(一)數(shù)學(xué)歸納法1.數(shù)學(xué)歸納法的基本原理、步驟和適用范圍數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法，其中遞推思想起主導(dǎo)作用.形象地說，多米諾骨牌游戲是遞推思想的一個(gè)模型，數(shù)學(xué)歸納法的基本原理相當(dāng)于有無跟多張牌的多米諾骨牌游戲，其核心是歸納遞推.教科書借助了多米諾骨牌游戲這個(gè)模型來直觀地類比抽象的數(shù)學(xué)歸納法，教學(xué)中應(yīng)注意運(yùn)用模型的作用.數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟有兩步：(l)奠基；(2)假設(shè)與遞推.兩步缺一不可.教學(xué)中可以結(jié)合例子和模型分別說明這兩步各自的作用，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到要完成它們的理由.自然數(shù)公理(皮亞諾公理)中的“歸納公理”(參見拓展資源)是數(shù)學(xué)歸納法的理論根據(jù)，數(shù)學(xué)歸納法的兩步證明恰是驗(yàn)證這條公理所說的兩個(gè)性質(zhì).設(shè)P是一個(gè)有關(guān)正整數(shù)的命題，我們把使P成立的所有正整數(shù)組成的集合記為，如果要證明命題P對(duì)于所有正整數(shù)都成立，即=，則根據(jù)歸納公理，只要首先證明1∈；其次證明若∈則+1∈，這樣就可以完成證明.數(shù)學(xué)歸納法一般被使用于證明某些涉及正整數(shù)的命題，例如教科書在本講中所舉的各例.這里的是任意的正整數(shù)，它可取無限多值教學(xué)中可以結(jié)合例題使學(xué)生了解數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍.但是，并不能簡(jiǎn)單地說所有涉及正整數(shù)的命題都可用數(shù)學(xué)歸納法證明，例如用數(shù)學(xué)歸納法證明(∈)的單調(diào)性就難以實(shí)現(xiàn).一般說來，從＝到＝+1時(shí)，如果問題中存在可利用的遞推關(guān)系，則數(shù)學(xué)歸納法有用武之地，否則使用數(shù)學(xué)歸納法就有困難.教科書安排了“思考”問題，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合例子來認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，這有助于幫助學(xué)生從整體上認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法對(duì)數(shù)學(xué)歸納法有一個(gè)正確的整體認(rèn)識(shí)，即從整體上認(rèn)識(shí)到它的基本思想和使用它要先后完成兩個(gè)基本步驟，對(duì)于提高使用數(shù)學(xué)歸納法的能力很重要.2.教學(xué)中要注意的問題教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)兩步缺一不可是非常重要的.學(xué)生初學(xué)數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，往往感到證明中的第二步(假設(shè)與遞推)比較難，因而也較為重視，但是對(duì)于證明中的第一步(奠基)往往不夠重視，有時(shí)甚至忽略它為使學(xué)生對(duì)此能有所認(rèn)識(shí)，教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)奠基的作用，說明沒有它的證明就如同在沙灘上建房子，是不可靠的.為使學(xué)生加深印象，教師可以結(jié)合反例進(jìn)行說明.例如，“奇數(shù)是2的倍數(shù)”顯然是個(gè)假命題，但是如果沒有第一步奠基，直接假設(shè)如果奇數(shù)是2的倍數(shù)(這是一個(gè)不合實(shí)際的假設(shè))，那么就能推出后一個(gè)奇數(shù)+2也是2的倍數(shù).教學(xué)中應(yīng)提醒學(xué)生：在用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí)，第一步從等于幾開始，要根據(jù)具體問題而定.一般地，如果要證明的命題是對(duì)全體正整數(shù)都成立的，則要從＝1證起(教科書安排了“思考”，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立地思考這樣的問題)；如果要證明的命題是對(duì)不小于的所有正整數(shù)都成立，則要從＝證起；如果要證明的命題是對(duì)全體自然數(shù)(包括0)都成立的，則要從＝0證起.教學(xué)中可以結(jié)合不同類型的問題對(duì)這些加以說明.證明中的第二步(假設(shè)與遞推)的作用是傳遞，有了這種向后傳遞的關(guān)系，就能從一個(gè)起點(diǎn)(例如＝1)不斷發(fā)展，以至無窮.如果沒有它，即使前面驗(yàn)證過當(dāng)?shù)扔谠S多正整數(shù)時(shí)命題都成立，也不能保證對(duì)于后面的全體正整數(shù)命題都成立.教學(xué)中，也可以通過具體例子對(duì)此進(jìn)行說明.例如，“++11是質(zhì)數(shù)”這個(gè)命題對(duì)于＝1，2，3，…，9都成立，但是對(duì)于=10卻不成立，+10+11=121=是一個(gè)合數(shù).教學(xué)中應(yīng)綜合兩個(gè)步驟的作用，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)歸納法的兩步是互相配合的，兩步缺一不可.3.對(duì)例題的說明教科書在這里安排了兩個(gè)例題，意圖是使學(xué)生通過它們進(jìn)一步熟悉應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的過程及格式.例1是關(guān)于整除的問題，教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到：(1)一個(gè)數(shù)能被6整除，等價(jià)于這個(gè)數(shù)既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)；(2)如果一個(gè)和數(shù)中的每個(gè)加數(shù)都能被數(shù)整除，那么這個(gè)和數(shù)也能被整除.例2是一個(gè)幾何中的組合問題，需要先從有限情形中歸納(是不完全歸納)出一個(gè)猜想，然后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.教學(xué)中可以讓學(xué)生關(guān)注兩個(gè)問題：(1)第一步證明應(yīng)從等于幾開始，為什么?(2)第二步證明中從=時(shí)到=+1時(shí)是怎樣過渡的?對(duì)=時(shí)的假設(shè)在證明中起了什么作用？通過這兩個(gè)例題的教學(xué)，應(yīng)讓學(xué)生體會(huì)到：數(shù)學(xué)歸納法通過兩步證明，代替了客觀上