山東省煙臺市經濟技術開發區第一初級中學高三數學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設，，空間向量則的最小值是(A)2

(B)4

(C)

(D)5參考答案：B略2.i是虛數單位，復數的共軛復數是（）A．4﹣3iB．4+4iC．3+3iD．3+4i參考答案：D考點：復數代數形式的乘除運算；復數的基本概念．專題：計算題．分析：直接利用復數的除法運算化簡為a+bi（a，b∈R）的形式，則其共軛復數可求．解答：解：由=．所以其共軛復數為3﹣4i．故選D．點評：本題考查了復數的基本概念，考查了復數代數形式的乘除運算，是基礎的運算題．3.執行右圖所示的程序框圖，則輸出n的值為(

).A.63

B.47

C.23

D.7參考答案：Cn=15,i=2不滿足條件，繼續循環，得到n=11,i=3不滿足條件,繼續循環，n=23,i=4,滿足條件，退出循環，輸出n，即可。故選C。

4.已知二次函數的圖象如圖1所示,則其導函數的圖象大致形狀是

（

）

參考答案：B設二次函數為，由圖象可知，，對稱軸，所以，，選B.5.若，則復數在復平面內所對應的點在（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：答案：B解析：取θ=π得=-1+i，第二象限，選B6.設，則“”是“”的A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．非不充分不必要條件參考答案：A7.已知，那么下列不等式成立的是A.

B.

C.

D.參考答案：C8.設是兩條直線，是兩個平面，則“”的一個充分條件是A．

B．C．

D．參考答案：C9.設非空集合同時滿足下列兩個條件：①；②若，則，.則下列結論正確的是A.若為奇數，則集合的個數為；

B.若為奇數，則集合的個數為.C.若為偶數，則集合的個數為；

D.若為偶數，則集合的個數為參考答案：D考點：集合的基本性質.10.某程序框圖如圖2所示，現將輸出（值依次記為：若程序運行中輸出的一個數組是則數組中的(

)．A．32

B．24

C．18

D．16參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知且當時,

；

當時，

.參考答案：12，略12.已知單位向量α，β，滿足|α＋3β|＝|2α－β|，則α與β的夾角為______．參考答案：

略13.若四面體的三視圖如右圖所示，則該四面體的外接球表面積為_____．參考答案：試題分析：該幾何體如圖所示，放在長方體中更直觀．則，，.考點：幾何體的表面積.14.若函數（）的圖象關于直線對稱，則θ=

▲

．參考答案：略15.已知圓的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸為正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，則直線和圓的交點的直角坐標為

.參考答案：16.如圖所示，AC與BD交于點E，AB∥CD，AC=3，AB=2CD=6，當tanA=2時，=．參考答案：﹣12【考點】9R：平面向量數量積的運算．【分析】根究余弦定理和夾角公式求出cos∠ABE，再根據向量的數量積計算即可．【解答】解：由已知條件可知AE=2EC=2，sinA=，cosA=，在△ABE中，BE2=AE2+AB2﹣2AE?AB×cosA=32，∴cos∠ABE==，∴?=﹣4×3×=﹣12，故答案為：﹣1217.一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為2，2，3，則此球的表面積為

．

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=x3﹣﹣1的導函數為f′（x），g（x）=emx+f′（x）．（Ⅰ）若f（2）=11，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）證明函數g（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增；（Ⅲ）若對任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|g（x1）﹣g（x2）|≤e+1，求m的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的單調性；導數在最大值、最小值問題中的應用．【專題】綜合題；轉化思想；分類法；函數的性質及應用；導數的綜合應用．【分析】（Ⅰ）由f（2）=11，求得m=﹣2，求出f（x）的導數，求得切線的斜率和切點，即可得到所求切線的方程；（Ⅱ）利用g′（x）≥0說明函數為增函數，利用g′（x）≤0說明函數為減函數．注意參數m的討論；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，對任意的m，g（x）在[﹣1，0]單調遞減，在[0，1]單調遞增，則恒成立問題轉化為最大值和最小值問題．從而求得m的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）函數f（x）=x3﹣﹣1的導函數為f′（x）=3x2﹣mx，f（2）=11，可得8﹣2m﹣1=11，解得m=﹣2，即f（x）=x3+x2﹣1導數為f′（x）=3x2+2x，在點（1，f（1））處的切線斜率為5，切點為（1，1），則在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣1=5（x﹣1），即為5x﹣y﹣4=0；（Ⅱ）證明：g（x）=emx+f′（x）=emx+3x2﹣mx．g′（x）=m（emx﹣1）+6x．若m≥0，則當x∈（﹣∞，0）時，emx﹣1≤0，g′（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，emx﹣1≥0，g′（x）＞0．若m＜0，則當x∈（﹣∞，0）時，emx﹣1＞0，g′（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，emx﹣1＜0，g′（x）＞0．所以，g（x）在（﹣∞，0）時單調遞減，在（0，+∞）單調遞增；（Ⅲ）由（1）知，對任意的m，g（x）在[﹣1，0]單調遞減，在[0，1]單調遞增，故g（x）在x=0處取得最小值．所以對于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|≤e+1的充要條件是，即，即，設函數h（t）=et﹣t﹣e+1，則h′（t）=et﹣1．當t＜0時，h′（t）＜0；當t＞0時，h′（t）＞0．故h（t）在（﹣∞，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增．又h（1）=0，h（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故當t∈[﹣1，1]時，h（t）≤0．當m∈[﹣1，1]時，h（m）≤0，h（﹣m）≤0，即合式成立；當m＞1時，由h（t）的單調性，h（m）＞0，即em﹣m＞e﹣1．當m＜﹣1時，h（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．綜上，m的取值范圍是[﹣1，1]．【點評】本題主要考查導數在求單調函數中的應用和恒成立在求參數中的應用．屬于難題．19.點為拋物線上一定點，斜率為的直線與拋物線交于兩點.（Ⅰ）求弦中點的縱坐標;（Ⅱ）點是線段上任意一點（異于端點），過作的平行線交拋物線于兩點，求證：為定值.參考答案：解答：（Ⅰ）（*）所以，.（Ⅱ）設，直線：，聯立方程組，所以，，同理.由（*）可知：，所以，即所以，即20.已知直線l的參數方程為（t為參數），以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是ρsin2θ﹣3cosθ=0．（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程以及直線l的極坐標方程；（Ⅱ）求直線l與曲線C交點的極坐標（ρ≥0，0≤θ＜2π）參考答案：【考點】Q4：簡單曲線的極坐標方程；QH：參數方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用三種方程的轉化方法，即可得出結論；（Ⅱ）兩極坐標方程聯立，求出交點直角坐標，即可求直線l與曲線C交點的極坐標．【解答】解：（Ⅰ）直線l的參數方程為（t為參數），普通方程為3x﹣2y﹣9=0，極坐標方程為3ρcosθ﹣2ρsinθ﹣9=0，曲線C的極坐標方程是ρsin2θ﹣3cosθ=0，即ρ2sin2θ=3ρcosθ，曲線C的直角坐標方程為y2=3x；（Ⅱ）兩極坐標方程聯立，可得ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣9=0，∴ρsinθ=3或﹣，即y=3或﹣，∴x=9或1，∴交點坐標為（9，3）或（1，﹣）∴直線l與曲線C交點的極坐標為（6，）或（2，）．【點評】本題考查三種方程的轉化，考查極坐標方程的運用，屬于中檔題．21.理：(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

如圖，長方體中，，，點為面的對角線上的動點（不包括端點）.平面交于點，于點.（1）設，將長表示為的函數；

（2）當最小時，求異面直線與所成角的大小.（結果用反三角函數值表示）參考答案：（1）在△中，，；

………（2分）其中；

………（3分）在△中，，…………（4分）在△中，，……………（6分）（2）當時，最小，此時．……………（8分）因為在底面中，，所以，又，D為異面直線與所成角的平面角，……