文檔來源網(wǎng)絡整理侵權刪除專題28.19銳角三角函數(shù)（挑戰(zhàn)綜合（壓軸）題分類專題）（專項練習）【知識點一】三角函數(shù)的運算??計算??化簡??求值【類型①】三角函數(shù)的運算??直接計算1．（2022·湖南岳陽·中考真題）計算：．2．（2016·貴州畢節(jié)·中考真題）計算：3．（2021·山東菏澤·中考真題）計算：．【類型②】三角函數(shù)的運算??化解★?求值4．（2022·山東濱州·中考真題）先化簡，再求值：，其中5．（2021·遼寧營口·中考真題）先化簡，再求值：，其中．6．（2020·黑龍江黑龍江·中考真題）先化簡，再求值：，其中．【知識點二】三角函數(shù)在幾何問題中的應用【類型①】三角函數(shù)的應用??三角形7．（2016·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在中，，，垂足分別為，，與相交于點．（1）求證：∽；（2）當，時，求的長．8．（2020·四川眉山·中考真題）如圖，和都是等邊三角形，點、、三點在同一直線上，連接，，交于點．（1）若，求證：；（2）若，．①求的值；②求的長．9．（2021·四川阿壩·中考真題）如圖，中，，將繞點C順時針旋轉得到，點D落在線段AB上，連接BE．（1）求證：DC平分；（2）試判斷BE與AB的位置關系，并說明理由：（3）若，求的值．【類型②】三角函數(shù)的應用??平行四邊形10．（2018·廣西百色·中考真題）平行四邊形ABCD中，∠A=60°，AB=2AD，BD的中垂線分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，垂足為O．（1）求證：OE=OF；（2）若AD=6，求tan∠ABD的值．11．（2019·江蘇揚州·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE=6，BE=8，DE=10.（1）求證：∠BEC=90°；（2）求cos∠DAE.12．（2019·遼寧沈陽·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，點E和點F是對角線AC上的兩點，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE，過點C作CG⊥AB交AB的延長線于點G．求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若tan∠CAB＝，∠CBG＝45°，BC＝4，則?ABCD的面積是．【類型③】三角函數(shù)的應用??矩形13．（2022·湖北荊門·中考真題）如圖，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），將△ACB沿AC對折到△ACE的位置，AE和CD交于點F．(1)求證：△CEF≌△ADF；(2)求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．14．（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD為矩形，，點E在BC上，，將△ABC沿AC翻折到△AFC，連接EF．(1)求EF的長；(2)求sin∠CEF的值．15．（2022·四川成都·中考真題）如圖，在矩形中，，點是邊上一動點（點不與，重合），連接，以為邊在直線的右側作矩形，使得矩形矩形，交直線于點．(1)【嘗試初探】在點的運動過程中，與始終保持相似關系，請說明理由．(2)【深入探究】若，隨著點位置的變化，點的位置隨之發(fā)生變化，當是線段中點時，求的值．(3)【拓展延伸】連接，，當是以為腰的等腰三角形時，求的值（用含的代數(shù)式表示）．【類型④】三角函數(shù)的應用??菱形16．（2021·吉林長春·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，，，點E在邊AD上，，連結BE交AC于點M．（1）求AM的長．（2）的值為．17．（2020·吉林·中考真題）能夠完全重合的平行四邊形紙片和按圖①方式擺放，其中，．點，分別在邊，上，與相交于點．【探究】求證：四邊形是菱形．【操作一】固定圖①中的平行四邊形紙片，將平行四邊形紙片繞著點順時針旋轉一定的角度，使點與點重合，如圖②，則這兩張平行四邊形紙片未重疊部分圖形的周長和為______．【操作二】四邊形紙片繞著點繼續(xù)順時針旋轉一定的角度，使點與點重合，連接，，如圖③若，則四邊形的面積為______．18．（2019·北京·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AC為對角線，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，BE=DF，連接EF．（1）求證：AC⊥EF；（2）延長EF交CD的延長線于點G，連接BD交AC于點O，若BD=4，tanG=，求AO的長．【類型⑤】三角函數(shù)的應用??正方形19．（2018·寧夏·中考真題）已知點E為正方形ABCD的邊AD上一點，連接BE，過點C作CN⊥BE，垂足為M，交AB于點N.（1）求證：△ABE≌△BCN；（2）若N為AB的中點，求tan∠ABE.20．（2016·湖南株洲·中考真題）已知正方形ABCD中，BC=3，點E、F分別是CB、CD延長線上的點，DF=BE，連接AE、AF，過點A作AH⊥ED于H點．（1）求證：△ADF≌△ABE；（2）若BE=1，求tan∠AED的值．21．（2016·浙江杭州·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD和四邊形DEFG為正方形，點E在線段DC上，點A，D，G在同一直線上，且AD＝3，DE＝1，連接AC，CG，AE，并延長AE交CG于點H.(1)求sin∠EAC的值；(2)求線段AH的長．【知識點三】三角函數(shù)在實際生產生活中的應用【類型①】三角函數(shù)的應用??仰角★?俯角22．（2022·廣東廣州·中考真題）某數(shù)學活動小組利用太陽光線下物體的影子和標桿測量旗桿的高度．如圖，在某一時刻，旗桿的AB的影子為BC，與此同時在C處立一根標桿CD，標桿CD的影子為CE，CD=1.6m，BC=5CD．求BC的長；從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求旗桿AB的高度．條件①：CE=1.0m；條件②：從D處看旗桿頂部A的仰角為54.46°．注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分．參考數(shù)據(jù)：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．23．（2022·遼寧阜新·中考真題）如圖，小文在數(shù)學綜合實踐活動中，利用所學的數(shù)學知識測量居民樓的高度，在居民樓前方有一斜坡，坡長，斜坡的傾斜角為，．小文在點處測得樓頂端的仰角為，在點處測得樓頂端的仰角為（點，，，在同一平面內）．求，兩點的高度差；求居民樓的高度．（結果精確到，參考數(shù)據(jù)：）24．（2022·遼寧朝陽·中考真題）某數(shù)學興趣小組準備測量校園內旗桿頂端到地面的高度（旗桿底端有臺階）．該小組在C處安置測角儀CD，測得旗桿頂端A的仰角為30°，前進8m到達E處，安置測角儀EF，測得旗桿頂端A的仰角為45°（點B，E，C在同一直線上），測角儀支架高CD＝EF＝1.2m，求旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度．（結果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：≈1.7）【類型②】三角函數(shù)的應用??方位角25．（2022·湖北襄陽·中考真題）位于峴山的革命烈士紀念塔是襄陽市的標志性建筑，是為紀念“襄樊戰(zhàn)役”中犧牲的革命烈士及第一、第二次國內革命戰(zhàn)爭時期為襄陽的解放事業(yè)獻身的革命烈士的而興建的，某校數(shù)學興趣小組利用無人機測量紀念塔的高度．無人機在點A處測得紀念塔頂部點B的仰角為45°，紀念塔底部點C的俯角為61°，無人機與紀念塔的水平距離AD為10m，求紀念塔的高度．（結果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）26．（2022·四川資陽·中考真題）小明學了《解直角三角形》內容后，對一條東西走向的隧道進行實地測量．如圖所示，他在地面上點C處測得隧道一端點A在他的北偏東方向上，他沿西北方向前進米后到達點D，此時測得點A在他的東北方向上，端點B在他的北偏西方向上，（點A、B、C、D在同一平面內）(1)求點D與點A的距離；(2)求隧道的長度．（結果保留根號）27．（2022·貴州安順·中考真題）隨著我國科學技術的不斷發(fā)展，5G移動通信技術日趨完善．某市政府為了實現(xiàn)5G網(wǎng)絡全覆蓋，2021~2025年擬建設5G基站3000個，如圖，在斜坡上有一建成的5G基站塔，小明在坡腳處測得塔頂?shù)难鼋菫?，然后他沿坡面行走?0米到達處，處離地平面的距離為30米且在處測得塔頂?shù)难鼋牵c、、、、均在同一平面內，為地平線）（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求坡面的坡度；(2)求基站塔的高．【類型③】三角函數(shù)的應用??坡度★?坡比28．（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準備要?？康酱a頭C，貨輪航行到A處時，測得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．29．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，公園內有一個垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個坡面，坡角．在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為，在坡面上的影長為．同一時刻，小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．30．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖是某水庫大壩的橫截面，壩高，背水坡BC的坡度為．為了對水庫大壩進行升級加固，降低背水坡的傾斜程度，設計人員準備把背水坡的坡度改為，求背水坡新起點A與原起點B之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，．結果精確到0.1m）【知識點四】三角函數(shù)在函數(shù)中的應用【類型①】三角函數(shù)的應用??一次函數(shù)31．（2013·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC=12，tan∠ACO=，（1）求B、C兩點的坐標；（2）把矩形沿直線DE對折使點C落在點A處，DE與AC相交于點F，求直線DE的解析式；（3）若點M在直線DE上，平面內是否存在點N，使以O、F、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．32．（2021·天津東麗·一模）在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B的坐標為，把繞原點O順時針旋轉，得到，記旋轉角為．（Ⅰ）如圖①，當時，求點的坐標．（Ⅱ）設直線與直線相交于點M，如圖②，當時，求的面積．33．（2020·河北石家莊·模擬預測）如圖所示，在平面直角坐標系中A（0，2），點B（﹣3，0）．△AOB繞點O逆時針旋轉30°得到△A1OB1．（1）直接寫出點B1的坐標；（2）點C（2，0），連接CA1交OA于點D，求點D的坐標．【類型②】三角函數(shù)的應用??反比例函數(shù)34．（2021·山東泰安·中考真題）如圖，點P為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點，點P的縱坐標為4，軸，垂足為點B．（1）求m的值；（2）點M是函數(shù)圖象上一動點，過點M作于點D，若，求點M的坐標．35．（2014·江西南昌·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△PBD的斜邊PB落在y軸上，tan∠BPD=．延長BD交x軸于點C，過點D作DA⊥x軸，垂足為A，OA=4，OB=3．（1）求點C的坐標；（2）若點D在反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象上，求反比例函數(shù)的解析式．36．（2022·四川宜賓·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點，與y軸交于點B，與反比例函數(shù)的圖象交于點C、D．若，．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；(2)求的面積．參考答案1．1【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，實數(shù)的運算，有理數(shù)的乘方，絕對值等計算法則求解即可．解：．【點撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，實數(shù)的運算，有理數(shù)的乘方，絕對值，準確熟練地化簡各式是解題的關鍵．2．1-解：試題分析：首先根據(jù)絕對值、0次冪、負指數(shù)次冪、三角函數(shù)以及-1的偶數(shù)次冪的計算法則求出各式的值，然后進行求和得出答案.試題解析：原式=1+-1--2×+1=1-考點：實數(shù)的計算3．0【分析】根據(jù)零指數(shù)冪,絕對值的化簡,負整數(shù)指數(shù)冪,特殊角的函數(shù)值計算即可解：=1+3=0.【點撥】本題考查了零指數(shù)冪,負整數(shù)指數(shù)冪,特殊角的函數(shù)值,二次根式的化簡,絕對值的化簡,熟練掌握各種運算的基本法則是解題的關鍵．4．，0【分析】先算括號內的減法，再將除法變成乘法進行計算，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)，負指數(shù)冪和零次冪的性質求出a，最后代入計算．解：；∵，∴原式．【點撥】本題考查了分式的化簡求值，銳角三角函數(shù)，負指數(shù)冪和零次冪的性質，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．5．，【分析】先約分，再算分式的減法以及除法運算，進行化簡，再代入求值，即可．解：原式====，當==2時，原式=．【點撥】本題主要考查分式的化簡求值，掌握分式的混合運算法則以及特殊角三角函數(shù)值，是解題的關鍵．6．,【分析】括號內先通分進行分式的減法運算，然后進行分式的除法運算，將特殊角的三角函數(shù)值代入求出x的值，然后代入化簡后的結果進行計算即可．解：原式====，當時，原式．【點撥】本題考查了分式的混合運算——化簡求值，涉及了分式的減法、乘除法運算，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的混合運算等，熟練掌握各運算的運算法則是解題的關鍵．7．（1）見分析；（2）3【分析】（1）由，，推出，由此即可證明；（2）先證明，由∽，得，即可解決問題．解：（1）證明：∵，，∴，∴，，∴，∴∽．（2）∵，，∴，∴，∵∽，∴，∴．【點撥】本題考查相似三角形的判定和性質、三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質，屬于中考常考題型．8．（1）見分析；（2）①；②【分析】（1）先根據(jù)兩邊對應成比例且夾角對應相等得出，再根據(jù)ASA得出即可．（2）①過點作于點，根據(jù)直角三角形角所對直角邊是斜邊的一半可得，從而得出，由BE=6得出，，根據(jù)勾股定理得出，然后根據(jù)即可．②在Rt中，根據(jù)勾股定理得出BD的長，再根據(jù)得出即可得出DF的長．解：（1）證明：，又，，．和均為等邊三角形，，，，，，．（2）①，，，，，，．，，，過點作于點，為等邊三角形，，．在Rt中，，．②在Rt中，，，，，，，．【點撥】本題考查了相似三角形的性質和判定，等邊三角形的性質，直角三角形的性質，以及銳角三角函數(shù)，熟練掌握相關的知識是解題的關鍵．9．（1）見分析；（2）BE⊥AB，理由見分析；（3）．【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質可得AC=CD，∠A=∠CDE，再由等腰三角形的性質得到∠A=∠ADC即可證明∠ADC=∠CDE；（2）根據(jù)旋轉的性質得到∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，從而得出∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，再根據(jù)∠ACB=90°即可得到∠ABE=90°；（3）設BD=BE=a，根據(jù)勾股定理計算出AB=DE=，表達出AD，再證明△ACD∽△BCE，得到即可．解：（1）由旋轉可知：AC=CD，∠A=∠CDE，∴∠A=∠ADC，∴∠ADC=∠CDE，即DC平分∠ADE；（2）BE⊥AB，理由：由旋轉可知，∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，∴∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，又∵∠ACB=90°，∴∠CAD+∠ABC=90°，∴∠CBE+∠ABC=90°，即∠ABE=90°，∴BE⊥AB；（3）∵∠ABE=90°，BD=BE，∴設BD=BE=a，則，又∵AB=DE，∴AB=，則AD=，由（2）可知，∠ACD=∠BCE，∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，∴△ACD∽△BCE，∴，∴tan∠ABC=．【點撥】本題考查了旋轉的綜合應用以及相似三角形的性質與判定、銳角三角函數(shù)的定義，解題的關鍵是熟練掌握旋轉的性質，并熟記銳角三角函數(shù)的定義．10．（1）證明見分析（2）【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質和全等三角形的判定和性質證明即可；（2）作DG⊥AB，根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)解答即可．解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，∴∠1=∠2．∵EF是BD的中垂線，∴OD=OB，∠3=∠4=90°，∴△DOF≌△BOE，∴OE=OF；（2）作DG⊥AB，垂足為G．∵∠A=60°，AD=6，∴∠ADG=30°，∴AG=AD=3，∴DG=．∵AB=2AD，∴AB=2×6=12，BG=AB﹣AG=12﹣3=9，∴tan∠ABD=．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質和正切的定義，關鍵是根據(jù)平行四邊形的性質和全等三角形的判定和性質解答．11．（1）見分析；（2）cos∠DAE=【分析】(1)先求出BC的長，繼而根據(jù)勾股定理的逆定理進行證明即可得；(2)根據(jù)平行四邊形的性質可求得AB=16，∠ABE=90°，繼而根據(jù)勾股定理求出AE的長，然后利用余弦的定義求出cos∠EAB的值，再根據(jù)∠DAE=∠EAB即可求得答案.解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠AED=∠EAB，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠EAB，∴∠AED=∠DAE，∴AD=DE=10，∴BC=10，又∵BE=8，CE=6，∴BE2+CE2=BC2，∴△BEC為直角三角形，∴∠BEC=90°；(2)∵DE=10，CE=6，∴CD=DE+CE=16，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB//CD，AB=CD=16，∴∠ABE=∠BEC=90°，∴AE=，∴cos∠EAB=，∵∠DAE=∠EAB，∴cos∠DAE==.【點撥】本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理的逆定理，余弦等知識，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.注意數(shù)形結合思想的應用.12．（1）見分析；（2）24．【分析】（1）根據(jù)已知條件得到AF＝CE，根據(jù)平行線的性質得到∠DFA＝∠BEC，根據(jù)全等三角形的性質得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，于是得到結論；（2）根據(jù)已知條件得到△BCG是等腰直角三角形，求得BG＝CG＝4，解直角三角形得到AG＝10，根據(jù)平行四邊形的面積公式即可得到結論．解：（1）證明：∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC，∵DF＝BE，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：∵CG⊥AB，∴∠G＝90°，∵∠CBG＝45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∵BC＝4，∴BG＝CG＝4，∵tan∠CAB＝，∴AG＝10，∴AB＝6，∴?ABCD的面積＝6×4＝24，故答案為24．【點撥】本題考查了平行相交線的判定和性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形，正確的識別圖形是解題的關鍵．13．(1)證明見分析(2)tan∠DAF＝【分析】（1）根據(jù)矩形的性質得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根據(jù)折疊的性質得到BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，等量代換得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根據(jù)AAS證明三角形全等即可；（2）設DF＝a，則CF＝8﹣a，根據(jù)矩形的性質和折疊的性質證明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理表示出DF的長，根據(jù)正切的定義即可得出答案．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根據(jù)折疊的性質得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF與△ADF中，，∴△CEF≌△ADF（AAS）；（2）解：設DF＝a，則CF＝8﹣a，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC＝x，∴∠DCA＝∠BAC，根據(jù)折疊的性質得：∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2＝AF2，∴x2+a2＝（8﹣a）2，∴a＝，∴tan∠DAF＝＝．【點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定與性質，矩形的性質，翻折變換（折疊問題），根據(jù)矩形的性質和折疊的性質證出AF＝CF是解題的關鍵．14．(1)(2)【分析】(1)先由可求得的長度，再由角度關系可得，即可求得的長;(2)過F作于，利用勾股定理列方程，即可求出的長度，同時求出的長度，得出答案.解：（1）設，則，∴，在中，，∴，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，由折疊可知，∴，，∴，∴，在中，.（2）過F作FM⊥BC于M，∴∠FME=∠FMC=90°，設EM=a,則EC=3-a，在中，，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴.【點撥】此題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，矩形的性質，通過添加輔助線構建直角三角形是解題的關鍵．15．(1)見分析(2)或(3)或【分析】（1）根據(jù)題意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求證；（2）根據(jù)題意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，設DH=x，AE=a，則AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根據(jù)△ABE∽△DEH，可得或，即可求解；（3）根據(jù)題意可得EG=nBE，然后分兩種情況：當FH=BH時，當FH=BF=nBE時，即可求解．（1）解：根據(jù)題意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，∴∠DEH=∠ABE，∴△ABE∽△DEH；（2）解：根據(jù)題意得：AB=2DH，AD=2AB，∴AD=4DH，設DH=x，AE=a，則AB=2x，AD=4x，∴DE=4x-a，∵△ABE∽△DEH，∴，∴，解得：或，∴或，∴或；（3）解：∵矩形矩形，，∴EG=nBE，如圖，當FH=BH時，∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，∴Rt△BEH≌Rt△FGH，∴EH=GH=，∴，∵△ABE∽△DEH，∴，即，∴，∴；如圖，當FH=BF=nBE時，，∴，∵△ABE∽△DEH，∴，即，∴，∴；綜上所述，的值為或．【點撥】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質，矩形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理等知識是解題的關鍵．16．（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)菱形的性質，結合，可求得的長．（2）根據(jù)，，在中即可求出的值．解：（1）是菱形，，即，（2）是菱形，，，在中，【點撥】本題考查了菱形的基本性質，相似三角形的判定和性質，以及解直角三角形，熟練掌握菱形的性質是解題關鍵．17．探究：證明見分析；操作一：56；操作二：72．【分析】探究：先根據(jù)平行四邊形的性質可得，再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的判定即可得證；操作一：先根據(jù)菱形的性質得出，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質可得，然后根據(jù)全等三角形的性質、三角形的周長公式即可得；操作二：先根據(jù)平行四邊形的性質、等腰三角形的判定可得是等腰三角形，且平分，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，，然后利用正弦三角函數(shù)可求出DN的長，從而可得DG的長，最后根據(jù)矩形的判定可得四邊形是矩形，據(jù)此利用矩形的面積公式即可得．解：探究：四邊形和都是平行四邊形，即四邊形是平行四邊形又平行四邊形是菱形；操作一：如圖，設AE與DF相交于點H，AB與FG相交于點M四邊形和是兩個完全重合的平行四邊形，在和中，，和的周長相等同理可得：、、、的周長均相等又的周長為則這兩張平行四邊形紙片未重疊部分圖形的周長和為故答案為：56；操作二：如圖，設AB與DG相交于點N四邊形和是兩個完全重合的平行四邊形是等腰三角形，且平分，在中，，即解得又四邊形是平行四邊形，即平行四邊形是矩形則四邊形的面積為故答案為：72．【點撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質、三角形全等的判定與性質、菱形的判定、矩形的判定、正弦三角函數(shù)等知識點，熟記并靈活運用各判定定理與性質是解題關鍵．18．（1）證明見分析；（2）AO=1．【分析】（1）由菱形的性質得出AB=AD，AC平分∠BAD，再根據(jù)等腰三角形的三線合一即可；（2）根據(jù)菱形的性質和已知條件得出四邊形EBDG為平行四邊形，得出∠G=∠ABD，再根據(jù)tanG=即可求出AO的長．解：（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形

∴AB=AD，AC平分∠BAD∵BE=DF，∴

，∴AE=AF∴△AEF是等腰三角形，∵AC平分∠BAD，∴AC⊥EF（2）解：如圖2所示：∵四邊形ABCD為菱形，∴CG∥AB，BO=BD=2，∵EF∥BD∴四邊形EBDG為平行四邊形，∴∠G=∠ABD，∴tan∠ABD=tan∠G=∴tan∠ABD=，∴AO=1【點撥】本題考查了菱形的性質、平行線的判定與性質、解直角三角形，等腰三角形的性質等知識；熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．19．（1）證明見分析；（2）.【分析】（1）根據(jù)正方形的性質得到AB＝BC，∠A＝∠CBN＝90°，∠1＋∠2＝90°，根據(jù)垂線和三角形內角和定理得到∠2＋∠3＝90°，推出∠1＝∠3，根據(jù)ASA推出△ABE≌△BCN；（2）tan∠ABE＝，根據(jù)已知求出AE與AB的關系即可求得tan∠ABE.解：（1）證明：如圖，四邊形為正方形，，，，在和中；（2）為中點，又，在中，．【點撥】本題主要考查正方形的性質、三角形的內角和定理、垂線、全等三角形的性質和判定以及銳角三角函數(shù)等知識點的掌握和理解，證出△ABE≌△BCN是解此題的關鍵.20．（1）證明見分析；（2）．【分析】（1）根據(jù)輔助線的性質得到AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，由鄰補角的定義得到∠ADF=∠ABE=90°，于是得到結論；（2）過點A作AH⊥DE于點H，根據(jù)勾股定理得到AE=，ED==5，根據(jù)三角形的面積S△AED=AD×BA=，S△ADE=ED×AH=，求得AH=1.8，由三角函數(shù)的定義即可得到結論．解：（1）正方形ABCD中，∵AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，∴∠ADF=∠ABE=90°，在△ADF與△ABE中，∵AD=AB，∠ADF=∠ABE，DF=BE，∴△ADF≌△ABE；（2）如圖，過點A作AH⊥DE于點H，在Rt△ABE中，∵AB=BC=3，BE=1，∴AE=，ED==5，∵S△AED=AD×BA=，S△ADE=ED×AH=，解出AH=1.8，在Rt△AHE中，EH=2.6，∴tan∠AED===．【點撥】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．21．（1）；（2）試題分析：（1）如圖，過點E作EM⊥AC于點M，則∠EMA=∠EMC=90°，△EMC為等腰直角三角形，在Rt△ADE中易得AE=，在Rt△EMC中易得EM=，∴sin∠EAM=；（2）由已知易證△ADE≌△CDG，從而可得GC=AE=，∠DAE=∠DCG，由此可證得AH⊥CG，最后利用S△AGC=可解得AH的長.解：(1)作EM⊥AC于M.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝DC＝3，∠DCA＝45°.在Rt△ADE中，∵∠ADE＝90°，AD＝3，DE＝1，∴AE＝.在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，∠ECM＝45°，EC＝2，∴EM＝CM＝.∴在Rt△AEM中，sin∠EAM＝；(2)在△GDC和△EDA中，

，∴△GDC≌△EDA，∴∠GCD＝∠EAD，GC＝AE＝.又∵∠AED＝∠CEH，∴∠EHC＝∠EDA＝90°，∴AH⊥GC.∵S△AGC＝AG·DC＝GC·AH，∴×4×3＝×AH，∴AH＝.考點：（1）正方形的性質；（2）勾股定理的應用；（3）銳角三角形函數(shù)；（4）全等三角形的判定和性質；22．(1)；(2)①；②旗桿AB高度約．【分析】（1）根據(jù)BC=5CD，求解即可；（2）①CE=1.0m時，連接DE，則有△DEC∽△ACB，根據(jù)相似的性質求解即可；②當時，作點D到AB的垂線段DF，在Rt△ADF中，，求出，進一步可求出AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．（1）解：．（2）解：①CE=1.0m時，連接DE，則有△DEC∽△ACB，∴，∴，②當時，作點D到AB的垂線段DF，則四邊形BCDF是矩形，F(xiàn)B=DC=1.6m，F(xiàn)D=BC=8.0m，Rt△ADF中，，∴．∴AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．∴旗桿AB高度約12.8m．【點撥】本題考查相似三角形的性質，解直角三角形，近似運算．解題的關鍵是掌握相似三角形的性質，解直角三角形．23．(1)9m(2)24m【分析】（1）過點作，交的延長線于點，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案．（2）過點作于，設，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案．（1）解：過點作，交的延長線于點，在中，，，．．答：，兩點的高度差為．（2）過點作于，由題意可得，，設，在中，，解得，在中，，，，解得，．答：居民樓的高度約為．【點撥】本題考查解直角三角形的應用仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關鍵．24．旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度約為12m【分析】延長DF交AB于點G，根據(jù)題意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，然后設AG＝xm，在Rt△AFG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FG的長，從而求出DG的長，再在Rt△ADG中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關于x的方程，進行計算即可詳解．解：延長DF交AB于點G，由題意得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，設AG＝xm，在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，∴FGx（m），∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，∴tan30°，∴x＝44，經(jīng)檢驗：x＝44是原方程的根，∴AB＝AG+BG≈12（m），∴旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度約為12m．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．25．烈士塔的高度約為28m．【分析】在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，則BD=AD=10m，在Rt△ACD中，tan∠DAC=tan61°=≈1.80，解得CD≈18m，由BC=BD+CD可得出答案．解：由題意得，∠BAD=45°，∠DAC=61°，在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，∴BD=AD=10m，在Rt△ACD中，∠DAC=61°，tan61°=≈1.80，解得CD≈18，∴BC=BD+CD=10+18=28（m）．∴紀念塔的高度約為28m．【點撥】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關鍵．26．(1)點D與點A的距離為300米(2)隧道的長為米【分析】（1）根據(jù)方位角圖，易知，，解即可求解；（2）過點D作于點E．分別解，求出和，即可求出隧道的長解：（1）由題意可知：，在中，∴（米）答：點D與點A的距離為300米．（2）過點D作于點E．∵是東西走向∴在中，∴在中，∴∴（米）答：隧道的長為米【點撥】本題考查的是解直角三角形的應用-方向角問題，掌握方向角的概念、熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．27．(1)(2)基站塔的高為米【分析】（1）過點、分別作的垂線，交的延長線于點、，過點作，垂足為，利用勾股定理求出，然后利用坡度的求解方式求解即可；（2）設米，則米，米，根據(jù)，求出米，米．在中，求出；再根據(jù)（米．（1）解：如圖，過點、分別作的垂線，交的延長線于點、，過點作，垂足為．根據(jù)他沿坡面行走了50米到達處，處離地平面的距離為30米，（米），（米），根據(jù)勾股定理得：（米）坡面的坡度為；,即坡面的坡度比為；（2）解：設米，則米，米，，，米，米．在，米，米，，，解得；（米），（米，（米）．答：基站塔的高為米．【點撥】本題考查解直角三角形，通過作垂線構造直角三角形，利用直角三角形的邊角關系和坡度的意義進行計算是常用的方法．28．貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．【分析】過B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函數(shù)求得BD=15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性質即可求解．解：過B作BD⊥AC于D，由題意可知∠ABE=30°，∠BAC=30°，則∠C=180°-30°-30°-70°=50°，在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20(海里)，∴BD=BCsin50°≈20×0.766=15.32(海里)，在Rt△ABD中，∠BAD=30°，BD=15.32(海里)，∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里)，答：貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用—方向角問題，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．29．(170+60)cm【分析】延長AD交BN于點E，過點D作DF⊥BN于點F，根據(jù)直角三角形的性質求出DF，根據(jù)余弦的定義求出CF，根據(jù)題意求出EF，再根據(jù)題意列出比例式，計算即可．解：延長AD交BN于點E，過點D作DF⊥BN于點F，在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，則DF=CD=90（cm），CF=CD?cos∠DCF=180×=90（cm），由題意得：=，即=，解得：EF=135，∴BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm，則=，解得：AB=170+60，答：立柱AB的高度為(170+60)cm．【點撥】此題考查了解直角三角形的應用-坡度坡角問題、平行投影的應用，解題的關鍵是數(shù)形結合，正確作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)和成比例線段計算．30．背水坡新起點A與原起點B之間的距離約為14.6m【分析】通過解直角三角形和，分別求出AD和BD的長，由求出AB的長．解：在中，∵背水坡BC的坡度，∴，∴．在中，∵背水坡AC的坡度，∴，∴，∴．答：背水坡新起點A與原起點B之間的距離約為14.6m．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是理解坡度、坡比的含義，構造直角三角形，利用三角函數(shù)表示相關線段的長度．31．（1）C的坐標是：（6，0），B的坐標是（6，6）．（2）直線DE的解析式是：y=x﹣6．（3）N的坐標是：（3，）或（﹣3，）或（，3）．試題分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)求得OA以及OC的長度，則C、B的坐標即可得到．解：在直角△OAC中，，∴設OA=x，則OC=3x，根據(jù)勾股定理得：（3x）2+（x）2=AC2，即9x2+3x2=144，解得：x=2．∴C的坐標是：（6，0），B的坐標是（6，6）．（2）直線DE是AC的中垂線，應用待定系數(shù)法以及銳角三角函數(shù)定義即可求得DE的解析式．解：∵F是AC的中點，∴根據(jù)對折的性質，F(xiàn)的坐標是（3，3）．設D（d，0），則根據(jù)對折的性質，E（，6）．如圖，過點E作EH⊥OC于點H，則HE=6，DH=．易證∠DEH=∠ACO，∵，∴，即，解得．∴D（，0）設直線DE的解析式是y="k"x+b，將點D、F的坐標代入，得，解得∴直線DE的解析式是：y=x﹣6．（3）分當FM是菱形的邊和當OF是對角線兩種情況進行討論，利用三角函數(shù)即可求得N的坐標：OF=AC=6．∵，∴30°．∴DE與x軸夾角是60°．當FM是菱形的邊時（如圖），ON∥FM，則∠NOC=60°或120°．當∠NOC=60°時，過N作NG⊥y軸，∴NG=ON?sin30°=6×=3，OG=ON?cos30°=6×=．∴N的坐標是（3，）．當∠NOC=120°時，與當∠NOC=60°時關于原點對稱，則N的坐標是（﹣3，）．當OF是對角線時（如圖），MN關于OF對稱．∵F的坐標是（，3），∴∠FOD=∠NOF=30°．在Rt△ONH中，OH=OF=3，．作NL⊥y軸于點L，在Rt△ONL中，∠NOL=30°，∴NL=ON=，OL=ON?cos30°=2×=3．∴N的坐標是（，3）．綜上所述，N的坐標是：（3，）或（﹣3，）或（，3）．32．（Ⅰ）點B'的坐標為；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）當α＝30°時，由正切的定義解得∠ABO＝30°，再根據(jù)旋轉的性質得到，∠A'B'O＝∠ABO＝30°，∠B'OA＝60°，繼而解得設B'C⊥x軸于點C，由含30°角的直角三角形的性質解題即可；（Ⅱ）當時，得到A'坐標為（0，－1），B'坐標為，利用待定系數(shù)法，分別解得直線AA'、BB′的解析式，再聯(lián)立成方程組，解得兩直線的交點，最后根據(jù)三角形面積公式解題．解：（Ⅰ）當α＝30°時，由已知，