則

解得

∴直線BP的函數表達式為y=

x+

.②當點P在x軸下方時,點Q在x軸下方.∵△QCP,△C'CB為等邊三角形,∴CP=CQ,BC=C'C,∠CC'B=∠QCP=∠C'CB=60°.∴∠BCP=∠C'CQ.∴△BCP≌△C'CQ.∴∠CBP=∠CC'Q.∵BC'=CC',C'H⊥BC,∴∠CC'Q=

∠CC'B=30°,∴∠CBP=30°.設BP與y軸相交于點E.在Rt△BOE中,OE=OB·tan∠CBP=OB·tan30°=1×

=

,∴點E的坐標為

.設直線BP的函數表達式為y=k'x+b',則

解得

∴直線BP的函數表達式為y=-

x-

.綜上所述,直線BP的函數表達式為y=

x+

或y=-

x-

.思路分析(1)把A,B,C的坐標代入y=ax2+bx+c中可以求得函數表達式;(2)由翻折得BC'=BC=4,∠CBD=∠C'BD.由勾股定理,解直角三角形可求得點C',D的坐標;(3)分情況討論:①當P,Q均在x軸上方時,依據條件證得△BCQ≌△C'CP,再根據對稱性得點D在直線BP上,用待定系數法求出直線BP的解析式;②當P,Q均在x軸下方時,設BP與y軸交于點E,先證得△BCP≌△C'CQ,進而可求得∠CBP=30°以及點E的坐標,再求出直線BP的解析式.4.(2019福建,25,14分)已知拋物線y=ax2+bx+c(b<0)與x軸只有一個公共點.(1)若拋物線與x軸的公共點坐標為(2,0),求a,c滿足的關系式;(2)設A為拋物線上的一個定點,直線l:y=kx+1-k與拋物線交于點B,C,直線BD垂直于直線y=-1,垂足為D.當k=0

時,直線l與拋物線的一個交點在y軸上,且△ABC是等腰直角三角形.①求點A的坐標和拋物線的解析式;②證明:對于每個給定的實數k,都有A,C,D三點共線.解析本小題考查一次函數和二次函數的圖象與性質、等腰直角三角形的性質等基礎知識,考查運算能

力、推理能力,考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想.(1)依題意,Δ=b2-4ac=0,-

=2,所以(-4a)2-4ac=0,因為a≠0,所以c=4a,即a,c滿足的關系式為c=4a.(2)①當k=0時,直線l為y=1,它與y軸的交點為(0,1).因為直線y=1與x軸平行,所以等腰直角△ABC的直角頂點只能是A,且A是拋物線的頂點.過A作AM⊥BC,垂足為M,則AM=1,所以BM=MC=AM=1,故點A的坐標為(1,0).所以拋物線的解析式可改寫為y=a(x-1)2.因為拋物線過點(0,1),所以1=a(0-1)2,解得a=1.所以拋物線的解析式為y=(x-1)2,即y=x2-2x+1.②證明:設B(x1,y1),C(x2,y2),則D(x1,-1).由

得x2-(k+2)x+k=0.Δ=(k+2)2-4k=k2+4>0,由拋物線的對稱性,不妨設x1<x2,則x1=

,x2=

,所以x1<1<x2.

設直線AD的解析式為y=mx+n,則有

解得

所以直線AD的解析式為y=-

x+

.因為y2-

=(x2-1)2+

=

=

=0,即y2=-

x2+

,所以點C(x2,y2)在直線AD上.故對于每個給定的實數k,都有A,C,D三點共線.5.(2019河北,26,12分)如圖,若b是正數,直線l:y=b與y軸交于點A;直線a:y=x-b與y軸交于點B;拋物線L:y=-x2+bx

的頂點為C,且L與x軸右交點為D.(1)若AB=8,求b的值,并求此時L的對稱軸與a的交點坐標;(2)當點C在l下方時,求點C與l距離的最大值;(3)設x0≠0,點(x0,y1),(x0,y2),(x0,y3)分別在l,a和L上,且y3是y1,y2的平均數,求點(x0,0)與點D間的距離;(4)在L和a所圍成的封閉圖形的邊界上,把橫、縱坐標都是整數的點稱為“美點”,分別直接寫出b=2019和

b=2019.5時“美點”的個數.

解析(1)當x=0時,y=x-b=-b,∴B(0,-b).∵AB=8,A(0,b),∴b-(-b)=8.∴b=4.

(2分)∴L的方程為y=-x2+4x.∴L的對稱軸為x=2.當x=2時,y=x-4=-2.∴L的對稱軸與a的交點坐標為(2,-2).

(4分)(2)∵y=-

+

,∴L的頂點C的坐標為

.

(5分)∵點C在l下方,∴C與l的距離為b-

=-

(b-2)2+1≤1.∴點C與l距離的最大值為1.

(7分)(3)由題意得y3=

,即y1+y2=2y3,得b+x0-b=2(-

+bx0).解得x0=0或x0=b-

.但x0≠0,取x0=b-

.

(9分)對于L,當y=0時,0=-x2+bx,即0=-x(x-b).解得x1=0,x2=b.∵b>0,∴右交點D的坐標為(b,0).∴點(x0,0)與點D間的距離為b-

=

.

(10分)(4)4040;1010.

(12分)詳解:如圖,a與L的交點坐標滿足:y=x-b=-x2+bx,得交點D(b,0),E(-1,-1-b).

①當b為整數時,而x也是整數,∴對應的y=-x2+bx和y=x-b均為整數.∴當x=-1和x=b時,對應的“美點”各只有一個.從x=0到x=b-1共有b個整數,每個整數x都對應兩個“美點”,∴此時“美點”個數為2b+2.把b=2019代入,求得“美點”個數為4040.②當b不是整數時,但x是整數,∴x-b不是整數,即邊界y=x-b(-1≤x≤b)上沒有“美點”;而在邊界y=-x2+bx(-1≤x≤b)上,滿足bx是整數才有“美點”.對于b=2019.5,x應是從0到2018的偶數,∴此時“美點”的個數為2018÷2+1=1010.思路分析(1)由題意得OA=OB,∵AB=8,∴b=4,可得L的方程為y=-x2+4x,進而得出L的對稱軸為x=2,把x=2代

入y=x-4得出交點坐標;(2)將二次函數解析式配方得出頂點坐標為

,根據點C在l下方得出點C與l的距離為b-

=-

(b-2)2+1≤1,進而得出最大值;(