熱傳導方程和定解條件演示文稿目前一頁\總數二十三頁\編于十六點優選熱傳導方程和定解條件目前二頁\總數二十三頁\編于十六點3熱的傳播按傅立葉（Fourier）實驗定律進行：物體在無窮小時段內流過一個無窮小面積的熱量與物體溫度沿曲面法線方向的方向導數成正比，而熱流方向與溫度升高的其中稱為物體在點處的熱傳導系數，為正值.當物體為均勻且各向同性時，為常數，為曲面沿熱流方向的法線.方向相反，即目前三頁\總數二十三頁\編于十六點4為了導出溫度所滿足的方程,在物體G內任取一閉曲面它所包圍的區域記作則從時刻到時刻經過曲面流入區域的熱量為其中表示對曲面的外法向導數.目前四頁\總數二十三頁\編于十六點5流入的熱量使區域內部的溫度發生變化,在時間間隔中物理溫度從變化到所需要的熱量為其中為物體的比熱,為物體的密度.如果所考察的物體內部沒有熱源,由于熱量守恒,目前五頁\總數二十三頁\編于十六點6先對進行變形利用奧-高(Gauss)公式設函數關于變量具有二階連續偏導數,關于變量具有一階連續偏導數,可化為目前六頁\總數二十三頁\編于十六點7而可化為因此由移項即得（利用牛頓-萊布尼茲公式）目前七頁\總數二十三頁\編于十六點8由于與區域都是任意取的,并且被積函數是連續的,于是得上式稱為非均勻的各向同性體的熱傳導方程.如果物體是均勻的,此時為常數,記則得齊次熱傳導方程目前八頁\總數二十三頁\編于十六點9如果所考察的物體內部有熱源(例如物體中通有電流,或有化學反應等情況),設熱源密度(單位時間內單位體積所產生的熱量)為則在時間間隔中區域內所產生的熱量為同樣由于熱量要平衡,目前九頁\總數二十三頁\編于十六點10其中非齊次熱傳導方程相對應的一維、二維熱傳導方程可類似寫出。目前十頁\總數二十三頁\編于十六點11二、定解條件初始條件：表示初始時刻物體內溫度的分布情況其中為已知函數。1、第一類邊界條件（狄利克雷Dirichlet）設所考察的物體G的邊界曲面為S，已知物體表面溫度函數為即目前十一頁\總數二十三頁\編于十六點122、第二類邊界條件（諾伊曼Neumann）

特別地，如果物體表面上各點的熱流量為0,絕熱性邊界條件已知物體表面上各點的熱流量也就是說在單位時間內流過單位面積的熱量是已知的，其中由傅里葉實驗定律可知是定義在邊界曲面S，且上的已知函數.則相應的邊界條件為目前十二頁\總數二十三頁\編于十六點131.3拉普拉斯方程與定解條件1.三維拉普拉斯(Laplace)方程(1)凡具有二階連續偏導數并滿足方程(1)的連續函數為調和函數.(調和方程)方程(1)通常表示成或拉普拉斯方程描述的是穩定狀態下物理量的分布規律.目前十三頁\總數二十三頁\編于十六點142.泊松方程(非齊次的拉普拉斯方程)(2)方程(2)通常表示成或3.拉普拉斯方程的邊值問題第一邊值問題(狄氏問題)目前十四頁\總數二十三頁\編于十六點15在空間某一區域的邊界上給定了連續函數要求函數在閉區域上連續且在內調和,在邊界上與給定的函數重合,即第二邊值問題(諾伊曼問題)在空間某一區域的邊界上給定了連續函數要求函數在閉區域上連續且在內調和,在邊界上法向導數存在,且有其中n是外法線方向.目前十五頁\總數二十三頁\編于十六點161.4基本概念與基本知識1.古典解:如果一個函數具有某偏微分方程中所需要的各階連續偏導數,且滿足該方程.2.自由項:偏微分方程中不含有未知函數及其各階偏導數的項.例如:齊次偏微分方程(自由項為0)非齊次偏微分方程(自由項不為0)目前十六頁\總數二十三頁\編于十六點173.疊加原理考察二階線性偏微分方程其中都是某區域上的已知函數.疊加原理設是方程(1)中第i個方程的解,(1)目前十七頁\總數二十三頁\編于十六點18如果級數(2)收斂,其中為任意常數,并且它還能夠逐項微分兩次,則級數(2)是下方程的解特別地,當方程(1)中的自由項時,則得相應的齊次方程為若是方程(3)的解,則級數(2)也是方程(3)(3)的解.目前十八頁\總數二十三頁\編于十六點三角函數系在上正交。4.傅里葉(Fourier)級數目前十九頁\總數二十三頁\編于十六點20補充：三角函數積化和差公式目前二十頁\總數二十三頁\編于十六點214.傅里葉(Fourier)級數設周期為的函數可展開成傅里葉級數,則(4)其中傅里葉系數滿足(5)目前二十一頁\總數二十三頁\編于十六點22當為奇函數時當為偶函數時(6)(7)目前二十二頁\總數二十三頁\編于十六點234.兩個自變量的二階微分方程的分類一般的二階線性偏微分方程具