第三章矩陣分析及其應用第三章_矩陣分析及其應用定義設已知矩陣序列，其中，當k→∞，時，稱{A(k)}收斂，并稱矩陣為{A(k)}的極限，或稱{A(k)}收斂于A，記為或不收斂的矩陣序列稱為發散。矩陣序列與極限第三章_矩陣分析及其應用定理矩陣序列收斂于A的充分必要條件是其中為任意一種矩陣范數。證明取矩陣范數必要性：設那么由定義可知對每一對i,j

都有

第三章_矩陣分析及其應用從而有上式即為充分性：設那么對每一對i,j

都有即第三章_矩陣分析及其應用故有現在已經證明了定理對于所設的范數成立。如果是另外一種范數，那么由范數的等價性可知這樣，當時同樣可得因此定理對于任意一種范數都成立。第三章_矩陣分析及其應用矩陣序列極限運算的性質。（1）收斂矩陣序列的極限是唯一的。（2）設則（3）設，其中那么（4）設，那么其中（5）設，且,A均可逆，則也收斂，且第三章_矩陣分析及其應用證明：（2）（3）（4）（5）第三章_矩陣分析及其應用例1若對矩陣A的某一范數，則例2

的充要條件是。證明設A的Jordan標準形第三章_矩陣分析及其應用于是顯然，的充要條件是又因其中第三章_矩陣分析及其應用于是的充要條件是。因此的充要條件是例3設是的相容矩陣范數，則對任意，都有第三章_矩陣分析及其應用例4

構造一個收斂的二階可逆矩陣序列，但是其極限矩陣不可逆。解顯然每一個均可逆，但是其極限矩陣卻不可逆。第三章_矩陣分析及其應用定義：設，如果mn個常數項級數都收斂，則稱矩陣級數收斂。如果mn個常數項級數都絕對收斂，則稱以上矩陣級數絕對收斂。矩陣級數第三章_矩陣分析及其應用例如果設，其中那么矩陣級數是收斂的，而且是絕對收斂的。第三章_矩陣分析及其應用定理設，則矩陣級數絕對收斂的充分必要條件是正項級數收斂，其中為任意一種矩陣范數。證明取矩陣范數，那么對每一對i,j

都有因此如果第三章_矩陣分析及其應用收斂，則對每一對

i,j

常數項級數都是收斂的，于是矩陣級數絕對收斂。反之，若矩陣級數絕對收斂，則對每一對

i,j

都有第三章_矩陣分析及其應用于是根據范數等價性定理知結論對任何一種范數都正確。第三章_矩陣分析及其應用定義設，稱形如的矩陣級數為矩陣冪級數。定理設冪級數的收斂半徑為R，A為n階方陣。若，則矩陣冪級數絕對收斂；若，則發散。矩陣冪級數第三章_矩陣分析及其應用證明設A的Jordan標準形為其中于是第三章_矩陣分析及其應用所以其中第三章_矩陣分析及其應用當時，冪級數都是絕對收斂的，故矩陣冪級數絕對收斂。當時，冪級數發散，所以發散。推論矩陣冪級數絕對收斂的充分必要條件是。且其和。第三章_矩陣分析及其應用例1

（1）求下面級數的收斂半徑（2）設判斷矩陣冪級數的斂散性。解設此級數的收斂半徑為R，利用公式容易求得此級數的收斂半徑為2。而。所以由上面的定理可知矩陣冪級數收斂。第三章_矩陣分析及其應用定義：設，一元函數f(z)能夠展開成關于z

的冪級數并且該冪級數的收斂半徑為R。當矩陣A的譜半徑時，我們將收斂的矩陣冪級數矩陣函數的和定義為矩陣函數，一般記為f(A)，即第三章_矩陣分析及其應用例：因為當|z|<+∞時，有都是絕對收斂的，因此第三章_矩陣分析及其應用都是絕對收斂的，因此可以定義由此可以得到一些簡單的結論：第三章_矩陣分析及其應用第三章_矩陣分析及其應用定理：設，那么當時，我們有證明：首先證明第一個等式第三章_矩陣分析及其應用現在證明第二個等式第三章_矩陣分析及其應用同樣可以證明其余的結論。注意：這里矩陣A

與B

的交換性條件是必不可少的。第三章_矩陣分析及其應用例：設那么容易計算并且于是有第三章_矩陣分析及其應用故有顯然三者互不相等。第三章_矩陣分析及其應用當|z|<1時，有設，當時，有第三章_矩陣分析及其應用函數在矩陣譜上的值與矩陣函數定義：設，為A

的r個互不相同的特征值，為其最小多項式且有其中如果函數f(x)具有足夠高階的導數并且下列m個值存在，則稱函數f(x)在矩陣A的譜上有定義。矩陣函數的計算-待定系數法第三章_矩陣分析及其應用例：設又已知容易求得矩陣A的最小多項式為并且所以f(x)

在A的譜上有定義.第三章_矩陣分析及其應用但是如果取容易求得矩陣B的最小多項式為顯然f(3)不存在，所以在B的譜上無定義。第三章_矩陣分析及其應用定理：設函數f(x)與函數g(x)在矩陣A的譜上都有定義，那么f(A)=g(A)的充分必要條件是f(x)與g(x)在A的譜上的值完全相同。設矩陣的最小多項式為其中為矩陣A的r個互異特征值且矩陣函數的計算-待定系數法第三章_矩陣分析及其應用

如何尋找多項式p(x)使得p(A)與所求的矩陣函數f(A)完全相同？根據計算方法中的Hermite插值多項式定理可知，在眾多的多項式中有一個次數為m-1次的多項式且滿足條件這樣，多項式中的系數完全可以通過關系式第三章_矩陣分析及其應用確定出來。則我們稱為矩陣函數f(A)的多項式表示。第三章_矩陣分析及其應用例2

：設求f(A)的多項式表示并且計算解：容易觀察出該矩陣的最小多項式為這是一個3次多項式，從而存在一個次數為2的多項式且滿足第三章_矩陣分析及其應用于是有解得所以其多項式表示為第三章_矩陣分析及其應用當時，可得于是有當時，可得故有第三章_矩陣分析及其應用類似地有第三章_矩陣分析及其應用例3

：設求的多項式表示并且計算解：容易觀察出該矩陣的最小多項式為這是一個2次多項式，從而存在一個次數為1的多項式且滿足第三章_矩陣分析及其應用于是有解得所以其多項式表示為當時，可得第三章_矩陣分析及其應用當時，可得同樣可得第三章_矩陣分析及其應用練習：設求的多項式表示并且計算第三章_矩陣分析及其應用矩陣函數的計算-相似對角矩陣

設矩陣A相似于對角矩陣，即存在可逆矩陣P，滿足則有第三章_矩陣分析及其應用第三章_矩陣分析及其應用例：設求解：該矩陣的特征多項式為求得特征值λ1=-2，λ2=λ3=1，對應的特征向量第三章_矩陣分析及其應用構造矩陣求得則有第三章_矩陣分析及其應用因此有第三章_矩陣分析及其應用定理：設，J為矩陣A的Jordan標準形，P為其相似變換矩陣且使得，其中矩陣函數的計算-Jordan標準形法如果函數f(x)在矩陣A的譜上有定義，那么其中第三章_矩陣分析及其應用第三章_矩陣分析及其應用例1：設求A的Jordan表示并計算.解：首先求出其Jordan標準形矩陣J與相似變換矩陣P.從而的Jordan表示為第三章_矩陣分析及其應用當時，可得，從而有第三章_矩陣分析及其應用當時，可得，于是有當時，可得，同樣可得第三章_矩陣分析及其應用矩陣的微分和積分導數定義基本性質其中為標量函數第三章_矩陣分析及其應用第三章_矩陣分析及其應用如果方陣A(t)的逆矩陣存在，則有于是有第三章_矩陣分析及其應用積分基本性質第三章_矩陣分析及其應用函數對矩陣的導數定義：設，即：X→f(X)，f(X)∈F，記定義第三章_矩陣分析及其應用例1：設，n元函數計算。解：第三章_矩陣分析及其應用例2：第三章_矩陣分析及其應用例3第三章_矩陣分析及其應用例4第三章_矩陣分析及其應用

當A是對稱矩陣時，即：AT=A，則有第三章_矩陣分析及其應用例5：設，一元函數計算。解：第三章_矩陣分析及其應用矩陣函數對矩陣的導數矩陣函數的定義第三章_矩陣分析及其應用例1：設，n元函數計算。解：此矩陣被稱為