PAGEPAGE4本科院校工科類專業(yè)數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課程《高等數(shù)學(xué)》對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義教學(xué)背景：本節(jié)內(nèi)容屬于多元函數(shù)積分學(xué)，先修內(nèi)容包括：一元函數(shù)微積分、空間解析幾何、多元函數(shù)微分學(xué)、重積分、兩類曲線積分以及對(duì)面積的曲面積分，在此基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義教學(xué)目標(biāo)：通過(guò)物理引例掌握對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義教學(xué)思路：曲面分類→有向曲面→引例（流向曲面一側(cè)的流量）→定義→性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容：一、有向曲面及曲面元素的投影1．有向曲面曲面分類：如果在曲面上可以定義一個(gè)單位法向量的場(chǎng)，使得可以連續(xù)地隨位置變化，則稱曲面為雙側(cè)曲面，否則為單側(cè)曲面。例如：雙側(cè)曲面--球面、拋物面；單側(cè)曲面—莫比烏斯帶（Mobius）雙側(cè)曲面測(cè)的指定：設(shè)曲面，若取法向量朝上即與軸正向的夾角為銳角，則曲面取定上側(cè)，否則為下側(cè)；對(duì)曲面，若的方向與正向夾角為銳角，取定曲面的前側(cè)，否則為后側(cè)，對(duì)曲面，的方向與正向夾角為銳角取定曲面為右側(cè)，否則為左側(cè)；若曲面為閉曲面，則取法向量的指向朝外，則此時(shí)取定曲面的外側(cè)，否則為內(nèi)側(cè)。有向曲面（Directedcurvisurface）：取定了法向量即選定了側(cè)的曲面。2．曲面元素的投影設(shè)是有向曲面，在上取一小塊曲面，把投影到面上，得一投影域（表示區(qū)域，又表示面積），假定上任一點(diǎn)的法向量與軸夾角的余弦同號(hào)，則規(guī)定投影為：即將投影面積附以一定的符號(hào)，同理可以定義在面，面上的投影，。二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念1．引例(流向曲面一側(cè)的流量)設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮的流體（設(shè)密度為1）的速度場(chǎng)為=++，為其中一片有向曲面，在上連續(xù)，求單位時(shí)間內(nèi)流向指定側(cè)的流體的質(zhì)量，即流量。圖1分析：已知?jiǎng)蛩倭黧w流過(guò)平面一側(cè)的流量公式：，其中為平面面積，流速為常向量，為該平面的單位法向量。現(xiàn)在考慮的不是平面閉區(qū)域而是一片曲面，且流速也不是常向量，故采用前面各類以常量公式解決變量問(wèn)題的方法：“以大化小、以常代變、求近似和、取極限”。把任意分成小塊，設(shè)光滑，且連續(xù)，當(dāng)很小時(shí)，任取，以該點(diǎn)的流速近似上其他各點(diǎn)的流速，以該點(diǎn)的單位法向量近似上其他各點(diǎn)的單位法向量，故流量，將向量代入，利用數(shù)量積的運(yùn)算展開得到：=其中為最大曲面直徑。2．定義設(shè)為光滑的有向曲面，在上有界，把分成塊，在面上投影，是上任一點(diǎn)，若時(shí)，存在，稱此極限值為在上對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，記為，即=類似地可以定義分別對(duì)坐標(biāo)及的曲面積分為：==以上三個(gè)曲面積分也稱為第二類曲面積分（Curvedsurfaceintegralsofcoordinate）。說(shuō)明：（1）有向，且光滑（2）在上連續(xù)，即存在相應(yīng)的曲面積分（3）++=（4）穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體，流向指定側(cè)的流量=（5）對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的向量表示：=，其中，.三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)性質(zhì)1、若，且之間無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)，則=，簡(jiǎn)單地，若，則+性質(zhì)2、用表示的反向曲面，則=即：=.思考：1．類似第一類曲面積分的計(jì)算，以對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義為基礎(chǔ)，考慮如何利用二重積分計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分；2.類似兩類曲線積分的聯(lián)系，如何建立兩類曲面積分的聯(lián)系？數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：體驗(yàn)雙側(cè)曲面與單側(cè)曲面的區(qū)別準(zhǔn)備兩個(gè)紙環(huán)，一個(gè)普通雙側(cè)紙環(huán)，一個(gè)莫比烏斯帶（不同于雙側(cè)環(huán)，其中一端翻個(gè)身再粘上）。用剪刀分別沿紙環(huán)的中央剪開，體會(huì)它們的不同結(jié)果：雙側(cè)環(huán)一分為二，變成兩個(gè)分離的環(huán)，單側(cè)環(huán)變成了一個(gè)更大的環(huán)。如果繼續(xù)剪下去，會(huì)有什么樣的結(jié)果呢？附：1、解答學(xué)生課堂提問(wèn)；2、課后復(fù)習(xí)建議使用網(wǎng)路資源、手機(jī)軟件等輔助微積分的學(xué)習(xí)：網(wǎng)易公開課MIT——多變量微積分之面積分；Moodle在線學(xué)習(xí)平臺(tái)；手機(jī)軟件Mathway，Derivative等。教學(xué)總結(jié)：本節(jié)內(nèi)容講解的是對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義，先對(duì)曲面進(jìn)行分類，結(jié)合數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)體會(huì)雙側(cè)曲面與單側(cè)曲面的區(qū)別，并且定義曲面面積元素的投影，在此基礎(chǔ)上由流體流向曲面一側(cè)的流量問(wèn)題，引入對(duì)坐標(biāo)