24.2

點和圓、直線和圓的位置關系242.1

點和圓的位置關系1理解并掌握設⊙O的半徑為r點P到圓心的距離OP＝d則有：點P在圓外d>r點P在圓上dr點P在圓內?d<r及其運用．2理解不在同一直線上的三個點確定一個圓并掌握它的運用．3了解三角形的外接圓和三角形外心的概念．4了解反證法的證明思想．復習圓的兩種定理和形成過程，并經歷探究一個點、兩個點、三個點能作圓的結論及作圖方法，給出不在同一直線上的三個點確定一個圓的結論．接著從這三點到圓心的距離逐漸引入點P到圓心距離與點和圓位置關系的結論，并運用它們解決一些實際問題．重點

點和圓的位置關系的結論：不在同一直線上的三個點確定一個圓及它們的運用．難點講授反證法的證明思路．一、復習引入(生活動)同學們口答下面的問題．1圓的兩種定義是什么？2你能至少舉例兩個說明圓是如何形成的？3圓形成后圓上這些點到圓心的距離如何？4如果在圓外有一點呢？圓內呢？請你畫圖想一想．(師點評)(1)一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓；圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點組成的圖形．(2)圓規：一個定點，一個定長畫圓．(3)都等于半徑．過畫圖可知，圓外的點到圓心的距離大于半徑；圓內的點到圓心的距離小于半徑．二、探索新知

由上面的畫圖以及所學知識，我們可知：設⊙O的半徑為r點圓心的距離為OP＝d則有：點P圓外d>r點P圓上?r點P圓內?反過來，也十分明顯，如果d>rP在圓外；如果d＝點圓上；如果d<r?P圓內．因此，我們可以得到：設⊙O的半徑為r，點P圓的距離為d則有：點P圓外d>r點P圓上dr；點P圓內d<r.這個結論的出現，對于我們今后解題、判定點P是否在圓外、圓上、圓內提供了依據．下面，我們接著研究確定圓的條件：(學生活)經過一點可以作無數條直線，經過二點只能作一條直線，那么，經過一點能作幾個圓？經過二點、三點呢？請同學們按下面要求作圓．(1)作圓，使該圓經過已知點，你能作出幾個這樣的圓？

(2)作圓，使該圓經過已知點A，B，你是如何做的？你能作出幾個這樣的圓？其圓心的分布有什么特點？與線段AB有什么關系？為什么？(3)作圓，使該圓經過已知點A，B，C三點(中AB，C三點不在同一直線上)你是如何做的？你能作出幾個這樣的圓？(師在黑板上演示)(1)無數多個圓，如(1)示．(2)連接AB，作AB的垂直平分線，則垂直平分線上的點到A，B距離都相等，都滿足條件，作出無數個．其圓心分布在AB的中垂線上，與線段AB互相垂直，如圖(2)所示．(3)作法：①連接，；②分別作線段，BC的中垂線DE和，DE與FG相交于點③以O為圓心，以OA為半徑作圓，O就是所要求作的圓，如圖(3)所示．在上面的作圖過程中，因為直線DE與FG只有一個交點O并且點O到ABC三個點的距離相等垂線

上的任一點到兩端點的距離相等)所以經過A，B，C三點可以作一個圓，并且只能作一個圓．即不在同一直線上的三個點確定一個圓．也就是，經過三角形的三個頂點可以做一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓．外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心．下面我們來證明：經過同一條直線上的三個點不能作出一個圓．證明：如圖，假設過同一直線l上的AB，三點可以作一個圓，設這個圓的圓心為，那么點P既在線段AB的垂直平分線l，又在線段BC的垂直平分線l，即點P為l與l交點，而l⊥12121ll⊥l這與我們以前所學的“過一點有且只有一條直線與已知2直線垂直”矛盾．所以，過同一直線上的三點不能作圓．上面的證明方法與我們前面所學的證明方法思路不同，它不是直接從命題的已知得出結論，而是假設命題的結論不成立(假

設過同一直線上的三點可以作一個圓)由此經過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設不正確，從而得到命題成立．這種證明方法叫做反證法．在某些情景下，反證法是很有效的證明方法．例1

某地出土一明代殘破圓形瓷盤，如圖所示．為復制該瓷盤確定其圓心和半徑，請在圖中用直尺和圓規畫出瓷盤的圓心．分析：圓心是一個點，一個點可以由兩條直線交點而成，因此，只要在殘缺的圓盤上任取兩條線段，作線段的中垂線，交點就是我們所求的圓心．作法：(1)在殘缺的圓盤上任取三點連接成兩條線段；(2)作兩線段的中垂線，相交于一點O.則O就為所求的圓心．圖略．三、鞏固練習教材第95頁

練習2，3.四、課堂小結(生總結，老師點評)本節課應掌握：

1點和圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離為則點在圓外drr；

點在圓內dr.2不在同一直線上的三個點確定一個圓．3三角形外接圓和三角形外心的概念．4反證法的證明思想．5以上內容的應用．五、作業布置教材第101102頁

習題1，7，8.242.2第1課時

直線和圓的位置關(3課)直線和圓的三種位置關系(1)了解直線和圓的位置關系的有關概念．(2)理解設⊙O的半徑為r，線l到圓心O的距離為d，有：直線l和⊙O相d<r直線l和⊙O相切dr；直線l和⊙O相離d>r.

重點理解直線和圓的三種位置關系．難點由上節課點和圓的位置關系遷移并運動直線導出直線和圓的位置關系的三個對應等價．一、復習引入(老師口問，學生口答，老師并在黑板上板書)學們，我們前一節課已經學到點和圓的位置關系．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離＝則有：點P圓外d>r如圖(a)所示；點P圓上dr，如圖(b)示；點P圓內d<r如圖(c)所．二、探索新知前面我們講了點和圓有這樣的位置關系，如果這個點P改為直線呢？它是否和圓還有這三種的關系呢？

(學生活)固定一個圓，把三角尺的邊緣移動，如果把這個邊緣看成一條直線，那么這條直線和圓有幾種位置關系？(老師口問，學生口)直線和圓有三種位置關系：相交、相切和相離．(師板書)圖所示：如圖(a)直線l和圓有兩個公共點，這時我們就說這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線．如(，直線l和圓有一個公共點，這時我們說這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點．如圖(c)，線l和圓沒有公共點，這時我們說這條直線和圓相離．我們知道，點到直線l的距離是這點向直線作垂線，這點到垂足D的距離，按照這個定義，作出圓心O到l的距離的三種情況．(生分組活動)設⊙O的半徑為，圓心到直線l的距離為d請模仿點和圓的位置關系，總結出什么結論？老師點評：直線l和⊙O相交，如圖(a)示；

直線l和⊙O相切d＝如圖(b)示；直線l和⊙O相離d>r，圖(c)示．例1

如圖，已知RtABC的斜邊AB＝8，＝4cm.(1)以點C為圓心作圓，當半徑為多長時，直線AB與⊙C相切？(2)以點C為圓心，分別以2cm和4cm為半徑作兩個圓，這兩個圓與直線AB分別有怎樣的位置關系？解：(1)如圖，過⊥AB，垂足為D.在Rt△ABC中，BC＝8－4＝43.∴＝

4×48

＝23，因此，當半徑為23cm，與⊙C相切．(2)(1)可知，圓心C直線AB的距離d23，所以當r＝2時，d>rC直線AB相離；

當r＝4時，d<rC直線AB相交．三、鞏固練習教材第96頁

練習四、課堂小結(生歸納，總結發言，老師點評)本節課應掌握：1．直線和圓相(線直線和圓相(切、切)直線和圓相離等概念．2設⊙O的半徑為r，直線l到圓心的距離為d則有：直線l和⊙O相交d<r；直線l和⊙O相切d＝直線l和⊙O相離d>r.五、作業布置教材第101頁

習題第題．

第2課時

圓的切線1能用“數量關系”確定“位置關系”的方法推導切線的判定定理，能判定一條直線是否為圓的切線；能從逆向思維的角度理解切線的性質定理．2掌握切線的判定定理和性質定理，并能運用圓的切線的判定和性質解決相關的計算與證明問題．重點探索圓的切線的判定和性質，并能運用它們解決與圓的切線相關的計算和證明等問題．難點探索圓的切線的判定方法和解決相關問題時怎樣添加輔助線．活動1

動手操作要求學生先在紙上畫⊙O和圓上一點A然后思考：根據所學知識，如何畫出這個圓過點A的一條切線？能畫幾條？有幾種畫法？你怎么確定你所畫的這條直線是⊙O的切線？

活動2

探索切線的判定定理1如圖，在⊙O

中，經過半徑OA的外端點A作直線l⊥OA，則圓心O直線的距離是多少？2思考：如果圓心到直線的距離等于半徑，那么直線和圓有何位置關系呢？你能發現此問題和上節課所學內容的聯系嗎？3教師引導學生探索得出切線的判定定理的內容．要求學生嘗試用文字語言和幾何語言描述：文字語言描述：經過并_直線是圓的切線．幾何語言描述：如上圖，∵OC為半徑，且OC⊥AB，AB與⊙O相切于點C.引導學生觀察下面兩個圖形，發現直線l都不是圓的切線．所以，在理解切線的判定定理時，應注意兩個條件“經過半徑外端”“垂直于半徑”缺一不可．

4．講解教材第98頁例1.學生自己先尋找解題思路，教師引導，然后小結解題基本模式．活動3

性質定理1教師引導學生思考：如圖，如果直線l是⊙O的切線，切點為，那么半徑OA與直線l是不是一定垂直呢？教師提示學生：直接證明切線的性質定理比較困難，可用反證法．假設半徑OA與l不垂直，如圖，過點O作OM⊥l，垂足為，根據垂線段最短的性質有∴直線l與⊙O________.這就與已知直線l與⊙O相切矛盾，∴假設不正確．因此，半徑OA與直線垂直．2學生總結出切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑．3教師引導學生辨別切線的判定定理與性質定理的區別與聯系．切線的判定定理是要在未知相切而要證明相切的情況下使用；切線的性質定理是在已知相切而要推得一些其他的結論時使用．

活動4

鞏固練習1(1)下列直線是圓的切線的()A與圓有公共點的直線B．到圓心的距離等于半徑的直線．垂直于圓的半徑的直線．過圓的直徑外端點的直線(2)如圖，已知直線EF經過⊙O上的點E，且＝，若∠EOF＝45，則直線⊙O的位置關系是_______第(2)圖)第(3)題圖)(3)如圖AB是⊙O的直徑，∠PAB＝90°連接PB交⊙O于點，D是PA邊的中點，連接CD.證：CD是⊙O的切線．2教材第98頁練習第1，題．答案：1.(1)B相切；(3)連接，OD；2.略．活動5

課堂小結與作業布置課堂小結1知識總結：兩個定理：切線的判定定理是________；線的性質定理是________2方法總結：明切線的性質定理所用的方法是反證法．

明切線的方法：①當直線和圓有一個公共點時，把圓心和這個公共點連接起來，然后證明直線垂直于這條半徑，簡稱“連半徑，證垂直”；②當直線和圓的公共點沒有明確時，可過圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半徑，簡稱“作垂直，證半徑”．運用切線的性質時，連接圓心和切點是常作的輔助線，這樣可以產生半徑和垂直條件．作業布置教材第101頁

習題第4～6題．第3課時

切線長定理了解切線長的概念．理解切線長定理，了解三角形的內切圓和三角形的內心的概念，熟練掌握它的應用．復習圓與直線的位置關系和切線的判定定理、性質定理知識遷移到切長線的概念和切線長定理，然后根據所學三角形角平分線的性質給出三角形的內切圓和三角形的內心概念，最后應用它們解決一些實際問題．

重點切線長定理及其運用．難點切線長定理的導出及其證明和運用切線長定理解決一些實際問題．一、復習引入1已知△ABC，作三個內角平分線，說說它具有什么性質？2點和圓有幾種位置關系？3直線和圓有什么位置關系？切線的判定定理和性質定理是什么？老師點評(1)黑板上作出△ABC的三條角平分線，并口述其性質：①三條角平分線相交于一點；②交點到三條邊的距離相等．)點和圓的位置關系有三種，點在圓內點在圓上dr；點在圓d>r.(3)(口)線和圓的位置關系同樣有三種：直線l和⊙O相交d<r直線l和⊙O相切dr；直線l和⊙O相d>r；線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線；切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑．

二、探索新知從上面的復習，我們可以知道，過⊙O上任一點A都可以作一條切線，并且只有一條，根據下面提出的問題操作思考并解決這個問題．問題：在你手中的紙上畫出⊙O，并畫出過A點的唯一切線PA，連接PO，沿著直線PO將紙對折，設圓上與點A重合的點為B，這時，是⊙O的一條半徑嗎？是⊙O的切線嗎？利用圖形的軸對稱性，說明圓中的PA與，∠APO與∠BPO有什么關系？學生分組討論，老師抽取34位同學回答這個問題．老師點評：與OA重疊OA是半徑OB也就是半徑了．又因為OB是半徑PB為OB的外端，又根據折疊后的角不變，所以PB是⊙O的又一條切線，根據軸對稱性質，我們很容易得到＝PB，∠APO＝∠BPO.我們把PA或PB的長，即經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．從上面的操作我們可以得到：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．下面，我們給予邏輯證明．

例1

如圖，已知PA，PB⊙O的兩條切線．求證：PA＝PB，∠OPA∠OPB.