《數學建模課程》練習題二一、填空題1.若yXZzXX,則y與X的函數關系是_y=kx,k是比例常數.有人觀察到魚尾每擺動一次，魚所移動的距離幾乎與魚身的長度相等，則魚尾擺動的次數T(次/秒)、魚身的長度L和它的速度V的關系式為—V=kTL..已知行星的質量與它的密度和它的半徑的立方成正比.若某行星的直徑是地球直徑的d倍，且它的平均密度是地球的S倍，則此行星質量是地球的—Sd3倍..馬爾薩斯與邏輯斯蒂克兩個人口增長模型的主要區別是假設了增長率是常數還是人口的遞減函數.設S表示掙的錢數，x表示花的錢數，則“錢越多花的也就越多”的數學模型可以簡單表示為_S=kx,k>0是比例常數.在超級市場的收銀臺有兩條隊伍可選擇，隊1有m個顧客，每人都買了n件商品，隊211有m個顧客，每人都買了n件商品，假設每個人付款需P秒，而掃描每件商品需t秒秒，22則加入較快隊1的條件是m(P+nt)<m(P+nt) .-1 1 2 2.在建立人口增長問題的邏輯斯蒂克模型時，假設人口增長率廠是人口數量x(t)的遞減函數，若最大人口數量記作X,為簡化模型，采用的遞減函數是_NX)=r-sx_其生r,S均m為正常數.一次晚會花掉100元用于食品和飲料，其中食品至少要花掉40%，飲料起碼要花30元，用f和d列出花在食品和飲料上的費用的數學模型是d+f<100,f/(f+d)≥0.4,d≥30.設某種商品的需求量函數是Q(t)=-25p(t)+1200(萬件)，其中p(t)為該商品的價格函數，那么該商品的社會最大需求量是—1200(萬件)..設某種商品的供給量函數是G(t)=36p(t-1)-3600，其中P(t)為該商品的價格函數，那麼該商品下一時段的價格達到—100，才能迫使供給商停止供給。二、分析判斷題1．地方公安部門想知道，當緊急事故發生時，人群從一個建筑物中撤離所需要的時間，假設有足夠的安全通道.若指揮者想盡可能多且快地將人群撤離，應制定甚麼樣的疏散計劃.請就這個計劃指出至少三個相關因素，并使用數學符號表示.撤離時人員的分布狀態S、人員總數N、撤離速度V、人們之間相對擁擠程度r、人員所在地與安全地點的距離L、人員撤離完畢所需要的總時間t等.假設某個數學模型建成為如下形式：\o"CurrentDocument"M x21P(x)=——[1—(1———)2]eχ2.x a2試在適當的假設下將這個模型進行簡化.x ,一當_較小的時候，可以利用二項展開式將小括號部分簡化為(1-

-aX2、1 4 X2一)2≈1---,從而有

a2 2a2一M.. ，P(X)=詆XeX2整IX也很小，則可以利用eX≈1+X將其進一步化簡為MP(X)= X(1+X2).2a2要為一所大學編制全校性選修課程表，有哪些因素應予以考慮？試至少列出5種.問題涉及到時間、地點和人員三大因素，故應該考慮到的因素至少有以下幾個：(1)教師：是否連續上課，對時間的要求，對多媒體的要求和課程種類的限制等；(2)學生：是否連續上課，專業課課時與共同課是否沖突，選修人數等；(3)教室：教室的數量，教室的容納量，是否具備必要的多媒體等條件；一起交通事故發生3個小時后，警方測得司機血液中酒精的含量是56/100(mg/ml),又過兩個小時，含量降為40/100(mg/ml),試判斷，當事故發生時，司機是否違反了酒精含量的規定(不超過80/100(mg/ml).設C(t)為t時刻血液中酒精的濃度，則濃度遞減率的模型應為Cl=-kC,其通解是C(t)=C(。)e-kt,而C(0)就是所求量.由題設可知C(3)=56,C(5)=40,故有C(0)e-3k=56和C(0)e-5k=40,由此解得e2k=56/40nk≈0.17nC(0)=56e3k≈94.可見在事故發生時，司機血液中酒精的濃度已經超出了規定.5、為了節約用水，業內人士提出水費應按照階梯式進行收費。譬如對于居民用水收費，在一般月用水量的平均值之內按照原價格收取，超出部分要加大收費力度。對此問題建立模型應該考慮那些問題和因素？至少列舉三個。從問題角度說，應該考慮低收入家庭的承受能力，必須進行調查研究；從制定何種收費模型角度看，需要研究模型的結構，譬如分幾段收費等；用水的平均值數據怎樣獲得，分段力度達到多大；既要考慮平民百姓，也不能不考慮高收入人群，怎樣兼顧等。三、應用題1.某鋁合金加工單位要加工一批成套窗料，每套窗料含有2.2(m)和1.5(m)長度的料各兩根，總計要加工20套，所用原料的長度均為4.6(m),試建立整數規劃模型以給出一個截料方案，使得所用原料最少？尺寸1232.2米0121.5米310料頭長0.10.90.2由此假設，按照方案1、2、3分別需原料X,X,X根，以Z表示總料頭長，則有123minZ=0.1x+0.9X+0.2X123\o"CurrentDocument"^ X + 2X = 40,\o"CurrentDocument"2 3\o"CurrentDocument"<3X +X + = 40,12X,X,X∈N123由兩個約束條件得X3=(40-X2)/2,X1=(40-X2)/3,起代入目標函數得1623Z=—+—X,3 30240可見應令X=0,nX=—,X=20.但X非整數，于是可將原問題添加條件構成兩個2 133 1新的整數規劃問題：minZ=0.1x+0.9x+0.2x⑴彳3Xx?x1其中問題1x2+x2≤13,2++x1,（2）無解，而3minz=0.1x1+0.9X+0.2X2x3x2,（1）x∈340,40,

N⑵<3x1x≥14,

1+x2,2x2x2x,3++x1可同上求解得x3=20-旦,X="

2 1 32,但x≤13nx12≥1,代入目標函數可知X2=1nx=13,x=19-!-.ι3 2依此再進行分支和求解，最后獲得解為x1=12,x=4,x=18n23zmin=8.4.32x3∈N40,40,即按照方案1、2、3各自截12、4、18根原料即為最優方案.（兩條）及其路長分別為故得V1到V9的最短路線第一條：v1→V4→V3→V→V→V;l=18.

5 7 9min第二條：VTV→V→V→V→V;l=18.1 4 6 5 7 9min一個毛紡廠使用羊毛、兔毛和某種纖維生產甲、乙兩種混紡毛料，生產一個單位產品甲需要的三種原料依次為3、2、8個單位，產值為580元；生產一個單位產品乙需要的三種原料依次為2、3、5個單位，產值為680元，三種原料在計劃期內的供給量依次為90、30和80單位.試建立線性規劃模型以求一個生產方案，使得總產值達到最大，并由此回答：最優生產方案是否具有可選擇余地？若有請至少給出兩個，否則說明理由.原材料的利用情況.設X1,X2表示甲、乙兩種產品的產量，則有原材料限制條件：3X+2X≤90,2X+3X≤30,8X+5X≤8012 12 12目標函數滿足mxZ=580X1+680X2,合在一起便是所求線性規劃模型，其中XJ≥0,J=1,2.（1）使用圖解法易得其最優生產方案只有一組（這是因為所有約束條件所在直線的斜率與目標函數直線的斜率均不相等），從而最優方案沒有可選擇余地.計算知最優解為：4540 53300X*=(^τ~,-7)T,目標值為maχZ=-7—（萬元）.（2）利用圖解法求解中只用到了后兩個約束條件，故羊毛有剩余量，將解代入可檢驗而知2羊毛有59］單位的剩余量.4.三個磚廠仆仆A向三個工地B1，B2,B3供應紅磚.各磚廠的供應量與各工地的需求量以及各磚廠調運紅磚到各工地的單價見表.試安排調運方案，使總費用最小？?ι?■單價/百元、、磚廠 7J?B1B2B3供應量/萬塊A11064170A2756200A3839150需求量/萬塊160180180本問題是一個產銷平衡的運輸問題，可以利用表上作業法直接求解，即可獲得總運費用最低的調運方案為(求解過程從略)：A-≡→B,A-≡→B,A—30→B,A—10→B,A—?50→B1 32 12 22 33 2總費用為4X170+7X160+5X30+6X10+3X150=2460(百元).5、求解以下線性規劃模型，并回答所給兩個問題：maxZ=12x+8x122X+X≥4,1 23x+2x≤12,< 1 2x+x≤5,12X≥0,j=1,2.j(1)該模型的最優解是否唯一？為什么？若有兩個以上最優解，請至少給出兩個。(1)該模型的最優解不唯一，因為目標函數直線的斜率與第二個約束條件直線的相同。其兩個頂點解及其目標值分別為X1=(2,3)Γ,X2=(4,0)7,Z=48.max(2)若其中的X,X代表兩種商品的產量，且