“阿氏圓”的教學(xué)價(jià)值分析目錄TOC\o"1-3"\h\u124981緒論 緒論1.1研究背景及意義“挖掘教材價(jià)值，總結(jié)模型”是當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)所倡導(dǎo)的一種模式.在教學(xué)中需要有意識(shí)地引入一些常用的數(shù)學(xué)模型，利用模型探究來(lái)深化知識(shí)理解，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.阿氏圓是阿波羅尼斯圓的簡(jiǎn)稱，已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足PA/PB=k且不等于1的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)以定比m：n內(nèi)分和外分定線段AB的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓。這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓。阿氏圓屬于解題教學(xué)的范疇，解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中有其不可替代的重要作用。對(duì)于一個(gè)問題的解決，學(xué)生要獲得思路是需要經(jīng)過直覺的分析、思維的分析，經(jīng)過自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)識(shí)策略的總用才能得到解決方案，為解決問題學(xué)生所經(jīng)歷的所有活動(dòng)其實(shí)就是數(shù)學(xué)活動(dòng)、思維活動(dòng).然而學(xué)生這些能力是否獲得，我們常常是通過其解題的水平來(lái)評(píng)價(jià)的。因此解題教學(xué)是相當(dāng)重要的，但是數(shù)學(xué)不能僅僅停留在解題的教學(xué)上。解題教學(xué)應(yīng)該改變以往解題招式、解題技巧的教學(xué)，本文是借阿氏圓研究解題教學(xué)，將阿氏圓與教學(xué)研究相結(jié)合，以阿氏圓為載體研究解題教學(xué)，研究解題教學(xué)服務(wù)于阿氏圓的教學(xué)。我們研究教學(xué)的目的，實(shí)施教學(xué)的目的，是為了培養(yǎng)學(xué)生的能力，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，培養(yǎng)其情感、態(tài)度、價(jià)值觀。學(xué)生的能力大小、學(xué)習(xí)水平、各方面發(fā)展的狀況可根據(jù)在解決有難度的題目的情況做出初步判斷。因此在解題教學(xué)中重視學(xué)生的能力、思維的發(fā)展壯大至關(guān)重要。中學(xué)數(shù)學(xué)教育的改革中，中學(xué)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的體現(xiàn)就在于數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)更新和教學(xué)手段的持續(xù)跟進(jìn)。在阿氏圓的教學(xué)中，數(shù)學(xué)構(gòu)造思想和數(shù)形結(jié)合的思想有很大的研究?jī)r(jià)值。1.2相關(guān)研究概況在波利亞的《怎樣解題》中對(duì)構(gòu)造性思想談?wù)撦^多。波利亞的《怎樣解題》將問題的解決分為四個(gè)階段：①理解題目；②擬定一個(gè)解題方案；③執(zhí)行解題方案；④回顧解答，檢查和討論。其中波利亞的擬定解題方案的過程是：先找出已知數(shù)據(jù)與未知量之間的聯(lián)系；如果找不到直接聯(lián)系，你也許不得不去考慮輔助題目；最終你應(yīng)該得到一個(gè)解題方案。波利亞很重視輔助問題的作用，他指出“構(gòu)想一個(gè)輔助問題是一項(xiàng)重要的思維活動(dòng)”，其實(shí)這就是我們前面說(shuō)的數(shù)學(xué)構(gòu)造性思想，但是波利亞并沒有給出具體的構(gòu)造的實(shí)施方案和構(gòu)造過程所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過程，只是一種宏觀的談?wù)摚]有做細(xì)致分析。國(guó)內(nèi)有較多文章將阿氏圓和競(jìng)賽解題聯(lián)系起來(lái)，結(jié)合教學(xué)運(yùn)用，主要談?wù)撈淠Ｐ?，但都是一些針?duì)具體的題目或者一類題型給出解題方法，研究指出在解決比較難的選擇題或填空題時(shí)，盡量用幾何法或點(diǎn)差法；在解決解答題時(shí)，盡量用構(gòu)造方程等方法，也有研究認(rèn)為對(duì)于疑難物理問題的解答，關(guān)鍵是先推導(dǎo)出結(jié)論，然后利用結(jié)論進(jìn)行解答，這種分步解答問題的方法，簡(jiǎn)便快捷。同時(shí)，凸顯了數(shù)學(xué)知識(shí)的重要性，體現(xiàn)了物理與數(shù)學(xué)密切相關(guān)，即利用物理知識(shí)推導(dǎo)數(shù)學(xué)結(jié)論，形象直觀；反之，利用數(shù)學(xué)結(jié)論解答物理問題，巧妙快捷．施德儀研究認(rèn)為“阿氏圓”模型并不是一個(gè)單純的幾何模型，而是眾多數(shù)學(xué)定理、定義、規(guī)律、方法的融合，對(duì)其適度拓展可形成新的問題模型，“阿氏圓”模型的突破，實(shí)則是相似轉(zhuǎn)化的過程。在該過程中，通過截取線段\構(gòu)建相似模型，能將含參線段和問題轉(zhuǎn)化為一般的線段和問題，其中運(yùn)用了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想和模型思想。開展“阿氏圓”模型探究，不僅應(yīng)關(guān)注模型的解析思路，還應(yīng)立足模型的突破思想，從思想層面理解模型的本質(zhì)及意義，這也是初中數(shù)學(xué)模型探究教學(xué)的重要任務(wù)。但是這些多是服務(wù)于解題，未涉及對(duì)于三角形阿氏圓的教學(xué)價(jià)值、理論與教學(xué)實(shí)踐的研究。1.3相關(guān)研究?jī)?nèi)容立足于阿氏圓教學(xué)的研究現(xiàn)狀，本文旨在研究阿氏圓的教學(xué)價(jià)值，從阿氏圓教學(xué)理論入手，通過對(duì)阿氏圓本身的研究和對(duì)國(guó)內(nèi)外中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的分析歸納得出關(guān)于阿氏圓的方法、常見的情形等，重在分析教學(xué)的重點(diǎn)，以便可以推廣到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。通過對(duì)阿氏圓的教學(xué)實(shí)踐研究，在教案的制定上提供參考依據(jù)，力求為阿氏圓提供一個(gè)較完善的教學(xué)理論與實(shí)踐的研究體系。具體內(nèi)容包括：（1）構(gòu)造阿氏圓的途徑、方法和教學(xué)價(jià)值研究；（2）阿氏圓中教學(xué)理論的研究；（3）阿氏圓的教學(xué)實(shí)踐研究和具體案例實(shí)施。

2阿氏圓的教學(xué)價(jià)值研究2.1關(guān)于阿氏圓的數(shù)學(xué)思想方法分析數(shù)學(xué)是研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，是辯證思維的輔助工具和表現(xiàn)形式。而數(shù)學(xué)思想，是人們對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)研究的本質(zhì)及規(guī)律的深刻認(rèn)識(shí)，是指認(rèn)識(shí)活動(dòng)的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模揖哂幸?guī)律性，本質(zhì)是系統(tǒng)化、理論化的正確的數(shù)學(xué)知識(shí)。這個(gè)過程是需要非常人的非常強(qiáng)大的理性思考。有了這樣系統(tǒng)、全面又具有指導(dǎo)性意義的思想方法，那么在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究中，乃至生活中的其他方方面面，都有一個(gè)很好的引導(dǎo)借鑒作用。方法，其實(shí)就是在解決問題時(shí)所用的方法、程序、策略等。而我們這里說(shuō)的數(shù)學(xué)方法，就是“方法論”的細(xì)化，專門針對(duì)數(shù)學(xué)這門學(xué)科的方法論研究數(shù)學(xué)方法論具體的說(shuō)來(lái)，可以認(rèn)為是我們?cè)谡J(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)這個(gè)客觀事物時(shí)的所釆用的程序、手段，是理論用于實(shí)踐的中介，而且一般具有一定的規(guī)律，是成體系的，所以總結(jié)歸納起來(lái)也就成為思想方法.具體說(shuō)來(lái)，數(shù)學(xué)方法就是我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題等數(shù)學(xué)活動(dòng)中所采取的步驟、手段、程序等等，是在數(shù)學(xué)活動(dòng)和經(jīng)驗(yàn)中積累的用于研究和解決數(shù)學(xué)問題的途徑和方法。阿波羅尼奧斯總結(jié)前人的研究成果并加以創(chuàng)新，撰寫了《平面軌跡》一書，該書記載了眾多古希臘幾何中的平面軌跡問題，可惜該書已經(jīng)失傳，僅有部分內(nèi)容通過后世評(píng)注者的收集和評(píng)論得以流傳至今，其中就包含本文所提問題，但這并不代表它是阿波羅尼奧斯最早發(fā)現(xiàn)的。該問題之所以出名其實(shí)是因?yàn)榱硪晃粩?shù)學(xué)家亞里士多德用它來(lái)為彩虹的半圓形狀提供數(shù)學(xué)證明。可以看出，歷史上阿氏圓問題在數(shù)學(xué)和物理上都有較多的應(yīng)用，而僅僅從坐標(biāo)法來(lái)理解這些應(yīng)用是不深刻的，因此我們有必要用幾何方法認(rèn)識(shí)阿氏圓，進(jìn)而更靈活地使用。2.2數(shù)學(xué)解題教學(xué)與阿氏圓作為數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)的解題與數(shù)學(xué)家的解題既有聯(lián)系又有區(qū)別，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯認(rèn)為：“數(shù)學(xué)家存在的主要理由就是解問題，數(shù)學(xué)的真正的組成部分就是問題和解《數(shù)學(xué)教育學(xué)》將數(shù)學(xué)教學(xué)分成概念教學(xué)、定理和公式教學(xué)、數(shù)學(xué)-語(yǔ)言教學(xué)和數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)等幾個(gè)部分，并沒有“解題教學(xué)”這一說(shuō)法。有關(guān)數(shù)學(xué)解題教學(xué)說(shuō)法是在教學(xué)研究中首先提出來(lái)的。其實(shí)“數(shù)學(xué)解題教學(xué)”是相對(duì)于數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)而言的。數(shù)學(xué)解題教學(xué)涵蓋的內(nèi)容比數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)豐富的多，現(xiàn)在普遍認(rèn)為解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的一部分，而且占有很大的比重。數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)很多時(shí)候都是以解題為載體。解題是學(xué)生學(xué)習(xí)的必經(jīng)之路，學(xué)生通過解題獲得解題能力和數(shù)學(xué)能力，也通過學(xué)生的解題評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)解題思想所貫穿的紅線就是構(gòu)造思想。比利亞將解題分為四個(gè)步驟：（1）理解理解題目；（2）找出己知數(shù)據(jù)與未知量之間的聯(lián)系（如果找不到直接的聯(lián)系，就不得不考慮輔助題目），擬定一個(gè)解題方案；（3）執(zhí)行你的方案；（4）檢查已經(jīng)得到的解答。波利亞的四個(gè)解題步驟中擬定解題方案是解題的關(guān)鍵步驟，也是思維的關(guān)鍵階段，而方案的得出常常是需要依靠輔助問題的，由此可以看出波利亞的相當(dāng)看中輔助問題的作用，其實(shí)所謂的輔助問題就是根據(jù)所學(xué)的和己知的，建立聯(lián)系，產(chǎn)生聯(lián)想，構(gòu)造出來(lái)的問題模型。數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)問題的解決很大部分是構(gòu)造的。這個(gè)構(gòu)造的過程需要數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)，而構(gòu)造的得到和實(shí)施是數(shù)學(xué)思維能力的直接體現(xiàn)，甚至可以評(píng)判一個(gè)的數(shù)學(xué)能力和思維水平的程度.在面對(duì)新問題的時(shí)候，我們?yōu)榱私鉀Q問題，常常要根據(jù)已知的、熟悉的知識(shí)或己解決的問題分析新問題，發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系、相似點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)輔助問題，通過輔助問題的解決間接解決新問題。這是解題的思路和手段，而阿氏圓正是運(yùn)用了這種解題的思路和手段。阿氏圓的教學(xué)可以啟發(fā)學(xué)生如何去思考問題，如何去尋找已知與未知的聯(lián)系，如何去擬定問題的解題方案，為學(xué)生的思維拓寬了大路。波利亞認(rèn)為，一個(gè)數(shù)學(xué)教師，如果把分配給他的所有時(shí)間都用在行列運(yùn)算上來(lái)訓(xùn)練他的學(xué)生，他就掘殺了學(xué)生的興趣，妨礙了他們智力的發(fā)展。他主張選擇有代表性但又不是太復(fù)雜，能使學(xué)生充分發(fā)掘各個(gè)側(cè)面的題目來(lái)讓學(xué)生訓(xùn)練。而阿氏圓正好符合這一主張的要求，阿氏圓中有豐富的習(xí)題，而且這些習(xí)題大多需要一定的思維能力，但是又不是些偏題、怪題。尤其在“數(shù)對(duì)形”的構(gòu)造中，不僅解題方法、策略經(jīng)典漂亮，對(duì)思維也是一種沖擊，因?yàn)檫@要打破常規(guī)，建立數(shù)與形的聯(lián)系，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。從這個(gè)角度分析，阿氏圓在中學(xué)數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中也是意義非凡的。

3阿氏圓模型的研究3.1模型背景“PA+k.PB”型是初中數(shù)學(xué)常見的最值類型之一，當(dāng)k=1時(shí)，即可轉(zhuǎn)化為常見的“飲馬問題”模型來(lái)求解；而當(dāng)k為不等于1的正數(shù)時(shí)，則需要變化思路來(lái)加以研究，一般有兩種情形：一是點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，則為經(jīng)典的“胡不歸”問題；二是點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)，則為“阿氏圓”問題，即已知平面上有A，B兩點(diǎn)，則所有滿足PA+k.PB（k≠1）的點(diǎn)P的軌跡為一個(gè)圓。3.2模型構(gòu)建如圖1，⊙O的半徑為r，點(diǎn)A和點(diǎn)B都在圓外，點(diǎn)P為⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知r=k.OB，連接PA和PB，試分析“PA+k.PB”取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的位置。上題突破的關(guān)鍵是處理“k.PB”的大小。若在線段OB上截取OC，使得OC=k.r，則可以確定△BPO與△PCO相似，從而有k.PB=PC。后續(xù)則可轉(zhuǎn)化為研究“PA+PC”的最小值，其中點(diǎn)A和點(diǎn)C為定點(diǎn)，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，顯然可以直接利用共線原理來(lái)求最值。圖1深入探究其圖像，由逆向思維可將“阿氏圓”模型視為“母子型相似+兩點(diǎn)間線段最短”。點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A，B為定點(diǎn)，PA和PB不斷變化，解決該問題時(shí)首先需要合理構(gòu)造母子型相似三角形，利用其性質(zhì)來(lái)轉(zhuǎn)化問題，即在OB上找到一點(diǎn)C，使得OCOP=OP而在實(shí)際解析時(shí)需要明晰問題模型，因此把握模型的結(jié)構(gòu)尤為重要。以圖2“阿氏圓”模型圖像為例，其中點(diǎn)A和點(diǎn)B為定點(diǎn)，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，變直線BP為系線，突破的關(guān)鍵是確定系點(diǎn)C，從而確保其中的“母子”三角形相似，即△BPO∽△PCO。圖23.3解題策略從突破過程來(lái)看，共分為兩個(gè)階段：一是確定系點(diǎn)，構(gòu)建相似三角形；二是利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”原理，分析三點(diǎn)共線情形，完成動(dòng)點(diǎn)位置確定。具體解題時(shí)可以按照如下策略及步驟進(jìn)行：第一步，連接動(dòng)點(diǎn)與圓心、定點(diǎn)與圓心，如上述所構(gòu)建的模型，連接OB和OP；第二步，計(jì)算OPOB，確定線段比為k的情形，如上述模型中的OPOB=k；第三步，在線段OB上確定系點(diǎn)C，構(gòu)造相似三角形，由相似性質(zhì)提取線段比例關(guān)系，如上述模型中的上述對(duì)“阿氏圓”模型進(jìn)行了詳細(xì)解讀及解析策略探究，但針對(duì)不同的問題情形需要具體分析，要學(xué)會(huì)準(zhǔn)確識(shí)別模型，添加輔助線。下面結(jié)合例題探究解析過程。例題：如圖3，在扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，點(diǎn)A在OC上，OA=3，點(diǎn)B在OD上，OB=5，點(diǎn)P是CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試求2PA+PB的最小值。圖3分析：要求2PA+PB的最小值，其中k≠1，且點(diǎn)P為圓弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，顯然屬于“阿氏圓”問題模型，因此解析的關(guān)鍵是尋找線段比與k相關(guān)的情形，確定系點(diǎn)的位置。解答：連接OP，其中k=2，因?yàn)镺C=6，OA=3，OB=5，所以AOOP=12，OBOP=56?？蓪OOP=12視為AOOP=1k，因此可在OA延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)H，使得OH=2OP=12（如圖4）。此時(shí)就有AOOP=OPOH=12，又∠AOP=∠POH，所以無(wú)論點(diǎn)P如何移動(dòng)，始終有△PAO∽△HPO圖4評(píng)析：上述解析過程把握?qǐng)D像結(jié)構(gòu)及k值大小，從而確定了“阿氏圓”模型，在此基礎(chǔ)上分析線段比值，確定系點(diǎn)位置。對(duì)于“阿氏圓”模型，剖析的關(guān)鍵是深刻理解探究系點(diǎn)實(shí)則是通過構(gòu)建相似三角形將其轉(zhuǎn)化為常規(guī)的線段和問題，而在實(shí)際轉(zhuǎn)化時(shí)需要把握?qǐng)D像特點(diǎn)，合理利用圓的性質(zhì)條件。3.4教學(xué)思考“阿氏圓”模型的解析思路可為求解含參線段和最值問題提供參考，有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形結(jié)構(gòu)，打開解題突破口。下面提出幾點(diǎn)教學(xué)建議。（1）深度挖掘模型，理解突破本質(zhì)?！鞍⑹蠄A”模型是隱含在數(shù)學(xué)教材中的經(jīng)典模型，深入探究模型結(jié)構(gòu)、總結(jié)破解方法有助于整合教材資源，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)教材定理、模型的理解?！鞍⑹蠄A”模型是基于圓的性質(zhì)、母子型相似模型和兩點(diǎn)之間線段最短定理所構(gòu)建的一種特殊的動(dòng)點(diǎn)最值模型，教學(xué)時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注模型特點(diǎn)，挖掘模型結(jié)構(gòu)，把握模型條件，歸納模型結(jié)論，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)?zāi)Ｐ徒馕龅臉?gòu)建過程，把握模型相似變換的數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成對(duì)模型的深刻認(rèn)識(shí)。（2）適度延伸拓展，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)的思維方式是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，在“阿氏圓”模型的探究及應(yīng)用過程中，學(xué)生對(duì)相似變換和共線定理有了更為深刻的領(lǐng)悟，能夠準(zhǔn)確地辨析模型，理解模型，用模型的特征規(guī)律來(lái)探究問題。實(shí)際上，“阿氏圓”模型并不是一個(gè)單純的幾何模型，而是眾多數(shù)學(xué)定理\定義\規(guī)律\方法的融合，對(duì)其適度拓展可形成新的問題模型。例如，上述基于平面直角坐標(biāo)系將其與拋物線相關(guān)聯(lián)，形成了函數(shù)與幾何背景下的“阿氏圓”模型，這也是中考命題的新趨勢(shì)。因此，探究模型時(shí)，需要基于知識(shí)關(guān)聯(lián)拓展延伸，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系拋物線的性質(zhì)特征來(lái)挖掘“阿氏圓”，形成新問題的解析策略，拓展學(xué)生的思維方式。（3）滲透思想方法，提升核心素養(yǎng)。“阿氏圓”模型的突破，實(shí)則是相似轉(zhuǎn)化的過程。在該過程中，通過截取線段、構(gòu)建相似模型，能將含參線段和問題轉(zhuǎn)化為一般的線段和問題，其中運(yùn)用了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想和模型思想。開展“阿氏圓”模型探究，不僅應(yīng)關(guān)注模型的解析思路，還應(yīng)立足模型的突破思想，從思想層面理解模型的本質(zhì)及意義，這也是初中數(shù)學(xué)模型探究教學(xué)的重要任務(wù)。因此，在模型探究時(shí)，應(yīng)合理滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想和模型思想，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵，深刻體會(huì)思想方法解析問題的過程，領(lǐng)悟思想與知識(shí)之間密不可分的關(guān)系，逐步提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

4關(guān)于阿氏圓的教學(xué)價(jià)值分析在幾何課堂教學(xué)中，學(xué)生之所以認(rèn)為難學(xué)，主要是因?yàn)閹缀螁栴}的理論性知識(shí)比較抽象，理論語(yǔ)言不能很好地將核心關(guān)鍵直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，導(dǎo)致學(xué)生的想象力受阻，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性也會(huì)因此受阻。針對(duì)這個(gè)問題，教師可以在具體的教學(xué)中通過具體的阿氏圓進(jìn)行知識(shí)分析，讓學(xué)生可以直觀形象地認(rèn)識(shí)概念知識(shí)，給到學(xué)生發(fā)揮想象力的空間，在教師的引導(dǎo)下更加積極地去探索和分析問題，活躍思維。利用阿氏圓來(lái)描述理論知識(shí)，可以將感性的知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生理性的認(rèn)知，使得概念性的問題都能得到輕松解決。同時(shí)還可以增加學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)儲(chǔ)備，學(xué)生在觀察和利用阿氏圓進(jìn)行分析時(shí)，很大程度地發(fā)散了學(xué)生的思維，使得學(xué)生對(duì)概念知識(shí)的理解更加深刻。阿氏圓建模不僅解決實(shí)際問題，最重要的是給學(xué)生提供了一種新型的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生自身素質(zhì)得到了提高。

4.1培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力

阿氏圓建模的研究對(duì)象是一些實(shí)際問題，要把這些實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出來(lái)并轉(zhuǎn)化成抽象的數(shù)學(xué)問題并非易事。這就要求人們?cè)诮＿^程中經(jīng)過分析與綜合、抽象與概括、比較與類比、系統(tǒng)化與具體化等階段，這些階段中能培養(yǎng)學(xué)生們的分析綜合能力、抽象概括能力、想象洞察能力、運(yùn)用數(shù)學(xué)工具的能力、通過實(shí)踐驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的能力。

4.2激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣阿氏圓建模改變了以教師為中心，只注重?cái)?shù)學(xué)概念、定理的推理和證明，而忽視了數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用性的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)模式，打造以學(xué)生為中心的全新數(shù)學(xué)教學(xué)模式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。教師可以在自己的視野范圍內(nèi)因地制宜地收集、編制、改造適合自身學(xué)生使用，貼近學(xué)生生活實(shí)際的阿氏圓建模問題，同時(shí)注意問題的開放性和可擴(kuò)展性。盡可能地創(chuàng)設(shè)一些合理、新穎、有趣的問題情境來(lái)激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，使學(xué)生積極加入阿氏圓建模的實(shí)踐活動(dòng)中。通過實(shí)踐活動(dòng)，從中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和阿氏圓建模應(yīng)用能力。利用課外活動(dòng)時(shí)間開展實(shí)踐活動(dòng)課。阿氏圓建模是抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)和形象的實(shí)際問題的有力的結(jié)合，是數(shù)學(xué)知識(shí)得以應(yīng)用的橋梁。

4.3培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)的綜合運(yùn)用能力

在建立數(shù)學(xué)模型過程中，對(duì)于不同的實(shí)際問題，常常要用到不同的數(shù)學(xué)知識(shí)，如：高等數(shù)學(xué)、常微分方程、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、運(yùn)籌學(xué)、差分方程、組合數(shù)學(xué)、計(jì)算方法、計(jì)算機(jī)模擬等等，在這就要求學(xué)生全面掌握并靈活運(yùn)用這些數(shù)學(xué)知識(shí)。阿氏圓建模為學(xué)生架起了一座從數(shù)學(xué)知識(shí)到實(shí)際問題的橋梁。在阿氏圓建模過程中，學(xué)生不僅要有扎實(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)，能融會(huì)貫通，而且要求多接觸實(shí)際，跨學(xué)科擴(kuò)大知識(shí)面。阿氏圓建模為培養(yǎng)學(xué)生的多種能力提供了場(chǎng)所和途徑。

4.4培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

數(shù)學(xué)應(yīng)用題一般運(yùn)算量較大、較復(fù)雜，且有近似計(jì)算。有的盡管思路正確、建模合理，但計(jì)算能力欠缺，就會(huì)前功盡棄。所以，加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算推理能力是使阿氏圓建模正確求解的關(guān)鍵所在，忽視運(yùn)算能力，特別是計(jì)算能力的培養(yǎng)，只重視推理過程，不重視計(jì)算過程的做法是不可取的。

4.5培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)及創(chuàng)造性能力由于阿氏圓建模是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用，需要學(xué)生了解不同的數(shù)學(xué)類的知識(shí)，而學(xué)校普遍的數(shù)學(xué)課時(shí)都不能滿足這種需求，這就需要教師挖掘?qū)W生的自學(xué)能力。教師在課堂上做引導(dǎo)，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)做“串線式”的講解，讓學(xué)生在課下對(duì)這些知識(shí)再作進(jìn)一步的研究、探討，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力。阿氏圓建模作用對(duì)象更側(cè)重于非數(shù)學(xué)領(lǐng)域，但需用數(shù)學(xué)工具來(lái)解決的問題。如來(lái)自日常生活及經(jīng)濟(jì)、工程、理、化、生、醫(yī)學(xué)學(xué)科中的應(yīng)用問題，怎樣將它抽象轉(zhuǎn)化一個(gè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題本身是一個(gè)難點(diǎn)，這就需要學(xué)生自學(xué)來(lái)了解其他方面的知識(shí)，來(lái)解決此問題。由于阿氏圓建模的題目都來(lái)源于實(shí)際問題，解題的過程沒有標(biāo)準(zhǔn)答案，這就需要教師鼓勵(lì)學(xué)生提出自己的想法，大膽質(zhì)疑，打破習(xí)慣的思維模式，利用自己已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，展開聯(lián)想，發(fā)揮個(gè)人