第一屆泛珠三角物理奧林匹克競賽題1（5分）光滑平面上有兩條長度均為2八而質量為m的均勻蠕蟲A和B。它們的起始未知如圖所示，蠕蟲A的質心位于lj坐標（0,0）。?蠕蟲B開始慢慢從A身上爬過，爬時兩蟲的身體軸線始終保持 '夾角。表示：當蠕蟲B爬過A后，兩蠕蟲各個質心位置的坐標。I 注.V\題2（13分）一體積為0.001m3的空氣泡和一質量和體積與空氣泡相同的鋼瓶從水下2.0km深處放出。不考慮摩擦。氣泡溫度不變。空氣在水面的密度為1.21kg/m3，大氣壓為1.0X105N/m2。曰一^dx 11a+3b'提丁 a+BxBa+Bi）a（a） 求氣泡到水面時的體積（3分）（b） 求深度h（h＜2.0km）時氣泡和鋼瓶凈得的能量的表達式（7分）（c） 用該表達式求氣泡和鋼瓶到達水面時的速度（3分）題3（12分）一質量為0.5M的人站在一以角速度3旋轉的厚度質量均勻，質量丫為0.5M、半徑為R的圓臺上。圓臺中心與轉軸間無摩擦。該人離圓///土―臺中心的距離為r（＜R），并帶有10顆質量為0.01M的石子。 j廠'（a） 求整個系統的總角動量。（4分） '、\ / ./為減速該人準備向外扔石子。石子扔出時相對他的速度為力方向'、＜ /：與徑向成夾角。。（b） 求當他扔了一石子后圓臺的角速度，并找出使角速度減少最多的夾角9maxo（4分）（c） 求當他以。max扔光石子后圓臺的角速度。（答案可用多項表達式）（4分）題4（8分）一均勻長竿長度為L，質量為M，在一半徑為RO0.5L）的光滑半球面「 i內處于靜止狀態。 /（a） 求竿在其平衡文職附近作小幅度振蕩的頻率。（4分（b） 已知小幅度振蕩時長竿偏離水平線最大偏角為。max。長竿在最大偏角和水平時球面對竿端的力強度的差可寫成△N=aMgQmax2。求a。（4分）

題5（12分）一電磁波的電場為E=E0X0e（kZ_3t）,其中E0和3為實常數，3=Ck,c為真空光速，nn為介質的介電常數（可以是復數）。（a） 簡單討論電磁波在介質中里傳播過程中，當n是實數、虛數或復數時電磁波強度的變化。（4分）（b）求磁場B，以及Poynting向量在一個周期里的平均量〈S=—（ExB）〉。（4分）U0d〈S〉 ~（c） q=---是描述電磁波在介質里能量損失的物理量。計算q，并簡單討論當n是dz實數、虛數或復數時所得的結果的物理意義。（3分）（d） 根據上述結果，電磁波在介質里傳播時如果其強度衰減，是否其能量一定有損失？（1分）題6（12分）下圖中陰影部分為均勻磁場區。磁場方向垂直紙面向外。下圖中陰影部分為均勻磁場區。磁場方向垂直紙面向外。（a）平面線圈帶電流（a）力。（3分）（b） 當線圈有部分在磁場區外時，磁場對線圈的力可表達成F=awBI，其中w是線圈與磁場區邊緣兩交界點間的距離，其方向則向上或向下（由電流方向決定）。求a。（3分）（c） 一半圓形線圈半徑為r，電阻為R，質量為m，從磁場區下落。線圈平面始終與紙面平行，其直邊始終與磁場區底部邊緣平行，距離為*不計線圈自感。導出決定j（＜r）的微分方程式。如果你求不到（b）部分的a，你可當它是已知的。（6分）

題7（15分）當半導體被加上相互垂直的電場和磁場時，就會產生一—卜TOC\o"1-5"\h\z與電流方向j垂直的電壓、。這一現象稱為霍爾效應。 f3帶正電的載流子運動引起，每個載瘤子帶正電///V荷們載瘤子面密度為〃，半導體導電率為。。 /L ‘另有一負電荷本底使半導體除了邊緣以外處處 —V中性。半導體內電場處處均勻。外加磁場B與 X薄膜垂直。當電壓V加上后，除了產生X*向的電流j外，還產生一與電流方向垂直的電壓VH，求到達穩態時的霍爾系數RH三VH/V。（注意電流j不是已知量）（6分）最近發現，在某些半導體里存在自旋霍爾效應。該效應與載流子固有的磁矩m有關。C?）在二維系統中載流子或受到一附加的力F=nRhxZ（Rashba力）。其中v為載流子在二維系統（X-Y）平面的速度，nR為常數。磁矩m保持與平面垂直，因此m=±mZ。注jX意這時無外加磁場。不計載流子磁矩間的相互作用。jX（b）設電場處處均勻，其沿X_方向的力遠大于Fr,￥// -求Y方向的電流。電流與m是何關系？（6分） 二^一V〔沿用（a）問條件〕（c）由于與邊界的碰撞，載流子的磁矩方向過了時間t之后就變成無序。也就是說每單位長度邊界每秒鐘有〃/T的載流子的磁矩方向成為無序，其中nm是還保持磁矩方向（+Z）的載流子密度。求邊緣區的磁化強度M。（3分）

題8（23分）電流變液由絕緣液體（比如硅油）和許多懸浮其中的介電小球組成，是一種因外加電場而從液體形態變成固體形態的物質。如圖所示一測試裝置，包括兩間距為。、面積為A的平導電板電流變液行導電板，板間充滿電流變液，兩板將無電壓時電流變液處于液體形態，因此兩板可無摩擦地在水平方向相對運動。兩板間加上電壓V后，小球被電場極化并沿電場排成直行。一板相對另一板要平移一小距離5x就需要一力5f。切變量n的定義為n=D工。小球的半徑導電板電流變液A5x為R（?D），介電常數為八總體小球占整個電流變液的體積比為m。無小球時液體的介電常數為1。不考慮重力。以導電板下題目要求你將n用上述物理量表達出來。導電板（a）第一步要通過求解（a1）—（（a）一均勻外電場E0里的極化P。已知球體內的極化是均勻的，方向與E0相同。（al）求在球心位置由極化P常數的電場。（（al）求在球心位置由極化P常數的電場。（3分）(a2)求球體內的總電場。（3分）.jIE0(a3)單個小球極化常數的總電偶極子可表達成P疽氣。求a。（(a3)（b）把小球近似當作位于球心的理想電偶極子，并只和E0有關。如果你沒有求出（a3）里的a，你可以當是已知常數來計算下面的問題。（提示：展開時保留到d2d是偶極子的長度。）（bl）求當兩球接觸，左右并排和上下排列時（如下圖所示）的靜電能量。（4分）（b2）求當一球與板接觸時板對球的靜電力。（3分）（b3）如下圖所示，求當兩球上下排列時，上面的球沿水平方向平移一小距離5a時的水平回復力。（3分）(b2(b2) (b3)（c）設加上電壓后所有小球都排成連續的單行的細柱，連接上下導電板。