量綱分析與相似原理流體力學第1頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四應變率

角速度，角加速度

其他量粘度，運動粘度壓強，壓力，彈性模量力，力矩密度，重度體積流量，質量流量

速度，加速度

常用量

B5.1量綱與物理方程的量綱齊次性(5-2)第2頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四注：

為溫度量綱比焓，比內能比熵導熱系數比定壓（容）熱容表面張力功率能量，功，熱動量，動量矩慣性矩，慣性積B5.1量綱與物理方程的量綱齊次性(5-3)第3頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四同一方程中各項的量綱必須相同。用基本量綱的冪次式表示時，每個基本量綱的冪次應相等，稱為量綱齊次性。量綱齊次性原理常數

（沿流線）B5.1量綱與物理方程的量綱齊次性(5-4)單位體積流體伯努利方程第4頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四忽略重力的伯努利方程物理方程的無量綱化（沿流線）（沿流線）無量綱化伯努利方程?

在無粘性圓柱繞流中上下側點其他點?

以上結果對任何大小的來流速度，任何大小的圓柱都適用。前后駐點柱面上：柱面外：流場中

還與無量綱半徑

r/a有關·C·DABaB5.1量綱與物理方程的量綱齊次性(5-5)第5頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四B5.2量綱分析與П定理量綱分析概念一個方程中各項的量綱必須齊次；

一個流動過程中各物理量在量綱上存在相互制約關系，可以按量綱齊次性原理作分析。類比：角色分析

量綱分析法主要用于分析物理現象中的未知規律，通過對有關的物理量作量綱冪次分析，將它們組合成無量綱形式的組合量，用無量綱參數之間的關系代替有量綱的物理量之間的關系，揭示物理量之間在量綱上的內在聯系，降低變量數目，用于指導理論分析和實驗研究。

B5.2量綱分析與П定理第6頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四x1=φ(x2，x3,……,xn)

П1=f(П2,П3,……,Пn-r)

提議用量綱分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理論基礎的是布金漢（E.Buckingham,1914):B5.2.1П定理Π定理方

法充要條件n個物理量r個獨立基本量n-r個導出量選r個獨立基本量組成n-r個獨立Π數量綱分析方法等B5.2.1П定理第7頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四B5.2.2量綱分析法一般步驟：以圓柱繞流為例第1步、列舉所有相關的物理量。第2步、選擇包含不同基本量綱的物理量為基本量（或稱為 重復量，取3個）。

第3步、將其余的物理量作為導出量，分別與基本量的冪次式 組成П表達式。阻力密度速度直徑粘度系數選ρ

、V

、d導出量即

、μ

B5.2.2量綱分析法(4-1)第8頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四B5.2.2量綱分析法(4-2)第4步、用量綱冪次式求解每個П表達式中的指數，組成П數。

解得

a1=-1,b1=-2,c1=-2（CD

稱為阻力系數）第9頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四B5.2.2量綱分析法(4-3)解得:a2=-1,b2=-1,c2=-1

（Re為雷諾數）第5步、用П數組成新的方程。П1=f(П2)

第10頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四B5.2.2量綱分析法(4-4)量綱分析優點FDFDFDVdFD第11頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四

不可壓縮牛頓粘性流體在內壁粗糙的直圓管中作定常流動，分析壓強降低與相關物理量的關系。

[例B5.2.1]粗糙管中粘性流動的壓降：量綱分析一般步驟(4-1)

解：1．列舉物理量。Δp，V，d，ε，ρ，μ，l，共7個2．選擇基本量：ρ、V、d

3．列П表達式求解П數①П1=ρaVbdcΔp

M0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bLc(ML–1T–2)第12頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四[例B5.2.1]粗糙管中粘性流動的壓降：量綱分析一般步驟(4-2)

解得：

a=-1,b=-2,c=0（歐拉數，1/2是人為加上去的）②

П2

=ρabbccμ

M0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bLc(ML–1T–1)

第13頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四[例B5.2.1]粗糙管中粘性流動的壓降：量綱分析一般步驟

(4-3)解得：a=b=c=-1

(雷諾數)③

П3=ρaVbdcεM0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bLcL

解得：a=b=0，

c=-1

第14頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四[例B5.2.1]粗糙管中粘性流動的壓降：量綱分析一般步驟(4-4)

（相對粗糙度）

④

П4=ρaVbdcl

(同上)

（幾何比數）

4．列П數方程即或第15頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四不可壓縮流體在重力作用下從三角堰中定常泄流，求泄流量的表達式。[例B5.2.2]三角堰泄流量：量綱分析解與解析解比較(3-1)2．選擇基本量：ρ、g、h

3．列П表達式求解П數解：1．列舉物理量。Q,ρ，g，h

，

共5個①

M0L0T0=(ML–3)a(LT–2)bLc(L3T–1)

第16頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四[例B5.2.2]三角堰泄流量：量綱分析解與解析解比較(3-2)解得：a=0,b=-1/2,c=-5/24．列П數方程П1=f(П2)

②（弧度，無量綱）第17頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四[例B5.2.2]三角堰泄流量：量綱分析解與解析解比較(3-3)或討論：①結果表明Q與ρ無關，與h成5/2次方關系。與例B4.3.1B中的解析式一致，解析式為②對一孔口角已確定的三角堰，(c)式已明確地表達了Q與h的理論關系，在這里量綱分析結果與解析解起同樣的作用。

由實驗確定(c)

第18頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四B5.3流動相似與相似準則幾何相似同類現象相似現象B5.3.1流動相似性流動相似形狀相似尺度成比例遵循同一方程物理量成比例尺度成比例時間成比例速度成比例力成比例幾何相似時間相似運動相似動力相似B5.3流動相似與相似準則第19頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四B5.3.2相似準則矩形相似稱為無量綱邊長，h為特征長度。的數值代表所有相似矩形的特征（長寬比），稱為相似準則數。數相等的矩形相似。B5.3.2相似準則(2-1)第20頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四B5.3.2相似準則(2-2)流動相似當F為粘性力，

為粘性流動動力相似準則數以慣性力為特征力①幾何相似準則數：以b

為特征長度②

運動相似準則數：以

為特征速度②

動力相似準則數：當F為重力，

為重力流動動力相似準則數第21頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四B5.4相似準則數的確定量綱分析法對不可壓縮粘性流體的流動：ρ，V，l，μ，g，Δp，ω

雷諾數

弗勞德數

歐拉數

斯特哈爾數優點：適用未知物理方程的流動。缺點：選準物理量較難，物理意義不明確。B5.4相似準則數的確定(7-1)第22頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四方程分析法引入特征物理量，將各類物理量無量綱化后代入方程，在無量綱化的方程中，由特征物理量組成的無量綱數即相似準則數。以N-S方程x

方向的投影式為例引入特征速度V，特征長度l，特征壓強p0，特征質量力g，特征時間1/ω

(B5.4.2)B5.4相似準則數的確定(7-2)第23頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四代入

(B5.4.2)

無量綱系數為Sr，Fr－2，Eu和

Re－1

數，分別代表了各種力與遷移慣性力的量級比值

B5.4相似準則數的確定(7-3)第24頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四優點：導出的相似準則數物理意義明確；缺點：不能用于未知物理方程的流動。無量綱方程既適用于模型也適用于原型。B5.4相似準則數的確定(7-4)第25頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四物理法則分析法

根據物理法則或物理定律用特征物理量表示各種力的量級，用這些力的量級比值構成相似準則數。與流體元尺度相應的特征物理量

l與流體元速度相應的特征速度

V與流體元質量相應的特征質量

與流體元粘性相應的粘度

與流體元壓強相應的壓強差

與流體元不定常運動相應的特征角速度B5.4相似準則數的確定(7-5)第26頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四遷移慣性力粘性力重力B5.4相似準則數的確定(7-6)第27頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四遷移慣性力壓差力不定常慣性力優點：導出的相似準則數物理意義明確；缺點：當無法判定控制流動的物理定律時不能運用。適用于未知物理方程的流動。B5.4相似準則數的確定(7-7)第28頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四氣體高速運動時壓縮性可用體積彈性模量K表示；在毛細管液面上的表面張力用表面張力σ表示。[例B5.4.1]用物理法則確定Ma數和We數(2-1)馬赫數Ma定義為試用物理法則法確定（1）馬赫數Ma（2）韋伯數We。壓縮力＝解：因

按物理法則法

第29頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四[例B5.4.1]用物理法則確定Ma數和We數(2-2)表面張力=。韋伯數定義為第30頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四B5.5常用的相似準則數1.Re

數(雷諾數)

低雷諾數粘性流動平板邊界層外流速度距前緣距離鈍體繞流

來流速度截面寬度圓管流動

平均流速管直徑

V

l區分管內粘性流動層流與湍流態邊界層外無粘流邊界層內以

為界區分層流與湍流態B5.5常用的相似準則數(7-1)第31頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四2.Fr

數(弗勞德數)明渠流

平均流速水深水面船舶

船舶速度船長

V

l

Fr

數是描述具有自由液面的液體流動時最重要的無量綱參數。如水面船舶的運動和明渠流中的水流。B5.5常用的相似準則數(7-2)第32頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四3.Eu

數(歐拉數)p可以是某一點的特征壓強，也可以是兩點的壓強差；V為特征速度，ρ為流體密度。在描述壓強差時，Eu數常稱為壓強系數當在液體流動中局部壓強低于當地蒸汽壓強

pv

時，Eu

數又稱為空泡數或空蝕系數

B5.5常用的相似準則數(7-3)第33頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四4．Sr數（斯特哈爾數）

l為特征長度，V為特征速度，ω

為脈動圓頻率。

Wo數（沃默斯利數）v為流體的運動粘度，Wo

數也稱為頻率參數，表示不定常慣性力與粘性力之量級比,用于描述粘性流體脈動流特征。

B5.5常用的相似準則數(7-4)第34頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四5．Ma數（馬赫數）

Ma=V/c

V

為特征速度，c為當地聲速。

Ma

數表示了慣性力與壓縮力之量級比，主要用于高速氣流，當0.3<Ma<1時氣體的速度小于聲速（亞聲速），Ma=1時氣體速度等于聲速（跨聲速），Ma>1時氣體速度大于聲速(超聲速）。

6．We

數（韋伯數）

σ為液體的表面張力。

B5.5常用的相似準則數(7-5)第35頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四7．Ne

數（牛頓數）

F為外力，Ne

數表示外力與流體慣性力之量級比，用于描述運動物體在流體中產生的阻力、升力、力矩和（動力機械的）功率等等影響。當F

為阻力FD時，Ne

數稱為阻力系數

We數表示慣性力與表面張力之量級比，研究氣液，液液及液固交界面上的表面張力作用。

B5.5常用的相似準則數(7-6)第36頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四描述力矩作用M

時，變為力矩系數

D

為動力機械旋轉部件的直徑，n

為轉速。

當F為升力FL

時，Ne

數稱為升力系數

B5.5常用的相似準則數(7-7)描述動力機械的功率

時，變為動力系數

第37頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四什么是模型實驗？

B5.6模型實驗與相似原理B5.6.1模型實驗

模型實驗通常指用簡化的可控制的方法再現實際發生的物理現象的實驗。實際發生的現象被稱為原型現象。模型實驗的側重點是再現流動現象的物理本質。只有保證模型實驗和原型中流動現象的物理本質相同，模型實驗才是有價值的。2．為什么要進行模型實驗？

直接對原型做實驗既不經濟又不方便

，在生產設計過程中也需要模型實驗

。B5.6.1模型實驗(2-1)第38頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四B5.6.1模型實驗(2-2)

并不是所有的流動現象都需要做模型實驗。能做理論分析或數值模擬的流動現象都不必做大量的模擬實驗。

并不是所有的流動現象都能做模型實驗。只有對其流動現象有充分的認識，并了解支配其現象的主要物理法則，但還不能對其作理論分析或數值模擬的原型最適合做模型實驗。

B5.6.2相似原理

Π定理指出，描述原型流動現象的方程可化為若干個獨立的Π數的方程Π1=f(Π2,Π3,……Πn

)也適用于相似的模型現象（腳標m）

Π1m=f(Π2m,Π3m,……Πnm

)第39頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四B5.6.2相似原理(2-2)這就是模型實驗的相似原理.(B5.6.3)式稱為相似條件，(B5.6.4)式稱為相似結果。

在相似條件中找出支配流動現象的主要條件，該條件中的Π數是由支配流動現象的主要物理法則導出的相似準則數，稱為主相似準則數，或簡稱為主Π數。在幾何相似的條件下，保證模型和原型現象中的主Π數相等，就能保證模型和原型現象相似，并使除主Π數外的其他相關Π數也相等。

當

Π2m=Π2，Π3m=Π3，……，Πnm=Πn

(B5.6.3)

Π1=Π1m

(B5.6.4)得第40頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四一塊長×寬=l×h的光滑矩形板，迎面在粘度為μ的流體中以速度V作勻速運動，如圖示。用按一定比例縮小的模型作模型實驗，并測量其運動阻力FDm。[例B5.6.2]矩形板繞流阻力：相似原理(3-1)試討論模型與原型相似的條件和結果。解：設矩形板繞流阻力FD=f(ρ,μ,V,l,h)以ρ，V，h為基本量，Π數方程為式中

為主Π數

.(a)

式既適用于原型也適用于模型，在模型中(a)第41頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四根據相似原理，為保證模型和原型的流動相似，必須滿足相似條件

[例B5.6.2]矩形板繞流阻力：相似原理(3-2)其中(d)式稱為幾何相似條件，當比例尺確定后，矩形的長和寬按比例縮小。(c)式稱為動力相似條件，當選擇實驗流體的密度和粘度分別為ρm

和μm

后，由(c)式確定速度條件Vm

：

(c)和(d)(e)第42頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四在模型實驗中測得模型的阻力為FDm

，由(f)式計算原型的阻力為[例