2022-2023高二下數學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用數學歸納法證明“當為正奇數時，能被整除”，第二步歸納假設應該寫成（）A．假設當時，能被整除B．假設當時，能被整除C．假設當時，能被整除D．假設當時，能被整除2．（）A． B． C． D．3．設，則的虛部是（）A． B． C． D．4．設，向量，若，則等于()A． B． C．－4 D．45．在的二項展開式中，二項式系數的最大值為，含項的系數為，則（）A． B． C． D．6．已知空間向量OA向量OP=xOA+yOB+zOCA．12 B．1 C．327．隨機變量的概率分布為，其中是常數，則（）A． B． C． D．8．設，下列不等式中正確的是（）①②③④A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④9．已知定義域為的函數滿足，，當時，則（）A． B．3 C． D．410．已知，且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．11．已知數列，如果，，，……，，……，是首項為1，公比為的等比數列，則=A． B． C． D．12．袋中共有10個除了顏色外完全相同的球，其中有6個白球，4個紅球，從袋中任取2個球，則所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若曲線在點處的切線方程為，則的值為________．14．函數的最小正周期是__________．15．已知雙曲線的左頂點和右焦點到一條漸近線的距離之比為1:2，則該雙曲線的漸近線方程為_______.16．已知直線與雙曲線的一條漸近線平行，則這兩條平行直線之間的距離是．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，．（）當時，證明：為偶函數；（）若在上單調遞增，求實數的取值范圍；（）若，求實數的取值范圍，使在上恒成立．18．（12分）在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參數），它與曲線C：（y－2）2－x2＝1交于A、B兩點．（1）求|AB|的長；（2）在以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設點P的極坐標為，求點P到線段AB中點M的距離．19．（12分）設是拋物線的焦點，是拋物線上三個不同的動點，直線過點，，直線與交于點.記點的縱坐標分別為．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）證明：點的橫坐標為定值．20．（12分）已知直線l的極坐標方程是，以極點為原點，極軸為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，曲線C的參數方程為（是參數）.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；（2）求曲線C上的點到直線l的距離的最小值.21．（12分）已知函數，k∈R．(I)求函數f(x)的單調區間；(II)當k>0時，若函數f(x)在區間(1，2)內單調遞減，求k的取值范圍．22．（10分）某隧道設計為雙向四車道，車道總寬22米。要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個桶圓形狀（如圖）。（1）若最大拱高為6米，則隧道設計的拱寬是多少米？（2）若最大拱高不小于6米，則應如何設計拱高和拱寬，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最小，并求出最小土方量？（已知：橢圓的面積公式為，本題結果拱高和拱寬精確到0.01米，土方量精確到1米3）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】注意n為正奇數，觀察第一步取到1，即可推出第二步的假設．解：根據數學歸納法的證明步驟，注意n為奇數，所以第二步歸納假設應寫成：假設n=2k-1（k∈N*）正確，再推n=2k+1正確；故選D．本題是基礎題，不僅注意第二步的假設，還要使n=2k-1能取到1，是解好本題的關鍵．2、C【解析】

直接利用復數代數形式的乘除運算化簡，即可得到答案．【詳解】由，故選C．【點睛】本題主要考查了復數代數形式的乘除運算，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．3、B【解析】

直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得，進而可得的虛部.【詳解】∵，∴，∴的虛部是，故選B．【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，共軛復數的概念，屬于基礎題．4、D【解析】

直接利用向量垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】因為，且，所以，化為，解得，故選D.【點睛】利用向量的位置關系求參數是命題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.5、B【解析】

由題意，先寫出二項展開式的通項，由此得出二項式系數的最大值，以及含項的系數，進而可求出結果.【詳解】因為的二項展開式的通項為：，因此二項式系數的最大值為：，令得，所以，含項的系數為，因此.故選：B.【點睛】本題主要考查求二項式系數的最大值，以及求指定項的系數，熟記二項式定理即可，屬于常考題型.6、A【解析】

由題求得OP的坐標，求得OP，結合4x+2y+z=4可得答案.【詳解】=x+y,y,z，OP利用柯西不等式可得42∴OP故選A.【點睛】本題考查空間向量的線性坐標運算及空間向量向量模的求法，屬基礎題.7、B【解析】分析：由已知得可得a值，在求出期望算方差即可.詳解：因為隨機變量的概率分布為，故得，故E（X）=,又，而,故=，選B點睛：考查分布列的性質和期望、方差的計算，熟悉公式即可，屬于基礎題.8、C【解析】分析：利用絕對值三角不等式等逐一判斷.詳解：因為ab>0,所以a,b同號.對于①，由絕對值三角不等式得，所以①是正確的；對于②，當a,b同號時，，所以②是錯誤的；對于③，假設a=3,b=2,所以③是錯誤的；對于④，由絕對值三角不等式得，所以④是正確的.故答案為：C.點睛：（1）本題主要考查絕對值不等式，意在考查學生對該知道掌握水平和分析推理能力.(2)對于類似這樣的題目，方法要靈活，有的可以舉反例，有的可以直接證明判斷.9、D【解析】

根據奇偶性和可知關于軸和對稱，由對稱性和周期性關系可確定周期為，進而將所求函數值化為，代入可求得結果.【詳解】，為偶函數，圖象關于軸對稱；，關于直線對稱；是周期為的周期函數，.故選：.【點睛】本題考查利用函數的性質求解函數值的問題，涉及到函數奇偶性、對稱性和周期性的應用；關鍵是能夠熟練掌握對稱性和周期性的關系，準確求得函數的周期性.10、D【解析】

由三個正數的和為21，可知三個正數的平均數為7，因此可以用反證法來求出的取值范圍.【詳解】由三個正數的和為21，可知三個正數的平均數為7，假設，因為，則有，這與，相矛盾，故假設不成立，即，故本題選D.解法二:因為，所以【點睛】本題考查了反證法的應用，正確運用反證法的過程是解題的關鍵.11、A【解析】分析：累加法求解。詳解：，，解得點睛：形如的模型，求通項公式，用累加法。12、C【解析】

從袋中任取2個球，基本事件總數n．所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球包含的基本事件個數m，利用古典概型公式可得所求．【詳解】袋中共有10個除了顏色外完全相同的球，其中有6個白球，4個紅球，從袋中任取2個球，基本事件總數n1．所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球包含的基本事件個數m24，∴所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為p．故選C．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】試題分析：，又在點處的切線方程是，．考點：三角函數化簡求值．14、1【解析】

直接利用余弦函數的周期公式求解即可．【詳解】函數的最小正周期是：1．故答案為1．【點睛】本題考查三角函數的周期的求法，是基本知識的考查．15、【解析】

利用已知條件求出雙曲線的左頂點和右焦點坐標，寫出雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式以及題的條件，列出方程得到的關系，然后求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】雙曲線的左頂點，右焦點，漸近線方程為，根據題意可得，整理得，因為，所以，所以，所以其漸近線方程為：，故答案是：.【點睛】該題考查的是有關雙曲線的漸近線的問題，涉及到的知識點有雙曲線的性質，點到直線的距離，屬于簡單題目.16、【解析】因為直線ax+y+2=0與雙曲線的一條漸近線y=x平行，所以-a=2，(或者-a=-2),則a=-2,(a=2,)假設a=2,則利用平行線間距離公式解得為三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（）證明見解析；（）；（）.【解析】試題分析：（1）當時，的定義域關于原點對稱，而，說明為偶函數；（2）在上任取、，且，則恒成立，等價于恒成立，可求得的取值范圍；（3）先證明不等式恒成立，等價于，即恒成立，利用配方法求得的最大值，即可得結果.試題解析：（）當時，，定義域關于原點對稱，而，說明為偶函數．（）在上任取、，且，則，因為，函數為增函數，得，，而在上調遞增，得，，于是必須恒成立，即對任意的恒成立，∴．（）由（）、（）知函數在上遞減，在上遞增，其最小值，且，設，則，，于是不等式恒成立，等價于，即恒成立，而，僅當，即時取最大值，故．18、（1）；（2）【解析】試題分析：（1）直線的參數方程是標準參數方程，因此可把直線參數方程代入曲線的方程，由利用韋達定理可得；（2）把點極坐標化為直角坐標，知為直線參數方程的定點，因此利用參數的幾何意義可得．試題解析：（1）把直線的參數方程對應的坐標代入曲線方程并化簡得7t2+60t﹣125=0設A，B對應的參數分別為t1，t2，則．∴．（2）由P的極坐標為，可得，．∴點P在平面直角坐標系下的坐標為（﹣2，2），根據中點坐標的性質可得AB中點M對應的參數為．∴由t的幾何意義可得點P到M的距離為．點睛：過點，傾斜角為的直線的標準參數方程為參數），其中直線上任一點參數的參數具有幾何意義：，且方向向上時，為正，方向向下時，為負．19、(1)證明見解析.(2)證明見解析.【解析】分析：(Ⅰ)因為，所以，所以，所以(Ⅱ)因為直線過點，所以，由(Ⅰ)得，所以,因為即設點坐標為，又因為直線交于點，所以消去得，整理，即可證明點的橫坐標為定值．詳解：(Ⅰ)因為，所以，所以，所以(Ⅱ)因為直線過點，所以，由(Ⅰ)得，所以,因為即設點坐標為，又因為直線交于點，所以所以消去得，所以，所以，因為，所以，即，所以點的橫坐標為定值點睛：本題考查拋物線的性質，拋物線與直線的位置關系，屬中檔題.20、(1),(2)0.【解析】

(1)展開兩角和的正弦,結合極坐標與直角坐標的互化公式可得直線的普通方程,把（是參數）消去參數，可得曲線的直角坐標方程;(2)設曲線上的點寫出點到直線的距離公式,利用三角函數求最值.【詳解】由得直線的普通方程為由（是參數）,消去參數,可得曲線的直角坐標方程為.(2)設曲線上的點,則到直線的距離,當時,即時..【點睛】本題考查極坐標方程,參數方程和普通方程的互化,考查參數方程在解決點與直線距離最值中的應用,難度一般.21、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】分析：（Ⅰ）先求出函數的定義域，求導數后根據的取值通過分類討論求單調區間即可．（Ⅱ）將問題轉化為在(1，2)上恒成立可得所求．詳解：（I）函數的定義域為．由題意得，（1）當時，令，解得；令，解得．（2）當時，①當，即時，令，解得或；令，解得．②當時，恒成立，函數在上為單調遞增函數；③當，即時，令，解得或；令，解得．綜上所述，當時，函數的單調遞增區間為（0,1），單調遞減區間為；當時，函數的單調遞增區間為（0,1），，單調遞減區間為；當時，函數的單調遞增區間為；當時，函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為．（II）因為函數在（1，2）內單調遞減，所以在（1,2）上恒成立．又因為，則，所以在（1,2）上恒成立，即在（1,2）上恒成立，因為，所以，又，所以．故k的取值范圍為．點睛：解題時注意導函數的符號和函數單調性間的關系．特別注意：若函數在某一區間上單調，實際上就是在該區間上≥0(或≤0)(在該區間的任意子區間內都不恒等于0)恒成立，然后分離參數，轉化為求函數的最值問題，從而獲得參數的取值范圍．22、(1)33.26；(2)拱高約為6.36米、拱寬約為31.11米時，土方工程量最小．最小土方量為立方米.【解析】

（1）根據題意，建立坐標系，可得的坐標并設出橢圓的方程，將與點坐標代入