實際背景冷冗余系統：設有兩個部件

、

其工作壽命分別為部件

壞了,換上備用部件

繼續工作熱冗余系統：部件

、并聯同時工作,僅當兩個部件都損壞時，整個系統才失效串聯系統：部件

、串聯同時工作,只要有一個部件損壞，整個系統就失效問題怎樣確定上述各系統的壽命

？系統壽命X+Y系統壽命XYmax{,}系統壽命XYmin{,}離散型隨機變量函數的分布例

5/24/2023概率解等價于5/24/2023概率5/24/20235/24/2023結論5/24/2023設X1與X2相互獨立，分別服從b(n1,p)和b(n1,p)，求Y=X1+X2的分布.解依題知X+Y的可能取值為0,1,2,...,n1+n2,由與獨立性有由得所以Y=X1+X2服從二項分布b(n1+n2,p)二項分布的可加性5/24/2023X~π(1),Y~π(2),則Z=X+Y

的可能取值為0,1,2,,泊松分布的可加性5/24/2023問題question怎樣求若的分布？一般地設是一個二元函數怎樣求的分布？思路：設,則的分布函數為(一)的分布ZXY=+若相互獨立,則的密度函數為稱為卷積公式,記為由獨立性及卷積公式有解例設

相互獨立,且求

的分布密度.令則獨立正態r.v和的一般結果設

相互獨立,且一般地，若相互獨立,且則對于不全為零的常數有獨立正態r.v的非零線性組合仍服從正態分布例

已知(X,Y)~Z=X+Y,求fZ(z)解法一分布函數法解法二圖形定限法解法三不等式組法5/24/2023解法一（分布函數法）

x+y=z當z<0時，1yx15/24/2023當0z<1時，yx11x+y=z?z?z5/24/2023x+y=z當1

z<2時，z-11yx1?z?z5/24/20231yx1x+y=z22當2

z時，5/24/2023解法二（圖形定限法）顯然X,Y相互獨立,且5/24/2023z1z=xz-1=xx215/24/2023解法三（不等式組法）顯然X,Y相互獨立,且5/24/2023x210z-1zz-1zz-1zz-1z5/24/2023例已知(X,Y)的聯合密度為Z=X+Y,求fZ(z)解法一（圖形定限法）5/24/2023zxz=xz=2xx=112當z<0或z>2,zzzz當0≤z<1,當1≤z<2,fZ

(z)=05/24/20235/24/2023解法二（不等式組法）考慮被積函數取非零值的區域令不等式邊邊相等,解得z軸上的三個分界點0,1,2當或時不等式組無解當時不等式組解為當時不等式組解為5/24/20235/24/2023解法三（積分換元法）令5/24/20232uzz=2uz=u+1z=u115/24/2023z=2u2uzz=u+15/24/2023求串聯后的總電阻的概率密度.解例某電氣設備中的兩個部件存在接觸電阻兩個部件的工作狀態是相互獨立的,概率密度均為其它由卷積公式有被積函數的非零區域是其它其它其它解例設

相互獨立且都服從參數為的指數分布,的概率密度.求由卷積公式有的密度函數為實際背景冷冗余系統的系統壽命的密度函數XEXP()~θ研究問題question相互獨立且都服從參數為的指數分布設的分布密度.求提示：,則記設法導出遞推公式，然后用歸納法證明連續型隨機變量商的分布5/24/2023同理可得故有5/24/2023當X,Y獨立時,由此可得分布密度為5/24/2023例

設二維隨機變量(X，Y)的密度函數為試求隨機變量Z=X/Y的密度函數.解由公式5/24/20235/24/2023解例設

獨立同分布,其密度函數為的概率密度.求時當的分布函數為思考題在本例條件下,證明相互獨立(瑞利Rayleigh分布)解例設

相互獨立同服從正態分布求的概率密度.時當的分布函數為

設,且相互獨立(二)的分布XYmax(,),min(,)XY①,則設相互獨立且則②特別當獨立同分布于時有③設獨立同分布,具有密度怎樣求question問題的密度？分析體育館的大屏幕由信號處理機和顯示屏構成，例它們的壽命分別為

若它們的概率密度分別為其中試求大屏幕系統的壽命

的概率密度.分析信號處理機和顯示屏構成串聯系統,故整個系統的壽命為密度函數也是一種指數分布,其中參數稱為失效率,而表示平均壽命.解大屏幕系統壽命,由獨立性有的失效率之和其失效率是每個部件可見指數分布的串聯例

5/24/2023解5/24/20235/24/20235/24/20235/24/20235/24/2023小結多維隨