靜電平衡和靜電場邊值問題第1頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四導體靜電平衡條件溫州大學物理與電子信息學院第2頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四導體靜電平衡條件

（1）導體的剛放入電場（2）導體中的電子作定向運動（3）導體中的電子無定向運動靜電平衡：導體上任何部分都沒有電荷定向運動的現象．

導體靜電平衡條件溫州大學物理與電子信息學院第3頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四導體靜電平衡條件溫州大學物理與電子信息學院第4頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四導體靜電平衡條件：1）導體內部任何一點的場強等于0。2）導體表面任何一點的場強都垂直表面。反證法：設導體內部某點E0，則該處有此力將驅動電子運動導體未達靜電平衡。同理可證2）例如：在均勻場放入一導體的情況導體靜電平衡條件溫州大學物理與電子信息學院第5頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四靜電平衡條件小結:電場表述（1）導體內部場強處處為零；電勢表述（1）導體是等勢體；（2）導體表面附近的場強方向處處與它的表面垂直．（2）導體表面是等勢面．導體靜電平衡條件溫州大學物理與電子信息學院問題:電勢表述如何證明？第6頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四凈電荷分布在導體表面，導體內處處無凈電荷。導體內任取高斯面++++++++++++++++S實心導體證：導體上的電荷分布溫州大學物理與電子信息學院第7頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四

空腔導體

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腔內無帶電體時：凈電荷分布在導體外表面。導體內表面處處無凈電荷。在體內取一高斯面S，由高斯定理：可知：內表面電荷代數和為零。證明：已經證明導體實體部分處處無凈電荷。現只需證明導體空腔的內表面上處處無凈電荷。若內表面上有正負兩種電荷，則：必有電力線由正電荷指向負電荷，與導體的靜電平衡條件相矛盾。導體上的電荷分布溫州大學物理與電子信息學院第8頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四腔體內表面所帶的電量和腔內帶電體所帶的電量等量異號，腔體外表面所帶的電量由電荷守恒定律決定。腔內有帶電體：思考：如何證明這個結論？q2++++++++++++q1+qq+12q1++++++++++++++++導體上的電荷分布溫州大學物理與電子信息學院第9頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四導體表面附近場強證:

表面附近作圓柱形高斯面，===

一半在內，一半在外。其中：是導體表面的電荷面密度導體上的電荷分布溫州大學物理與電子信息學院第10頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四導線即：用導線連接兩導體球，則必有：導體表面的的電荷面密度與導體表面的曲率半徑有關：曲率半徑大處電荷密度低；即：表面上愈尖銳處電荷密度越大。導體表面的電荷分布定性的證明：所以才有尖端放電現象。避雷針即利用尖端放電原理。導體上的電荷分布溫州大學物理與電子信息學院第11頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四導體上的電荷分布溫州大學物理與電子信息學院第12頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四靜電屏蔽以靜電平衡為前提空腔內有帶電體的導體殼設導體帶電荷Q，空腔內有一帶電體+q，則導體殼內表面所帶電荷與腔內電荷的代數和為0。證明：在導體殼內作一高斯面S由高斯定理：得證由電荷守恒：+qQS+q導體上的電荷分布溫州大學物理與電子信息學院第13頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四討論+qQ+qQ+qQS+q1o腔內+q所處位置不同，對內外表面電荷分布及電場分布的影響。2o若將腔內帶電體與導體殼連接，會出現什么情況？腔內無電荷分布：E內=0屏蔽外場3o若將導體殼接地，又會出現什么情況？屏蔽內場導體殼外：E外=0思考：空腔內如果沒電荷呢?導體上的電荷分布溫州大學物理與電子信息學院第14頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四例題:半徑為R的金屬球與地相連接，在與球心相距d=2R處有一點電荷q(>0)，問球上的感應電荷q'=?解：利用金屬球是等位體球體上處處電位:球心處：Uo=0U=0q'=q？導體上的電荷分布溫州大學物理與電子信息學院思考：如果不是導體球，而是其他形狀的導體呢?第15頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四例題:

一金屬平板，面積為S帶電Q，在其旁放置第二塊同面積的不帶電金屬板。求(1)靜電平衡時，電荷分布及電場分布。(2)若第二塊板接地？忽略邊緣效應。.P解：(1)設四個面上電荷面度為1234則有：如圖取高斯柱面可得：導體內任意一點P，其電場E=0聯立求解可得：導體上的電荷分布溫州大學物理與電子信息學院第16頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四按電場疊加原理可求得：(2)第二板接地則與大地構成一導體同理可得：聯立求解：.P導體上的電荷分布溫州大學物理與電子信息學院第17頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四靜電場唯一性定理溫州大學物理與電子信息學院問題提出給定導體系中各導體的電量或電勢以及各導體的形狀、相對位置（統稱邊界條件），求空間電場分布，即在一定邊界條件下求解泊松方程拉氏方程邊值問題定理表述邊界條件可將空間里電場的分布唯一地確定下來即給定邊界條件后，不可能存在不同的靜電場分布該定理對包括靜電屏蔽在內的許多靜電問題的正確解釋至關重要理論證明在電動力學中給出，p59給出物理上的論證第18頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四引理一極大極小定理證明在無電荷的空間里電勢不可能有極大值和極小值思考：閱讀教材，簡述證明過程。若所有導體的電勢為0,則導體外空間的電勢處處為0引理二思考：閱讀教材，簡述證明過程。若所有導體都不帶電,則各導體的電勢都相等引理三思考：閱讀教材，簡述證明過程。靜電場唯一性定理溫州大學物理與電子信息學院第19頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四在給定各帶電導體的幾何形狀、相對位置后，賦予兩組邊界條件：1：給定每個導體的電勢UⅠk（或總電量QⅠk）2：給定每個導體的電勢UⅡk（或總電量QⅡk)設UⅠ、UⅡ滿足上述兩條件，則它們的線性組合

U=aUⅠ+bUⅡ必滿足條件3:3:給定每個導體的電勢Uk=aUⅠk+bUⅡk

（或總電量Qk=QⅠkak+bQⅡk）特例：取UⅠk＝

UⅡk，則U=UⅠ－UⅡ(a=1,b=-1)滿足4：給定每個導體的電勢為0

疊加原理靜電場唯一性定理溫州大學物理與電子信息學院第20頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四給定每個導體電勢的情形定理證明靜電場唯一性定理溫州大學物理與電子信息學院給定每個導體上總電量的情形:第k個導體上的電量第21頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四唯一性定理表明：一旦找到某種電荷分布，既不違背導體平衡特性,又是物理實在,則這種電荷分布就是唯一可能的分布。

唯一性定理的應用溫州大學物理與電子信息學院靜電屏蔽的解釋第22頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四像電荷在一接地的無窮大平面導體前有一點電荷q求空間的電場分布和導體表面上的電荷分布基本思想：利用唯一性定理，邊界條件確定了，解是唯一的，可以尋找合理的試探解電像法唯一性定理的應用溫州大學物理與電子信息學院第23頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四解:第一步:尋找像電荷對稱性分析，確定像電荷位使球面上電勢＝0任取P點，利用疊加原理求出像電荷位置對所有都成立，即要求例題:真空中有一半徑為R的接地導體球，距球心為a(a>