L1.1基本計數(shù)原理(第一課時)

教學(xué)目標：

(1)理解分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理

(2)會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題

教學(xué)重點：

(1)理解分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理

(2)會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

一次集會共50人參加，結(jié)束時，大家兩兩握手，互相道別，請你統(tǒng)計一下,

大家握手次數(shù)共有多少？

某商場有東南西北四個大門，當(dāng)你從一個大門進去又從另一個大門出來，問

你共有多少種不同走法？

二、講解新課：

問題1春天來了，要從濟南到北京旅游，有三種交通工具供選擇：長途汽車、旅

客列車和客機。已知當(dāng)天長途車有2班，列車有3班。問共有多少種走法？

設(shè)問1：從濟南到北京按交通工具可分一類方法？

第一類方法，乘火車，有一種方法；第二類方法，乘汽車，有一種方法；

從甲地到乙地共有種方法

設(shè)問2：每類方法中的每種一方法有什么特征？

問題2春天來了，要從濟南到北京旅游，若想中途參觀南開大學(xué)，已知從濟南到

天津有3種走法，從天津到北京有兩種走法；問要從濟南到北京共有多少種不同

的方法？

從濟南到北京須經(jīng)—再由____到北京有一個步驟

第一步，由濟南去天津有__種方法

第二步，由天津去北京有一種方法，

設(shè)問2：上述每步的每種方法能否單獨實現(xiàn)從濟南村經(jīng)天津到達北京的目的？

1分類計數(shù)原理：(1)加法原理：如果完成一件工作有K種途徑，由第1種途徑

有nl種方法可以完成，由第2種途徑有n2種方法可以完成，……由第k種途徑

有nK種方法可以完成。那么，完成這件工作共有nl+n2+……+nK種不同的方法。

1.標準必須一致，而且全面、不重不漏！

2“類”與“類”之間是并列的、互斥的、獨立的即：它們兩兩的交集為空集!

3每一類方法中的任何一種方法均能將這件事情從頭至尾完成

2,乘法原理：如果完成一件工作可分為K個步驟，完成第1步有nl種不同的方

法，完成第2步有n2種不同的方法，……，完成第K步有nK種不同的方法。那

么，完成這件工作共有nlXn2X……XnK種不同方法

1標準必須一致、正確。

2“步”與“步”之間是連續(xù)的，不間斷的，缺一不可;但也不能重復(fù)、交叉。

3若完成某件事情需n步,每一步的任何一種方法只能完成這件事的一部分且必須

依次完成這n個步驟后,這件事情才算完成。

三、例題精析

例1.書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，

第3層放有2本不同的體育書，

(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

(2)從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？

解：(1)從書架上任取1本書，有3類辦法：第1類辦法是從第1層取1本計算

機書，有4種方法；第2類是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類辦法

是從第3層取1本體育書，有2種方法?根據(jù)分類計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是

4+3+2=9種?

所以，從書架上任取1本書，有9種不同的取法；

(2)從書架的第1、2、3層各取1本書，可以分成3個步驟完成：第1步從第1

層取1本計算機書，有4種方法；第2步從第2層取1本藝術(shù)書，有3種方法；

第3步從第3層取1本體育書，有2種方法?根據(jù)分步計數(shù)原理，從書架的第1、2、

3層各取1本書，不同取法的種數(shù)是4X3X2=2/W

所以，從書架的第1、2、3層各取1本書，有24種不同的取法?

例2.一種號碼撥號鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從。到9共10個數(shù)字，這

4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)號碼？

解：每個撥號盤上的數(shù)字有10種取法，根據(jù)分步計數(shù)原理，4個撥號盤上各

取1個數(shù)字組成的四位數(shù)字號碼的個數(shù)是N=lOxlOxlOxlO=lOOOO，

所以，可以組成10000個四位數(shù)號碼?

例3.要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的

選法？

解：從3名工人中選1名上日班和1名上晚班，可以看成是經(jīng)過先選1名上

日班，再選1名上晚班兩個步驟完成，先選1名上日班，共有3種選法；上日班

的工人選定后，上晚班的工人有2種選法?根據(jù)分步技數(shù)原理，不同的選法數(shù)是

N=3x2=6種，6種選法可以表示如下：

日班：甲甲乙乙丙丙

晚班：乙丙甲丙甲乙

所以，從3名工人中選出2名分別上日班和晚班，6種不同的選法?

例4.若分給你10塊完全一樣的糖，規(guī)定每天至少吃一塊，每天吃的塊數(shù)不限，

問共有多少種不同的吃法？n塊糖呢？

課堂小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了兩個重要的計數(shù)原理及簡單應(yīng)用

課堂作業(yè)：

課后反思:

1.1.2基本計數(shù)原理(第二課時)

教學(xué)目標：

會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題

教學(xué)重點：

會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

1、分類計數(shù)原理：(1)加法原理：如果完成一件工作有k種途徑，由第1種

途徑有山種方法可以完成，由第2種途徑有112種方法可以完成，……由第k種

途徑有nk種方法可以完成。那么，完成這件工作共有n1+n2+……+以種不同的

方法。

2,乘法原理：如果完成一件工作可分為K個步驟，完成第1步有m種不同

的方法，完成第2步有m種不同的方法，……，完成第K步有nK種不同的方法。

那么，完成這件工作共有mXm義……Xnk種不同方法

二、講解新課：

例1.書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語文書，6本不同的英語書.

(1)若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

(2)若從這些書中，取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？

(3)若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？

例2.在1?20共20個整數(shù)中取兩個數(shù)相加，使其和為偶數(shù)的不同取法有多少種？

解:取a+b與取。+“是同一種取法.分類標準為兩加數(shù)的奇偶性，第一類，偶偶相加,

由分步計數(shù)原理得(10X9)/2=45種取法,第二類,奇奇相加，也有(10X9)/2=45種

取法.根據(jù)分類計數(shù)原理共有45+45=90種不同取法.

例3.如圖一，要給①，②，③，④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種，允許同

一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色,則不同涂色方法種數(shù)為()

A.180B.160C.96D.60-

①

③④

②

圖二圖三

若變?yōu)閳D二,圖三呢？（240種,5X4X4X4=320種）

例4.75600有多少個正約數(shù)?有多少個奇約數(shù)？

解:75600的約數(shù)就是能整除75600的整數(shù),所以本題就是分別求能整除75600的

整數(shù)和奇約數(shù)的個數(shù).由于75600=2'X33X52X7

（1）75600的每個約數(shù)都可以寫成2,3,5&.7，的形式，其中

0<z<4,0<j<3,Q<k<2,O</<1,于是,要確定75600的一個約數(shù)，可分四步完成,

即ijk/分別在各自的范圍內(nèi)任取一個值,這樣i有5種取法，/有4種取法，k有3

種取法，/有2種取法,根據(jù)分步計數(shù)原理得約數(shù)的個數(shù)為5X4X3X2=120個.

⑵奇約數(shù)中步不含有2的因數(shù)，因此75600的每個奇約數(shù)都可以寫成5*7的形

式，同上奇約數(shù)的個數(shù)為4X3X2=24個.

課堂小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了兩個重要的計數(shù)原理的應(yīng)用

課堂作業(yè)：

課后反思：

1.2.1排列（第一課時）

教學(xué)目標：

理解排列、排列數(shù)的概念，了解排列數(shù)公式的推導(dǎo)

教學(xué)重點：

理解排列、排列數(shù)的概念，了解排列數(shù)公式的推導(dǎo)

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

1、分類計數(shù)原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k種途徑，由第1種

途徑有m種方法可以完成，由第2種途徑有1）2種方法可以完成，……由第k種

途徑有nk種方法可以完成。那么，完成這件工作共有ni+n2+……+配種不同的

方法。

2,乘法原理：如果完成一件工作可分為K個步驟，完成第1步有m種不同

的方法，完成第2步有m種不同的方法，……，完成第K步有nK種不同的方法。

那么，完成這件工作共有由義M2義……Xnk種不同方法

二、講解新課：

1.排列的概念：

從〃個不同元素中，任取加（m<n）個元素（這里的被取元素各不相同）按

照一定的順序排成一列，叫做從〃個不同元素中取出加個元素的一個排列?

說明：（1）排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列；

（2）兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同?

2.排列數(shù)的定義：

從"個不同元素中，任取加（加《〃）個元素的所有排列的個數(shù)叫做從〃個元

素中取出加元素的排列數(shù)，用符號町表示?

注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：''一個排列”是指：從〃個不同元素中，任取m

個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從〃個不同元素中，任

取“（加《〃）個元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)?所以符號A："只表示排列數(shù)，

而不表示具體的排列?

3.排列數(shù)公式及其推導(dǎo)：

第1位第2位第3位第m位

..........

n-1n-2n-rn^]

圖10-5

求以按依次填加個空位來考慮M=心_1)(〃-2)(〃-根+1)，

排列數(shù)公式：4"=一2)(〃一加+1)—n\(m,n￡N*,m4幾)

(n-m)!

說明：(1)公式特征：第一個因數(shù)是“，后面每一個因數(shù)比它前面一個

少1,最后一個因數(shù)是〃一加+1,共有加個因數(shù)；

(2)全排列：當(dāng)〃=〃7時即〃個不同元素全部取出的一個排列?

全排列數(shù)：A"=”(〃-1)(〃-2)2.1=〃！(叫做n的階乘)，

4.例題精析：

例1.計算：(1)4；(2)8；(3)星.

解：(1)A]=16x15x14=3360；(2)父—6!=720；(3)4=6x5x4x3=360。

m=

例2.(1)若4"=17X16X15X*5X4，貝九〃=----，-----

(2)若〃eN,則(55-〃)(56-〃)(68-〃)(69-〃)用排列數(shù)符號表示-

解：(1)〃=17,tn=14.

(2)若〃wN,則(55—")(56—“)(68-〃)(69—〃)=4“?

例3.(1)從2,3,5,7,11這五個數(shù)字中，任取2個數(shù)字組成分數(shù)，不同值的分數(shù)共

有多少個？

(2)5人站成一排照相，共有多少種不同的站法？

(3)某年全國足球甲級(A組)聯(lián)賽共有14隊參加，每隊都要與其余各隊在主

客場分別比賽1次，共進行多少場比賽？

解：(1)&=5x4=2O；(2)&=5x4x3x2x1=120；㈠)=14x13=182，

課堂小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了排列、排列數(shù)的概念，排列數(shù)公式的推導(dǎo)

課堂作業(yè)：

課后反思：

1.2.1排列（第二課時）

教學(xué)目標：

掌握解排列問題的常用方法

教學(xué)重點：

掌握解排列問題的常用方法

教學(xué)過程設(shè)計

一、復(fù)習(xí)引入：

1.排列的概念：

從〃個不同元素中，任取加個元素（這里的被取元素各不相同）按

照一定的順序排成一列，叫做從〃個不同元素中取出加個元素的一個排列?

說明：（1）排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列；

（2）兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同?

2.排列數(shù)的定義：

從〃個不同元素中，任取加（m<?）個元素的所有排列的個數(shù)叫做從〃個元

素中取出加元素的排列數(shù)，用符號黑，表示?

注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個排列”是指：從〃個不同元素中，任取加

個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從〃個不同元素中，任

取“個元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)?所以符號父只表示排列數(shù)，

而不表示具體的排列?

3.排列數(shù)公式及其推導(dǎo)：

=〃（〃-1）（〃一2）（?-m+1）m,neN*,m<n^

全排列數(shù)：（〃一1）（〃.2）2」=〃！（叫做n的階乘），

二、講解新課：

解排列問題問題時，當(dāng)問題分成互斥各類時，根據(jù)加法原理，可用分類法；

當(dāng)問題考慮先后次序時，根據(jù)乘法原理，可用位置法；這兩種方法又稱作直接

法.當(dāng)問題的反面簡單明了時，可通過求差排除采用間接法求解；另外，排列中

“相鄰”問題可以用“捆綁法”；“分離”問題可能用“插空法”等.

解排列問題和組合問題，一定要防止“重復(fù)”與“遺漏”.

互斥分類一一分類法；先后有序一一位置法；反面明了一一排除法；

相鄰排列一一捆綁法；分離排列一一插空法；

例1.求不同的排法種數(shù)：

(1)6男2女排成一排，2女相鄰；

(2)6男2女排成一排，2女不能相鄰；

(3)4男4女排成一排，同性者相鄰；

(4)4男4女排成一排，同性者不能相鄰.

例2.在3000與8000之間，數(shù)字不重復(fù)的奇數(shù)有多少個？

分析：符合條件的奇數(shù)有兩類.一類是以1、9為尾數(shù)的，共有P21種選法，首數(shù)

可從3、4、5、6、7中任取一個，有PS1種選法，中間兩位數(shù)從其余的8個數(shù)字中

選取2個有Pgz種選法，根據(jù)乘法原理知共有P2RR2個；一類是以3、5、7為尾

數(shù)的共有PJPJP/個.

112112

解:符合條件的奇數(shù)共有P2P5P8+P3P4P8=1232個.

答：在3000與8000之間，數(shù)字不重復(fù)的奇數(shù)有1232個.

例3.某小組6個人排隊照相留念.

⑴若分成兩排照相，前排2人，后排4人，有多少種不同的排法？

(2)若分成兩排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必須在前排，乙必須在后

排，有多少種排法？

⑶若排成一排照相，甲、乙兩人必須在一起，有多少種不同的排法？

⑷若排成一排照相，其中甲必在乙的右邊，有多少種不同的排法？

(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相鄰有多少種排法？

(6)若排成一排照相，且甲不站排頭乙不站排尾，有多少種不同的排法？

分析(1)分兩排照相實際上與排成一排照相一樣，只不過把第3?6個位子看

成是第二排而已，所以實際上是6個元素的全排列問題.

⑵先確定甲的排法，有PJ種；再確定乙的排法，有P1種；最后確定其他人的排

法，有PJ種.因為這是分步問題，所以用乘法原理，有PJ?P1?P:種不同排法.

⑶采用“捆綁法”，即先把甲、乙兩人看成一個人，這樣有P/種不同排法.然

后甲、乙兩人之間再排隊，有P22種排法.因為是分步問題，應(yīng)當(dāng)用乘法原理，所

以有P55?P22種排法.

(4)甲在乙的右邊與甲在乙的左邊的排法各占一半，有P6‘種排法.

⑸采用“插入法”，把3個女生的位子拉開，在兩端和她們之間放進4張椅子,

如—女—女—女—，再把3個男生放到這4個位子上，就保證任何兩個

男生都不會相鄰了.這樣男生有P:種排法，女生有P33種排法.因為是分步問題,

應(yīng)當(dāng)用乘法原理，所以共有p;?p/種排法.

(6)符合條件的排法可分兩類：一類是乙站排頭，其余5人任意排有P55種排法；

一類是乙不站排頭；由于甲不能站排頭，所以排頭只有從除甲、乙以外的4人中

任選1人有P1種排法，排尾從除乙以外的4人中選一人有PJ種排法，中間4個

位置無限制有P；種排法，因為是分步問題，應(yīng)用乘法原理，所以共有PJPJPJ種

排法.

6

解：(l)P6=720(^);(2)P?-P?-P?=2X4X24=192(^)；

56

(3)P5?P2?=120X2=240(種)；(4)P6=360(^)；(5)P；?P3J24X6=144(種)

51I

(6)P5+P.1P4P；=120+4X4X24=504(種)

65

或法二:(淘汰法)P6-2P5+P>720-240+24=504(^)

課堂小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了排列、排列數(shù)的概念，排列數(shù)公式的推導(dǎo)

課堂作業(yè)：

課后反思：

L2.2組合（第一課時）

教學(xué)目標：

1.理解組合的意義，掌握組合數(shù)的計算公式；

2.能正確認識組合與排列的聯(lián)系與區(qū)別

教學(xué)重點：

理解組合的意義，掌握組合數(shù)的計算公式

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

1.排列的概念：

從〃個不同元素中，任取〃？（加個元素（這里的被取元素各不相同）按

照一定的順序排成一列，叫做從〃個不同元素中取出加個元素的一個排列?

說明：（1）排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列；

（2）兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同?

2.排列數(shù)的定義：

從〃個不同元素中，任取加（加《〃）個元素的所有排列的個數(shù)叫做從〃個元

素中取出M元素的排列數(shù)，用符號4：表示?

注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個排列”是指：從〃個不同元素中，任取加

個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從〃個不同元素中，任

取加（機《“）個元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)?所以符號A;只表示排列數(shù)，

而不表示具體的排列?

3.排列數(shù)公式及其推導(dǎo)：

A,"'=/?（/?-l）（n-2）（〃一m+1）m,neN*,m<n^

全排列數(shù)：2」=〃！（叫做n的階乘），

二、講解新課：

1?組合的概念：一般地，從〃個不同元素中取出m（租<〃）個元素并成一組，叫做

從〃個不同元素中取出機個元素的一個組合?

說明：⑴不同元素；⑵“只取不排”一一無序性；⑶相同組合：元素相同?

2.組合數(shù)的概念：從〃個不同元素中取出加(〃區(qū)同個元素的所有組合的個數(shù)，叫

做從〃個不同元素中取出加個元素的組合數(shù).用符號C，”表示.

3.組合數(shù)公式的推導(dǎo)：

(1)一般地，求從〃個不同元素中取出0個元素的排列數(shù)記，可以分如下兩步:

①先求從〃個不同元素中取出加個元素的組合數(shù)C"；②求每一個組合中加個元

素全排列數(shù)A：：，根據(jù)分步計數(shù)原理得：A：=C>A：；?

(2)組合數(shù)的公式：

_找_或c?,=〃!(〃,meN*,且"?<n)'

4.例題精析：

例1.計算：(1)4；(2)7;

5CJCo

(1)解：147x6x5x4=35；

C=--------

74!

(2)解法1：10x9x8x7x6x5x4=120.

C,ino=--------7!-------

解法2：_io!_IOX9X8=120.

'0-7!3!-_3!~

例2.求證：m+i..

J”一Jn

n-m

證明：???加

Cm，小

-----

m+1C叫"2+1n\—m+1n\—n\

n-m〃n-m(m+l)!(n-/n-l)!(m+1)!(〃一加)(〃一加一1)!

加

C+1C廠m+l

n=-n---m--n

例3.在52件產(chǎn)品中，有50件合格品，2件次品，從中任取5件進行檢查.

⑴全是合格品的抽法有多少種？

(2)次品全被抽出的抽法有多少種？

⑶恰有一件次品被抽出的抽法有多少種？

(4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少種？

例4,名男生和6名女生組成至少有1個男生參加的三人社會實踐活動小組，問組成

方法共有多少種？

解法一：(直接法)小組構(gòu)成有三種情形：3男，2男1女，1男2女，分別有《，

CbC?C\-C^

所以，一共有c：+c：C；+c；=1°。種方法.

解法二：(間接法)_c：=]QQ*

課堂小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了組合的意義，組合數(shù)的計算公式

課堂作業(yè)：

課后反思：

L2.2組合（第二課時）

教學(xué)目標：

1?掌握組合數(shù)的兩個性質(zhì)；

2.進一步熟練組合數(shù)的計算公式，能夠運用公式解決一些簡單的應(yīng)用問題?

教學(xué)重點：

掌握組合數(shù)的兩個性質(zhì)

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

1?組合的概念：一般地，從〃個不同元素中取出加（〃區(qū)“）個元素并成一組，叫做

從〃個不同元素中取出m個元素的一個組合?

說明：⑴不同元素；（2）“只取不排”一一無序性；⑶相同組合：元素相同?

2.組合數(shù)的概念：從〃個不同元素中取出加價w〃）個元素的所有組合的個數(shù)，叫

做從〃個不同元素中取出加個元素的組合數(shù).用符號表示.

3.組合數(shù)公式的推導(dǎo)：

（1）一般地，求從〃個不同元素中取出力個元素的排列數(shù)A：，可以分如下兩步：

①先求從〃個不同元素中取出勿個元素的組合數(shù)c，，，；②求每一個組合中加個元

素全排列數(shù)A；：，根據(jù)分步計數(shù)原理得：A：=C：.A：?

（2）組合數(shù)的公式：

_找_（"陽+1）或c“，=川（n,meN*,且加<n）'

"一耳；一ml"加（〃一加）！

二、講解新課：

m1

1,組合數(shù)的性質(zhì)1:Crn-Jc",-"?

一般地，從n個不同元素中取出“個元素后，剩下個元素.因為從n

個不同元素中取出勿個元素的每一個組合，與剩下的n-/個元素的每一個組合

芍廖，所以從〃個不同元素中取出必個元素的組合數(shù)，等于從這〃個元素中

取出勿個元素的組合數(shù)，即：C",一b.在這里，主要體現(xiàn)：'‘取法"與''剩

法”是“一一對應(yīng)”的思想，

證明：?二7|又川,，

_______7___2_____________________cm_

(〃一m)!["—(〃一加)]!加(〃一加)！_'〃

說明：①規(guī)定：(7。=]；

②等式特點：等式兩邊下標同，上標之和等于下標；

③C；=c;=x=y或x+y=〃?

2.組合數(shù)的性質(zhì)2：Qrn=Qin+z--m-l.

一般地，從Qa...a這〃+1個不同元素中取出勿個元素的組合數(shù)是，

這些組合可以分為兩類：一類含有元素a,一類不含有a.含有a的組合是從

aaa這〃個元素中取出必-1個元素與“組成的，共有仁…個；不含有。的

組合是從aa...&這〃個元素中取出勿個元素組成的，共有b個.根據(jù)分類

"2,"3，?un+\J

計數(shù)原理，可以得到組合數(shù)的另一個性質(zhì).在這里，主要體現(xiàn)從特殊到一般的歸

納思想，“含與不含其元素”的分類思想.

證明.

ii-i〃！〃！〃！(〃一m+1)+制〃2

C+C..=---------4--------------------=--------------------

n"?!(〃-“)！(zn-l)![?-(/n-l)]!ml(n-m4-1)!

(/?-TH+1+m)nl(〃+l)!=C；：[

加！(〃一〃2+l)!機！(〃一〃z+l)!

.■廠》/W廠r/n+.

L〃+l"

3.例題精析

1?(1)計算：。3+。4+；(2)：C"—C〃+2cA-1+C〃-2?

解：(1)原式=c；+c；+C：=C；+C；=C；)=C：)=210；

證明：(2)右邊=?+靖)+(蟒+蝮)=5+端=%=左邊.

例2.解方程：(1)0，+1-C2*-3；(2)解方程：，1.

53-VI3Cx~24Cx~3_—43

解：(1)由原方程得x+l=2x-3或x+l+2x-3=13，「?x=4或x=5，

又由［1KX+1K13得2WxW8且xeN'?.?原方程的解為x=4或x=5，

<l〈2x-3K13

xwN*

上述求解過程中的不等式組可以不解,直接把》=4和x=5代入檢驗,這樣運算量小

得多.

(2)原方程可化為&3,即a3=2y3,?(x+3)!_(x+3)!

1?5!(x-2)!-10-x!

.1_______1_______

,,120(%-2)!-10-x(^-l)-U-2)!’

?*,x2-x-12=0?解得x=4或尤=一3，

經(jīng)檢驗：》=4是原方程的解?

例3.有同樣大小的4個紅球，6個白球。

⑴從中任取4個，有多少種取法？

(2)從中任取4個，使白球比紅球多，有多少種取法？

⑶從中任取4個，至少有一個是紅球，有多少種取法？

(4)假設(shè)取1個紅球得2分，取1個白球得1分。從中取4個球，使總分不小于5

分的取法有多少種？

課堂小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了組合數(shù)的兩個性質(zhì)

課堂作業(yè)：

課后反思：

1.2.2組合(第三課時)

教學(xué)目標:

1、進一步鞏固組合、組合數(shù)的概念及其性質(zhì);

2、能夠解決一些組合應(yīng)用問題

教學(xué)重點：

解決一些組合應(yīng)用問題

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

1?組合的概念：一般地，從〃個不同元素中取出個元素并成一組，叫做

從〃個不同元素中取出m個元素的一個組合?

說明：⑴不同元素；(2)“只取不排”一一無序性；⑶相同組合：元素相同?

2.組合數(shù)的概念：從〃個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫

做從〃個不同元素中取出加個元素的組合數(shù).用符號C，"表示.

???f

3.組合數(shù)公式:

理=〃(〃-1)("-2)(〃-，〃+1)或冷加(71,mGN",且/n<n)

“_然一加！〃m!(n-m)!

4組合數(shù)的性質(zhì):(1)Qm_Qn-m.(2)IQm=Qm+.

二、講解新課：例題精析：

例1.(1)把n+1個不同小球全部放到n個有編號的小盒中去，每小盒至少有1個

小球，共有多少種放法？

⑵把n+1相同的小球，全部放到n個有編號的小盒中去，每盒至少有1個小球,

又有多少種放法？

(3)把n+1個不同小球，全部放到n個有編號的小盒中去，如果每小盒放進的球

數(shù)不限，問有多少種放法？

例2.從編號為1,2,3,…，10,11的共11個球中，取出5個球，使得這5個

球的編號之和為奇數(shù)，則一共有多少種不同的取法？

解：分為三類：1奇4偶有；3奇2偶有C：C；；5奇1偶有《，

...一共有以或+C總+0=236.

例3.現(xiàn)有8名青年，其中有5名能勝任英語翻譯工作；有4名青年能勝任德語

翻譯工作(其中有1名青年兩項工作都能勝任)，現(xiàn)在要從中挑選5名青年承擔(dān)

一項任務(wù)，其中3名從事英語翻譯工作，2名從事德語翻譯工作，則有多少

種不同的選法？

解：我們可以分為三類：

①讓兩項工作都能擔(dān)任的青年從事英語翻譯工作，有C"：；

②讓兩項工作都能擔(dān)任的青年從事德語翻譯工作，有；

③讓兩項工作都能擔(dān)任的青年不從事任何工作，有,

...-一共有「2c2+「3「1+「3c2—42種方法.

例4.甲、乙、丙三人值周，從周一至周六，每人值兩天，但甲不值周一，乙不

值周六，問可以排出多少種不同的值周表？

解法一：(排除法)-=42.

解法二：分為兩類：一類為甲不值周一，也不值周六，有

另一類為甲不值周一，但值周六，有

...一共有C：C：+C：C；=42種方法.

例5.6本不同的書全部送給5人，每人至少1本，有多少種不同的送書方法？

解：

第一步：從6本不同的書中任取2本“捆綁”在一起看成一個元素有盤種方法；

第二步：將5個“不同元素(書)”分給5個人有用種方法.

根據(jù)分步計數(shù)原理，一共有4=1800種方法.

例6.從6雙不同手套中，任取4只，

(1)恰有1雙配對的取法是多少？

(2)沒有1雙配對的取法是多少？

(3)至少有1雙配對的取法是多少？

課堂小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了組合數(shù)的應(yīng)用

課堂作業(yè)：

課后反思:

1.3.1二項式定理(兩個課時)

教學(xué)目標：

1、能用計數(shù)原理證明二項式定理；

2、掌握二項式定理及二項式展開式的通項公式

教學(xué)重點：

掌握二項式定理及二項式展開式的通項公式

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

⑴(a+勿2=/+2"+〃=C*+c；ab+C；b2；

⑵(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+"=Cfa3+C1a2b+C-ab2+C>3*

⑶(?+Z7)4=(a+/?)(a+/j)(a+8)(a+Z7)的各項都無4次式，

即展開式應(yīng)有下面形式的各項：a4,a3b,a2b2,ab3b4,

展開式各項的系數(shù)：上面4個括號中，每個都不取。的情況有1種，即端種，/的

系數(shù)是《；恰有1個取力的情況有C：種，的系數(shù)是c：,恰有2個取b的情況有C：

種，合片的系數(shù)是盤，恰有3個取人的情況有《種，,必的系數(shù)是優(yōu)，有4都取人的

情況有C：種，/的系數(shù)是C：,

(a+b)4=C^a4++C；a2b2+C^b+C>4-

二、講解新課：

1、二項式定理：(a+by=C°a"+C'na"b++C：af++C?"(〃GN*)

2、二項式定理的證明：

(a+b)”是n個(a+b)相乘，每個(a+b)在相乘時，有兩種選擇，選a或b,由分步

計數(shù)原理可知展開式共有，項(包括同類項)，其中每一項都是ate的形式，

k=0,1,n;對于每一項akb"",它是由k個(a+b)選了a,n-k個(a+b)選了

b得到的，它出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從n個(a+b)中取k個a的組合數(shù)，將它們合并

同類項，就得二項展開式，這就是二項式定理。

3、它有“+1項，各項的系數(shù)C：0=O,1,〃)叫二項式系數(shù)，

4、￡“一方叫二項展開式的通項，用卻表示，即通項

5、二項式定理中，設(shè)a=l,b=x,則(l+x)"=l+C%++C>r++x"

三、例題精析

例1.展開(1+%.

X

解一：(1+-)4=1+^(-)+0；(-)2+^(-)3+(-)4=1+-+4+4+^-

XXXXXxx~XX

解二：(1+-)4=d)4(X+1)4=(l)4r/+。卜3+C\x2+C>+1]

XXXL」

.4641

=1+-+—+—+—?

例2.展開(26一七)6.

解：(2五一十)6=5(2x—1)6

(2x)6-C：(2x)5+C；(2x)4-C；(2x)3+C：(2x)2-c：(2x)+l]

=64%3—192x?+24-Ox—160H------H—?

XXX

例3.求(x+a)n的展開式中的倒數(shù)第4項.

解：(x+a)n的展開式中共13項，它的倒數(shù)第4項是第10項，

Qi=產(chǎn)一9a9==220/。9.

例4.求(1)(2a+3b)6,(2)(3b+2a的展開式中的第3項.

解：(1)豈+1=C：(2a)4(3b)2=2160aW,⑵以=C；(3b)4(2a>=4860口.

點評：(2a+3協(xié)6,(3H2a)6的展開后結(jié)果相同，但展開式中的第/?項不相同.

例5.(1)求弓+%)9的展開式常數(shù)項；(2)求號+三)9的展開式的中間兩項.

解：加=C；G)9"(/)r=C；A晨吟,

3yJX

A(1)當(dāng)9-^〃=。/=6時展開式是常數(shù)項，即常數(shù)項為(=《3=2268；

(2)號+福)9的展開式共10項’它的中間兩項分別是第5項、第6項’

7；Me；1"尤"J*,7；=《.32『”=37877.

X

課堂小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了二項式定理及二項式展開式的通項公式

課堂作業(yè)：

課后反思：

1.3.2楊輝三角(兩個課時)

教學(xué)目標:

理解和掌握二項式系數(shù)的性質(zhì)，并會簡單的應(yīng)用

教學(xué)重點：

理解和掌握二項式系數(shù)的性質(zhì)，并會簡單的應(yīng)用

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

1.二項式定理

nrnrrn

(?+b)=C：a"+C'na"b++Cna-b++C；；b(nsN*)，

nrr

2.二項展開式的通項公式：Tr+[=Cna-b

二、講解新課：

1.二項式系數(shù)表(楊輝三角)Q

(a+與"展開式的二項式系數(shù)，當(dāng)〃依次取1,2,3…時，二項式

系數(shù)表，表中每行兩端都是1,除1以外的每一個數(shù)都等于它

肩上兩個數(shù)的和?

2.二項式系數(shù)的性質(zhì)：

(1)對稱性.與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等(???c；=cr).

(2)增減性與最大值.???=〃(〃7(~2)(i+1)=優(yōu).巴上1,

k\k

???c相對于C廠的增減情況由匕小決定，七H〉10%＜四，

KK2

當(dāng)左＜四時，二項式系數(shù)逐漸增大.由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且

2

在中間取得最大值；

fin-\〃+1

當(dāng)〃是偶數(shù)時，中間一項G取得最大值；當(dāng)〃是奇數(shù)時，中間兩項C3,甲取得

最大值.

(3)各二項式系數(shù)和：

7(l+x)n=1+C＞++c；￡++尸

令x=],則2"=C。+C1+C?++U++c"3兀素集合的子集個數(shù)證明)

三、例題精析

例1.在(a+b)”的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)

的和.

證明：在展開式(a+b)"=C：a"+C：a%++C：af++C?"(〃eN*)中，令

貝I](l-l)n=C°-C：+C；Y++(-1)"C；,

即O=(C；+C,；+)-(C；+C：+),

???c：+a+=C：+C：+,

即在(a+份”的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和.

說明：由性質(zhì)(3)及例1知C；+C；+=C：+C；+=2"T.

例2.已知(1-2x)7=。()+4/+。2工2++。7/，求：

(1)4+/++%;(2)%+%+a+%；(3)I%I+14I++1%|.

77

解：(1)當(dāng)x=l時，(1-2x)=(1-2)=-19展開式右邊為4+4+%++%

??4。+。]+生++%=—1,

士|%=0日寸，。()=1,??Q]+Q,++%=—1—1=■""2，

(2)令x=l,0()+6+〃2++%=-1①

x——19(2Q_4+a?—%+%—〃5+〃6—%=3了(2)

7

/714-3

(X)一(2)4導(dǎo)：2(4+4-tz54-)=—1—39??q+々3+05+%=——?

(3)由展開式知：q,a3M5,。7均為負，%,“2,%，。8均為正，

.,.由(2)中①+②得：2(4+4+4+4)=—1+37，

?—1+3，

??%+%+/+〃6=--------，

??|%|+|%|++|a71=%—4+一—%+—%

二(%++%+。6)-(。[+/+〃5+%)=3，?

例3.求(l+x)+(l+x)2+…+(l+x)展開式中X：'的系數(shù)?

解：(i+x)+(i+x)2+..y+x)J.(3)L(L+Q「(x+i)u-(x+i)，

1-(1+X)X

???原式中/實為這分子中的公,則所求系數(shù)為C3

例4.在(x?+3x+2)5的展開式中,求x的系數(shù).

解：V(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5

.?.在(x+lT展開式中，常數(shù)項為1,含x的項為C；=5x,

在(2+x)5展開式中，常數(shù)項為2工32,含X的項為C；2，x=80x

,展開式中含X的項為1-(80x)4-5x(32)=240x,

，此展開式中x的系數(shù)為240.

例5.已知(4-4廠的展開式中，第五項與第三項的二項式系數(shù)之比為14；3,求

X-

展開式的常數(shù)項.

解：依題意C：:C：=14:3=3C：=14C：

/.3n(n-l)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-l)/2!=>n=10.

010-5r

設(shè)第r+1項為常數(shù)項，又L=C；o(4嚴=(-2)rC；0xk

X

令W產(chǎn)=0nr=2,.,工*I=C：o(-2)2=180.此所求常數(shù)項為180.

課堂小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了二項式系數(shù)的性質(zhì)

課堂作業(yè):

課后反思:

2.1.1離散型隨機變量

教學(xué)目標:

理解取值有限的離散型隨機變量

教學(xué)重點：

理解取值有限的離散型隨機變量

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

1.隨機事件及其概率：在每次試驗的結(jié)果中，如果某事件一定發(fā)生，則稱為必

然事件，記為U；相反，如果某事件一定不發(fā)生，則稱為不可能事件，記為(().

隨機試驗

為了研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，我們把各種科學(xué)實驗和對事物的觀測統(tǒng)稱

為試驗.如果試驗具有下述特點：

(1)試驗可以在相同條件下重復(fù)進行；

(2)每次試驗的所有可能結(jié)果都是明確可知的，并且不止一個；

(3)每次試驗之前不能預(yù)知將會出現(xiàn)哪一個結(jié)果，則稱這種試驗為隨機試驗簡

稱試驗。

2.樣本空間：(拓展知識)

樣本點：在相同的條件下重復(fù)地進行試驗，雖然每次試驗的結(jié)果中所有可能發(fā)生的

事件是可以明確知道的，并且其中必有且僅有一個事件發(fā)生,但是在試驗之前卻無

法預(yù)知究意哪一個事件將在試驗的結(jié)果中發(fā)生.試驗的結(jié)果中每一個可能發(fā)生的

事件叫做試驗的樣本點，通常用字母3表示.

樣本空間：

I,32,33,…構(gòu)成的集合叫做樣本空間，通常用字母。

表示，于是，我們有。={31，32,...}

3.古典概型的特征：

古典概型的隨機試驗具有下面兩個特征：

(1)有限性.只有有限多個不同的基本事件；

(2)等可能性.每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

概率的古典定義

在古典概型中，如果基本事件的總數(shù)為n,事件/所包含的基本事件個數(shù)為廣

(r<?),則定義事件/的概率P(A)為r/n.即

_工中包含的基本事件個數(shù)

⑷■?"一基本事件總數(shù)

二、講解新課：

1、隨機變量的概念

把隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化可使我們對隨機試驗有更清晰的了解，還可借助更多

的數(shù)學(xué)知識對其進行深入研究.

有的試驗結(jié)果本身已具數(shù)值意義，如產(chǎn)品抽樣檢查時的廢品數(shù)，而有些雖本

無數(shù)值意義但可用某種方式與數(shù)值聯(lián)系，如拋硬幣時規(guī)定出現(xiàn)徽花時用1表示，

出現(xiàn)字時用0表示.這些數(shù)值因試驗結(jié)果的不確定而帶有隨機性，因此也就稱為

隨機變量.

2、隨機變量的定義：

如果對于試驗的樣本空間c中的每一個樣本點田，變量J都有一個確定的實

數(shù)值與之對應(yīng)，則變量孑是樣本點卬的實函數(shù)，記作^=4(。).我們稱這樣的變

量J為隨機變量.

3、離散型隨機變量：若隨機變量。只能取有限個數(shù)值……，與或可列無窮多

個數(shù)值勺,勺則稱J為離散隨機變量，在高中階段我們只研究隨機變量^取

有限個數(shù)值的情形

三、例題精析

例1.隨機變量。為拋擲兩枚硬幣時徽花向上的硬幣數(shù)，求。的可能取值

解：J的可能取值為0,12

例2.某射手有五發(fā)子彈，射一次命中率為0.9,若命中了就停止射擊，若不命中

就一直射到子彈耗盡.求隨機變量的可能取值?

例3.寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗

的結(jié)果?

(1)一袋中裝有5只同樣大小的白球，編號為1,2,3,4,5-現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機取

出3只球，被取出的球的最大號碼數(shù)自；

⑵某單位的某部電話在單位時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)「

解：⑴&可取3,4,5-

&=3,表示取出的3個球的編號為1,2,3；

€=4,表示取出的3個球的編號為1,2,4或1,3,4或2,3,4；

€=5,表示取出的3個球的編號為1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3或3,4,5-

(2)n可取0,1,…,n,????

n=i,表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,

例4.拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)的差為€,

試問：'飛>4”表示的試驗結(jié)果是什么？

答：因為一枚骰子的點數(shù)可以是1,2,3,4,5,6六種結(jié)果之一，由已知得-5WZW5,也就

是說“&>4"就是“g=5”?所以，“&>4”表示第一枚為6點，第二枚為1點?

例5某城市出租汽車的起步價為10元，行駛路程不超出4km,則按10元的標準收租車費?若行駛路

程超出4km,則按每超出1km力口收2元計費(超出不足1km的部分按1km計).從這個城市的民航機場到

某賓館的路程為15km.某司機常駕車在機場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停

車時間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個城市規(guī)定，每停車5分鐘按1km路程計費)，這個司機一次接送旅客的行

車路程€是一個隨機變量，他收旅客的租車費可也是一個隨機變量?

(1)求租車費n關(guān)于行車路程€的關(guān)系式；

(II)已知某旅客實付租車費38元，而出租汽車實際行駛了15km,問出租車在途中因故停車累計最多幾

分鐘？

解：⑴依題意得n=2(&-4)+10,即n=2g+2?(II)由38=2g+2,得目=18,5X(18-15)=15.

所以，出租車在途中因故停車累計最多15分鐘.

課堂小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了離散型隨機變量

課堂作業(yè)：

課后反思：

2.1.2離散型隨機變量的分布列

教學(xué)目標：

1、理解離散型隨機變量的分布列的意義，會求某些簡單的離散型隨機變量的分布列；

2、掌握離散型隨機變量的分布列的兩個基本性質(zhì)，并會用它來解決一些簡單的問題.

教學(xué)重點：

1、理解離散型隨機變量的分布列的意義，會求某些簡單的離散型隨機變量的分布列;

2、掌握離散型隨機變量的分布列的兩個基本性質(zhì)，并會用它來解決一些簡單的問題.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

1.隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量

叫做隨機變量?隨機變量常用希臘字母&、H等表示?

2.離散型隨機變量：隨機變量。只能取有限個數(shù)值和%……,演或可列無窮

多個數(shù)值和加…，/…，則稱4為離散隨機變量，在高中階段我們只研究隨機變量4

取有限個數(shù)值的情形.

二、講解新課：

1.分布列：設(shè)離散型隨機變量4可能取得值為用,也，…，不，…，

w取每一個值乂(，=1,2,???)的概率為pe=xj=p,，則稱表

4X\X,2???Xi???

PP,局???Pi???

為隨機變量4的概率分布，簡稱f的分布列?

2.分布列的兩個性質(zhì)：任何隨機事件發(fā)生的概率都滿足：OMP(A)M1，并且不可能

事件的概率為0,必然事件的概率為1.由此你可以得出離散型隨機變量的分布

列都具有下面兩個性質(zhì)：

⑴哈0,7=1,2,…；(2出+巴+…=1.

對于離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概

率的和.即pe2x*)=pe=z)+pc=x*+i)+….

3.二點分布：如果隨機變量x的分布列為：

X10

ppQ

三、例題精講

例1.一盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色三種小球，已知紅球個數(shù)是綠球

個數(shù)的兩倍，黃球個數(shù)是綠球個數(shù)的一半.現(xiàn)從該盒中隨機取出一個球，若取出

紅球得1分，取出黃球得。分，取出綠球得一1分，試寫出從該盒中取出一球所

得分數(shù)f的分布列.

分析：欲寫出f的分布列，要先求出f的所有取值，以及f取每一值時的概

率.

解：設(shè)黃球的個數(shù)為〃，由題意知

綠球個數(shù)為2〃，紅球個數(shù)為4〃，盒中的總數(shù)為7/?.

??4〃49n192n2,

P(^=l)=—=-P^=Q)=-=-==—=-

所以從該盒中隨機取出一球所得分數(shù)f的分布列為

§10—1

412

P

777

說明：在寫出f的分布列后，要及時檢查所有的概率之和是否為L

例2.某一射手射擊所得的環(huán)數(shù)4的分布列如下：

§4