第五 數列及其應專題 等差數列及其前n項掌握等差數列的通項與前n項和2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列.數學語言表達式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數).a，A，bAa，bA＝2等差數列的通項與前n項和若等差數列{an}的首項是a1，公差是d，則其通項為 前n項 通項的推廣若{an}為等差數列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則 若S為等差數列{a 等差數列{an}d＞0時，{an}d＜0時，{an}d＝0時，{an}是(1)數列{an}為等差數列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( (2)等差數列{an}的單調性是由公差d決定的.( (3)數列{an}為等差數列的充要條件是其通項為n的一次函數 【答案】(1)√(2)√(3)×【衍化 【答案】

【解析】由已知可得

＝3

∴S8＝8a1＋2 【答案】【解析】【體驗4.(2018Ⅰ卷)記Sn為等差數列{an}的前n項和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝( 【答案】【解析】設等差數列{an}d3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d

31

＝－2a 【答案】

【解析】設等差數列{an}a1a

所以

26.(2019·蘇北四市聯考)在等差數列{an}中，已知a3＋a8>0，且S9<0，則S1，S2，…，S9中最小的 【答案】【解析】在等差數列{an} 考點一【例1】(1)(一題多解)(2017Ⅰ卷)記Sn為等差數列{an}的前n項和.若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的 【答案】 【解析】(1)法一設等差數列{an}

法二等差數列{an}

＝48a4＋a5＝24a4－a2＝2d＝24－16＝8d＝4.(2)設等差數列{an}d，依題意得

等差數列的通項及前n項和共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體數列的通項和前n項和在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數列的兩個基本量，用它 【答案】 【解析】(1)∵log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)∴log3[2x(4x＋2)]＝log3(3x)2，則∴d＝log312－log38＝log∴log318＋log(2)法一設數列{an}a1

由S3＝6，S4＝12，可得 法二由{an}nS3＝6，S4＝12可得

Sn＝n2－n，則考點二2(經典母題)若數列{a}nSa＋2S

n

求證：求數列{an}的通項【解析】(1)證明n≥2S

＝－2S

1＝2，

nn－1，所以S 1又S＝a 故22的等差數列可得 (2)解由 1 可得 n≥2a＝S

1 n－1－n

n＝1

22

】an＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2SnSn－1＝0，Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0(n≥2). 1所以S

1又S＝a 1所以S2為首項，2為公差的等差數列 1n所以S＝2＋(n－1)×2＝2nn1 ））所以當n≥2時 ））

－a

－11 1

2n（n＋1）

＝2n ）2

＝(n＋1)a＋n(n＋1)，試求數列{a}的通項

an＋1 ＝n＋1， －n＝1，又

∴n是以1＝5為首項，1

等差中：驗證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立(2)前n項和：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數)?{an}是等差數列.問題的最終判定還是利用定義(1)求{an}的通項；【解析】(1)設{an}的公比為q，由題設

故{an}的通項為

1－q4

3由于 ＝2－3＋(－1)n·3故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數列.考點三等差數列的性質及應用角度1 【答案】【解析】∵在等差數列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，角度2 【答案】【解析】由{an}S3，S6－S3，S9－S6為等差數列，2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，S9－S6＝2S6－3S3＝45，a7＋a8＋a9＝45.項的性質：在等差數列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則和的性質：在等差數列{an}中，Snn項和，則，【訓練3】(1)已知Sn是等差數列{an}的前n項和，若a1＝－2 S2015－S2009＝6，則S2019＝ ，2 2 (3)等差數列{a}與nS

n，若T ，則b等

【答案】(1)6 【解析】(1)由等差數列的性質可得n也為等差數列設其公差為 2設其公差為 2 ， 2 2故S2 2019＝1＋2018d＝－2015＋2∴S2019＝3×2019＝6∴3a4＝3，則a4＋a12＝2a8

(3)b＝2b

考點四n4(2019·衡水中學質檢)已知數列{an}nSn，a1≠0λ>0λa1an＝S1＋Sn對一切正n都成立.(1)求數列{an}的通項 1(2)a1>0，λ＝100n為何值時，數列lgan 【解析】(1)n＝1λa2＝2S＝2a，a(λa因為a1≠0，所以

2

n≥2

S

n＝λ＋

n－1＝λ＋從而數列{an}為等比數列

＝λbn＝lg1＝lg100＝lg100－lg2n＝2－nlg b1>b2>…>b6＝lg100＝lg100>lg n≥7時，bn≤b7＝lg100<lg 1所以數列lga6項和最大 【規律方法】nSn(1)nSn＝an2＋bn(a≠0)，通過配方或借助圖象求二次函數的最

mSnSm(am＋1＝0時，Sm＋1也為最大值

mSnSm(am＋1＝0時，Sm＋1也為最小值則數列n的前n項和取最小值時的n為 B.3C.4或 【答案】 【解析】(1)由題意知 ∴n ∴數列nnn3(2)因為等差數列{an}的首項a1＝20，公差

＝－n

—2

＋2n∈N*n＝10n＝11時，Sn【與感悟(1)a1，d的方程組進行求解.(2)a－d，a，a＋d.a－d，a＋d，其余各項再依據等差數列的定義進行對稱設元.用定義法證明等差數列應注意“2項起”an＋1－an＝d(n≥2)a2－a1是否da2－a1≠d，則數列{an}不為等差數列. 【答案】【解析】設等差數列{an}d 得

項和，若＝ 9 項和，若＝ 【答案】

1 9【解析】由于S9＝9a5＝9滿 － 1 1 滿 － 為調和數列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，則 【答案】1 1【解析】依題意 －

－x1 1 ∴{xn}是等差數列

又 ∴x1＋x20＝20，從而4.(2019海淀區質檢)中國古詩詞中，有一道“八子分綿”的數學名題：“九百九十六斤綿，贈分八作盤纏，次第每人多十七，要將第八數來言”.題意是：把996斤綿分給8個兒子作盤纏，按照從大到小的順序依次分綿，小的比大的多17斤綿，那么第8個兒子分到的綿是( A.174 B.184 C.191 D.201【答案】【解析】用a1，a2，…，a8表示8個兒子按照從大到小得到的綿數，a1，a2，…，a8178996，∴8a1＋2 4，則Sn取最大值時的n為 ，9－5 D.4【答案】【解析】由

為等差數列，得952由于a1＝9，所以an＝－2n＋11，令an＝－2n＋11<0，得2Snn已知等差數列{an}的公差為2，項數是偶數，所有奇數項之和為15，所有偶數項之和為25，則這個數列 【答案】【解析】2nS偶－S奇＝nd得，25－15＝2nn＝5已知數列{an}滿足a1＝1，an－an＋1＝2anan＋1，則 【答案】【解析】a

＝2a

a

，1

n

n

－a1 1

所以a是以a＝1為首項，2 16所以a＝1＋5×2＝116 【答案】【解析】依題意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差數列，設該等差數列的公差為d.S

－S＝24

－S＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得

10＋

＋

(1)求{an}的通項；【解析】(1)設數列{an}首項為a1，公差為

所以{an}的通 為an＝ (2)由(1)知，b 當n＝1，2，3時，1≤ 當n＝4，5時，2≤ 當n＝6，7，8時，3≤ 當n＝9，10時，4≤ 所以數列{bn}10(1)ak(2)設數列{bn}的通項

【解析】(1)解設該等差數列為{an}a1＝a，a2＝4，a3＝3a，a＋3a＝8a1＝a＝2d＝4－2＝2，S

Sk＝110k＝10k＝－11(舍去)(2)證明由(1)得

＝n

n（2＋n＋1）所以 11.(2019·濟寧模擬)設數列{an}滿足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，則 A. B. D.【答案】【解析】bn＝nan2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2)，因為b1＝1，b2＝4，所以公差d＝3，則18a18＝52，所以

＝9n12.(2019·青島診斷)已知等差數列{a}，nS，Tn

，若T＝n＋1，則B. C. 【答案】【解析】a12＝S12－S11＝12×23－11×21＝45， 所以b6＝12＝413.設數列{an}的通項為an＝2n－10(n∈N*)，則 【答案】由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8為首項，2為公差的等差數列，又由an＝2n－10≥0得∴n≤5時，an≤0n>514.(2019·長沙雅禮中學模擬)Sn為等差數列{an}na1＋a13＝26，S9＝81.(