一元二次方程一、情境創設1．小區在每兩幢樓之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，則綠地的長和寬各為多少？2．學校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預計到明年年底增加到7．2萬冊，求這兩年的年平均增長率？3．一個正方形的面積的2倍等于15，這個正方形的邊長是多少？4．一個數比另一個數大3，且兩個數之積為10，求這兩個數．二、探索活動上述問題可用方程解決：問題1中可設寬為x米，則可列方程：x（x+10）=900問題2中可設這兩年的平均增長率為x，則可列方程：5（1＋x）2=7．2問題3中可設這個正方形的連長為x，則可列方程：2x2=15問題4中可設較小的一個數為x，則可列方程：x（x＋3）=10觀察上面列出的4個方程，它們有哪些相同點？（從方程的概念看）歸納：像上述方程這樣，只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程.注：符合一元二次方程即符合三個條件：①一個未知數；②未知數的最高次數為2；③整式方程任何一個關于x的一元二次方程都可以化成下面的形式：ax2＋bx＋c=0（a．b．c是常數，且a≠0）這種形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2．bx．c分別叫做二次項．一次項和常數項，a．b分別叫二次項系數和一次項系數.三、例題教學例1根據題意，列出方程：（1）某學校圖書館去年年底有圖書1萬冊，預計到明年年底增加到1．44萬冊.求這兩年圖書的年平均增長率.（2）一塊面積為600平方厘米的長方形紙片，把它的一邊剪短10厘米，恰好得到一個正方形.求這個正方形的連長.例2判斷下列關于x的方程是否為一元二次方程：⑴2（x2－1）=3y⑵⑶（x－3）2=（x＋5）2⑷mx2＋3x－2=0⑸（a2＋1）x2＋（2a－1）x＋5―a=0例3把下列方程化成一般形式，并寫出它的二次項系數．一次項系數和常數項：⑴2（x2－1）=3x⑵3（x－3）2=（x＋2）2＋7四、課時作業：1．下列方程中，屬于一元二次方程的是（）．（A）x2－=1（B）x2+y=2（C）x2=2（D）x+5=（－7）22．方程3x2=－4x的一次項系數是（）．（A）3（B）－4（C）0（D）43．把一元二次方程（x+2）（x－3）=4化成一般形式，得（）．（A）x2+x－10=0（B）x2－x－6=4（C）x2－x－10=0（D）x2－x－6=04．一元二次方程3x2－x－2=0的一次項系數是________，常數項是_________．5．x=a是方程x2－6x+5=0的一個根，那么a2－6a=_________．6．根據題意列出方程：（1）已知兩個數的和為8，積為12，求這兩個數．如果設一個數為x，那么另一個數為________，根據題意可得方程為___________．（2）一個等腰直角三角形的斜邊為1，求腰長．如果設腰長為x，根據題意可得方程為______________．7．判斷下列各題括號內未知數的值是不是方程的解：x2+5x+4=0（x1=－1，x2=1，x3=－4）；8．根據題意，列出方程：有一面積為60m2的長方形，將它的一邊剪去5m，另一邊剪去2m，恰好變成正方形，試求正方形的邊長．9．當m滿足什么條件時，方程m（x2+x）=x2－（x+1）是關于x的一元二次方程？當m取何值時，方程m（x2+x）=x2－（x+1）是一元一次方程？10．把方程化成一般形式是．11．一元二次方程的二次項系數．一次項系數及常數之和為．12．關于的方程是一元二次方程，則的取值范圍是．13．已知的值為，則代數式的值為．14．下列關于的方程：①；②；③；④中，一元二次方程的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個15．若是關于的一元二次方程，則不等式的解集是（）A． B．C．且 D．16．關于的一元二次方程的一個根是，則的值為（）A． B． C．或 D．17．如下圖所示，相框長為10cm，寬為6cm，內有寬度相同的邊緣木板，里面用來夾相片的面積為32cm2，則相框的邊緣寬為多少厘米？我們可以這樣來解：（1）若設相框的邊緣寬為，可得方程（一般形式）；（2）分析并確定的取值范圍；（3）完成表格：（4）根據上表判斷相框的邊框寬是多少厘米？0123（1）中18．一元二次方程ax2+bx+c=0，若有一個根為﹣1，則a－b+c=，如果a+b+c=0，則有一根為19．無論a為何實數，下列關于的方程是一元二次方程的是（）A．(a2－1)x2+bx+c=0B．ax2+bx+c=0C．a2x2+bx+c=0D．(a2+1)x2+bx+c=020方程x2+x－x+1=0的一次項系數是（）A．B．－1C．－1D．x－x21．某型號的手機連續兩次降價，每個售價由原來的元降到了元，設平均每次降價的百分率為，則列出方程為_________________________________．22．如圖①，在一幅矩形地毯的四周鑲有寬度相同的花邊．如圖17②，地毯圖案長8米．寬6米，整個中央的矩形地毯的面積是40平方米．求花邊的寬。思考：若，求的值。課時作業：1．C2．D3．C4．－；－25．－56．（1）8－x；x（8－x）=12（2）x2+x2=17．方程x2－1=2xx－x2=06－3y2=0（x－2）（2x+3）=6一般形式x2－2x－1=0－x2+x=0－3y2+6=02x2－x－12=0二次項系數1－32一次項系數－210－1常數項－106－128．（1）x1=－1，x3=－4是原方程的解，x2=1不是原方程的解．（2）x1=3，x4=－1是原方程的解，x2=2，x3=1不是原方程的解．9．設正方形的邊長為xm，（x+5）（x+2）=6010．當m≠時，原方程是關于x的一元二次方程；當m=時，原方程是一元一次方程．11． 12． 13． 14． 15．716．A 17．C 18．B 19．C20．（1）；（2）；（3），，，；（4）1cm．21． D22．C23．D24．C25．(2k－3)x2+（3k－6）x+k+2=0,二次項系數2k－3，一次項系數3k－6，常數項k+2。26．27．(8－2x)(6－2x)=4028．（提示：在利用方程解有關代數式求值問題時,可用整體代入的方法求解,把變為x2－x=2代入代數式中求值．）課前預習1．C2．D2一元二次方程的解法（1）學習目標1．了解形如（x＋m）2=n（n≥0）的一元二次方程的解法——直接開平方法2．會用直接開平方法解一元二次方程學習過程：一．情境創設我們曾學習過平方根的意義及其性質，現在來回憶一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性質?如果一個數的平方等于a，那么這個數就叫做a的平方根。用式子表示：若x2=a，則x叫做a的平方根。平方根有下列性質：(1)一個正數有兩個平方根，這兩個平方根是互為相反數的；(2)零的平方根是零；(3)負數沒有平方根。如何求出適合等式x2=4的x的值呢?二．探索活動根據平方根的定義，由x2＝4可知，x就是4的平方根，因此x的值為2和－2即根據平方根的定義，得x2＝4x＝±2即此一元二次方程的解為：x1=2，x2=－2這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法。三．例題教學例1解下列方程：（1）x2＝2（2）4x2－1＝0分析：第1題直接用開平方法解；第2題可先將－1移項，再兩邊同時除以4化為x2＝a的形式，再用直接開平方法解之。例2解下列方程：⑴（x＋1）2=2⑵（x－1）2－4=0⑶12（3－x）2－3=0分析：第1小題中只要將（x＋1）看成是一個整體，就可以運用直接開平方法求解；第2小題先將－4移到方程的右邊，再同第1小題一樣地解；第3小題先將－3移到方程的右邊，再兩邊同除以12，再同第1小題一樣地去解即可。小結：如果一個一元二次方程具有（x＋m）2=n（n≥0）的形式，那么就可以用直接開平方法求解。（用直接開平方法解一元二次方程就是將一元二次方程的左邊化為一個完全平方式，右邊化為常數，且要養成檢驗的習慣）四．課堂練習1．用直接開平方法解下列方程①2x2-8=0②9x2-5=3③(x+6)2-9=0④3(x-1)2-6=0⑤x2-4x+4=5⑥9x2+6x+1=42．填空選擇：1）．方程(x-m)2=n有根的條件是2）．若(x-2)2=25則x=3）．若分式的值為0，則x的值是4）．若關于x的方程(x+3)2+a=0,有實數根，則a的取值范圍5）．解方程(x+m)2=n,正確的結論是（）A有兩個解x=B當n≥0時，有兩個解x=-mC當n≥0時，有兩個解x=D當n≤0時，無實數解6）．一元二次方程ax2-b=0(a≠0)的根是（）ABCDa．b異號時無實數根；a．b同號時根為3．解方程①②③x2+6x+9=8④3x2-5=0⑤(b≥0)⑥4．解答題：1）（改編2022江蘇南京）已知如圖所示的圖形的面積為24，根據圖中的條件，求x的值．2）（改編2022新疆）2022年國家扶貧開發工作重點縣農村居民人均純收入為2025元，2022年增長到4225元．求年平均增長率。2一元二次方程的解法（2）學習目標1．經歷探究將一元二次方程的一般（x＋m）2=n（n≥0）形式的過程，進一步理解配方法的意義2．會用配方法解二次項系數為1的一元二次方程，體會轉化的思想方法學習過程：一、情境創設我們已經學過了用直接開平方法解形如（x＋m）2=n（n≥0）的一元二次方程，那么如何解方程x2＋6x＋4=0呢?二、探索活動我們能否將方程x2＋6x＋4=0轉化為（x＋m）2=n的形式呢？先將常數項移到方程的右邊，得x2＋6x=－4即x2＋2·x·3=－4在方程的兩邊加上一次項系數6的一半的平方，即32后，得x2＋2·x·3＋32=－4＋32（x＋3）2=5解這個方程，得：x＋3=±所以x1=-3＋x2=―-3（注：可以多舉幾例，綜合得出“兩邊加上一次項系數一半的平方”的結論）由此可見，只要先把一個一元二次方程變形為（x＋m）2=n的形式（其中m．n都是常數），如果n≥0，再通過直接開平方法求出方程的解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法。三、例題教學例1將下列各進行配方：⑴＋8x＋_____＝（x＋_____）2⑵－5x＋_____＝（x－_____）2⑶－x＋_____＝（x－____）2⑷－6x＋_____＝（x－____）2分析：本題應用“方程兩同時加上一次項系數一半的平方”來配方。例2解下列方程：（1）x2－4x＋3=0（2）x2＋3x－1=0小結：用配方法解一元二次方程的一般步驟：1．把常數項移到方程右邊；2．在方程的兩邊各加上一次項系數的一半的平方，使左邊成為完全平方；3．利用直接開平方法解之。思考：為什么在配方過程中，方程的兩邊總是加上一次項系數一半的平方？四、課堂練習1．用適當的數填空：①．x2+6x+

=（x+

）2；②．x2－5x+

=（x－

）2；③．x2+x+

=（x+

）2；④．x2－9x+

=（x－

）22．將二次三項式x2-3x-5進行配方，其結果為，當x=時，它有最值，且為．3．已知4x2-ax+1可變為（2x-b）2的形式，則ab=_______．4．將一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式為_______，所以方程的根為_________．5．若x2+6x+m2是一個完全平方式，則m的值是（）A．3B．-3C．±3D．以上都不對6．用配方法將二次三項式a2-4a+5變形，結果是（）A．（a-2）2+1B．（a+2）2-1C．（a+2）2+1D．（a-2）2-17．把方程x2+3=4x配方，得（）A．（x-2）2=7B．（x+2）2=21C．（x-2）2=1D．（x+2）2=28．用配方法解方程x2+4x=10的根為（）A．2±B．-2±C．-2+D．2-9．不論x．y為什么實數，代數式x2+y2+2x-4y+7的值（）A．總不小于2B．總不小于7C．可為任何實數D．可能為負數10．用配方法解下列方程：（1）x2-5x=2．（2）x2+8x=9（3）x2+12x-15=0（4）x2-x-4=0（5）（6）（7）思考：．用配方法求解下列問題（1）求2x2-7x+2的最小值；（2）求-3x2+5x+1的最大值。2一元二次方程的解法（3）學習目標1．掌握用配方法解一元二次方程的基本步驟和方法2．會正確運用配方法解一元二次方程，進一步體會配方法是一種重要的數學方法學習過程：一、情境創設我們已經學過了用直接開平方法與配方法解一元二次方程，那么如何解方程呢?二、探索活動由于該方程不是（x＋m）2=n（n≥0）的形式，因此不能用直接開平方法解，而且也不符合上節課用配方法所解的方程的形式，但如果將方程兩邊同時除以二次項系數的話就和上節課所學的一樣了。即方程兩邊同時除以2，得：．再用上節課的知識解決即可。小結：對于二次項系數不為1的一元二次方程，我們可以先將兩邊同時除以二次項系數，再利用配方法求解。三、例題教學例1解下列方程：⑴3x2＋8x＋1=0⑵－3x2＋4x＋1=0分析：第1小題先將方程兩邊同時除以3，將二次項系數化為1，再用配方法解之；而第2小題的二次項系數是負數，同樣只需兩邊同除以二次項系數－3，再用配方法解之。小結：用配方法解一元二次方程的一般步驟：1．方程兩邊同時除以二次項系數；2．把常數項移到方程右邊；3．在方程的兩邊各加上一次項系數的一半的平方，使左邊成為完全平方；4．利用直接開平方法解之。四．課堂練習1．填空（1）（）（）．（2）（）＝（）．（3）（）＝（）．2．用配方法解方程：（1）（2）（3）（4）3．用適當的方法解方程（1）；（2）；（3）；（4）．4．關于的方程的根，．5．關于的方程的解為6．用配方法證明：（1）的值恒為正；（2）的值恒小于0．1．答案：（1）16，4（2），（3），2．（1），．（2），．（3），；（4），．3．解：（1），．．，．（2），．．．，．（3），．．．，．（4），．．．，．4．答案：，5．答案：，6．案：證明：（1），的值恒為正．（2），的值恒小于0．2一元二次方程的解法（4）學習目標1．體驗用配方法推導一元二次方程求根公式的過程，明確運用公式求根的前提條件是b2－4ac≥02．會用公式法解一元二次方程學習過程：一、情境創設1．用配方解一元二次方程的步驟是什么？2．用配方法結合直接開平方法解一元二次方程，計算比較麻煩，能否研究出一種更好的方法，迅速求得一元二次方程的實數根呢？3．如何解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）？二、探索活動能否用配方法把一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）轉化為呢？回顧用配方法解數字系數的一元二次方程的過程，讓學生分組討論交流，達成共識：因為，方程兩邊都除以，得移項，得配方，得即當，且時，大于等于零嗎？讓學生思考．分析，發表意見，得出結論：當時，因為，所以，從而到此，你能得出什么結論？讓學生討論．交流，從中得出結論，當時，一般形式的一元二次方程的根為，即。由以上研究的結果，得到了一元二次方程的求根公式：（）這個公式說明方程的根是由方程的系數．．所確定的，利用這個公式，我們可以由一元二次方程中系數．．的值，直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。思考：當時，方程有實數根嗎？三、例題教學例1解下列方程：⑴x2＋3x＋2=0⑵2x2－7x=4分析：第2小題要先將方程化為一般形式再用求根公式求解。四、課堂練習1．若方程是關于x的一元二次方程,則m的范圍是（）．(A)m≠1(B)m≠2(C)m≠-1或2(D)m≠-1且m≠22．在實數范圍內定義一種運算“＊”，其規則為，根據這個規則，方程的解為．3一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，條件是________．4當x=______時，代數式x2-8x+12的值是-4．5關于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根為0，則m的值是_____．6方程x2—5x—1=0()A．有兩個相等的實數根B．有兩個不相等的實數根C．沒有實數根D．無法確定7．用公式法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．8．用適當的方法解下列方程：(1)2x2＋x－6＝0；(2)；(3)5x2－4x－12＝0；(4)．9．已知y1＝2x＋7x－1，y2＝6x＋2，當x取何值時y1＝y2？10．當a取什么值時,關于的方程有兩個相等的實數根?當a取什么值時,關于的方程有兩個不相等的實數根?當a取什么值時,關于的方程沒有實數根?2一元二次方程的解法（5）學習目標1．用公式法解一元二次方程中，進一步理解代數式b2－4ac對根的情況的判斷作用2．能用b2－4ac的值判別一元二次方程根的情況學習過程：一、情境創設不解方程，你能判斷下列方程根的情況嗎？⑴x2＋2x－8=0⑵x2=4x－4⑶x2－3x=－3二、探索活動1．一元二次方程根的情況與一元二次方程中二次項系數．一次項系數及常數項有關嗎？能否根據這個關系不解方程得出方程的解的情況呢？例解下列方程：⑴x2＋x－1=0⑵x2－2x＋3=0⑶2x2－2x＋1=0分析：本題三個方程的解法都是用公式法來解，由公式法解一元二次方程的過程中先求出b2－4ac的值可以發現它的符號決定著方程的解。由此可以發現一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的情況可由b2－4ac來判定：當b2－4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當b2－4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；當b2－4ac＜0時，方程沒有實數根。我們把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的判別式。2．若已知一個一元二次方程的根的情況，是否能得到的值的符號呢？當一元二次方程有兩個不相等的實數根時，b2－4ac＞0；當一元二次方程有兩個相等的實數根時，b2－4ac=0；當一元二次方程沒有實數根時，b2－4ac＜0三、例題教學例1不解方程，判斷下列方程根的情況：⑴3x2－x＋1=3x⑵5（x2＋1）=7x⑶3x2－4x=－4分析：先把方程化為一般形式，確認a．b．c后，再算出b2－4ac的值，對方程給予判定。例2若方程8x2－（m－1）x＋m－7=0有兩個不相等的實數根，求m的值。分析：本題與例1剛好相反，應由方程有兩個不相等的實數根得b2－4ac=0，從而得到關于m的方程，求出m的值。四、課堂練習1．不解方程，判斷下列方程根的情況：⑴4x2＋13x＋9=0⑵3（x－2）=x2⑶3x2＋4x=52．基礎訓練1）若一元二次方程x2＋2x＋m＝0無實數解，則m的取值范圍是＿＿＿＿＿2）關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則m的值是（）A．0 B．8 C． D．0或83）如果方程x2－2x＋m＝0有實根，則m的取值范圍是＿＿＿＿＿＿4）已知關于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有兩個不相等的實數根，則a的取值范圍是（）A．a＜2B．a＞2C．a＜2且a≠1D．a＜－25）已知關于x的一元二次方程x2－bx＋c＝0的兩根分別為x1＝1，x2＝－2，則b與c的值分別是（）A．b＝－1，c＝2B．b＝1，c＝－2C．b＝1，c＝2D．b＝－1，c＝－26）已知一元二次方程x2－3x－1＝0的兩個根x1．x2，則的值為（）A．－3B．3C．－6D．63．問題研討例1．已知關于x的一元二次方程x24xm1＝0有兩個相等的實數根，求m的值及方程的根。例2．已知關于x的方程2x2－（4k＋1）x＋2k2－1＝0，k為何值時：①方程有兩個不相等實根；②方程有兩個等根；③方程沒有實根例3．探究發現：解下列方程，將得到的解填入下面的表格中，觀察表格中兩個解的和與積，它們和原來的方程的系數有什么聯系？方程（1）（2）（3）（1）（2）（3）（1）請用文字語言概括你的發現：__________________________（2）一般的，對于關于的方程的兩根為．，則_____________，_____________。（3）運用以上發現，解決下面的問題：①已知一元二次方程x2－2x－7=0的兩個根為x1，x2，則x1+x2的值為（）A．－2B．2C．－7D．7②已知x1，x2是方程x2－x－3=0的兩根，試求（1+x1）（1+x2）和x12+x22的值。（1）兩根之和，等于一次項系數除以二次項系數所得商的相反數；兩根之積，等于常數項除以二次項系數所得的商；（2），；（3）B；，7。2一元二次方程的解法（6）學習目標1．會用因式分解法解一元二次方程，體會“降次”化歸的思想方法2．能根據一元二次方程的特征，選擇適當的求解方法，體會解決問題的靈活性和多樣性學習過程：一、情境創設用不同的方法解方程：x2－x=0二、探索活動1．你能用幾種方法解方程x2－x=0？本題既可以用配方法解，也可以用公式法來解，但由于公式法比配方法簡單，一般選用公式法來解。還有其他方法可以解嗎？仔細觀察方程的左邊，可以發現這個等式的左邊有公因式x，這時可把x提出來，左邊即為兩項的乘積，我們知道：兩個因式的乘積等于0，則這兩個因式為零，這樣，就把一元二次方程降為一元一次方程，此時，方程即可解。解：x2-x＝0，x(x-1)＝0，于是x＝0或x-3＝0．∴x1=0，x2=3這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。2．下面哪些方程，用因式分解法求解比較簡便？⑴x2－2x－3=0⑵（2x－1）2－1=0⑶（x－1）2－18=0⑷3（x―5）2=2（5―x）分析：第⑴．⑷小題用因式分解法求解比較簡便。結論：如果一個一元二次方程的一邊是0，另一邊能分解為兩個一次因式的乘積，那么這樣的一元二次方程就可以用因式分解法求解。三、例題教學例1解下列方程：⑴x2=－4x⑵x＋3－x（x＋3）=0分析：第⑴小題先化為一般形式，再提取公因式分解因式解之；第⑵小題可以將（x＋3）作為一個整體，提取公因式解之。例2解方程（2x－1）2－x2=0分析：方程的左邊可以用“平方差公式”分解因式，將之分解為兩個一次因式的積，從而解之。思考：在解方程（x＋2）2=4（x＋2）時，在方程兩邊都除以（x＋2），得x＋2=4，于是解得x=2，這樣解正確嗎？為什么？（不正確，這樣解使得方程少了一個解，原因在于兩邊同時除以的因式（x＋2）可能為0，而方程兩邊不可以同時除以0）四、課堂練習1．選擇題(1)方程5x(x＋3)＝3(x＋3)解為()A．x1＝，x2＝3 B．x＝ C．x1＝－，x2＝－3 D．x1＝，x2＝－3(2)方程(x－1)2－4(x＋2)2＝0的根為()A．x1＝1，x2＝－5 B．x1＝－1，x2＝－5 C．x1＝1，x2＝5 D．x1＝－1，x2＝5(3)一元二次方程x2＋5x＝0的較大的一個根設為m，x2－3x＋2＝0較小的根設為n，則m＋n的值為()A．1 B．2 C．－4 D．4(4)已知三角形兩邊長為4和7，第三邊的長是方程x2－16x＋55＝0的一個根，則第三邊長是()A．5 B．5或11 C．6 D．112．填空題(1)方程(2x＋1)2＋3(2x＋1)＝0的解為__________．(2)方程(2y＋1)2＋3(2y＋1)＋2＝0的解為__________．(3)關于x的方程x2＋(m＋n)x＋mn＝0的解為__________．(4)方程x(x－)＝－x的解為__________．3．用因式分解法解下列方程：(1)x2＋12x＝0； (2)4x2－1＝0； (3)x2＝7x；(4)x2－4x－21＝0； (5)(x－1)(x＋3)＝12； (6)3x2＋2x－1＝0；(7)10x2－x－3＝0； (8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．4．用適當方法解下列方程：(1)x2－4x＋3＝0； (2)(x－2)2＝256； (3)x2－3x＋1＝0；(4)(2t＋3)2＝3(2t＋3)；(5)(3－y)2＋y2＝9；(6)(1＋)x2－(1－)x＝0；(7)(x＋5)2－2(x＋5)－8＝0．5．一跳水運動員從10米高臺上跳水，他跳下的高度h(單位：米)與所用的時間t(單位：秒)的關系式h＝－5(t－2)(t＋1)．求運動員起跳到入水所用的時間．6．為解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我們可以將x2－1視為一個整體，然后設x2－1＝y，則y2＝(x2－1)2，原方程化為y2－5y＋4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．當y＝1時，x2－1＝1，x2＝2，∴x＝±．當y＝4時，x2－1＝4，x2＝5，∴x＝±．∴原方程的解為x1＝－，x2＝，x3＝－，x4＝．以上方法就叫換元法，達到了降次的目的，體現了轉化的思想．(1)運用上述方法解方程：x4－3x2－4＝0．(2)既然可以將x2－1看作一個整體，你能直接運用因式分解法解這個方程嗎

參考答案【同步達綱練習】1．(1)B(2)C(3)D(4)D(5)B(6)A(7)A(8)D2．(1)t1＝－7，t2＝4(2)x1＝－，x2＝－2(3)y1＝－1，y2＝－(4)x1＝－m，x2＝－n(5)x1＝，x2＝－13．(1)x1＝0，x2＝－12；(2)x1＝－，x2＝；(3)x1＝0，x2＝7；(4)x1＝7，x2＝－3；(5)x1＝－5，x2＝3；(6)x1＝－1，x2＝；(7)x1＝，x2＝－；(8)x1＝8，x2＝－2．4．(1)x1＝1，x2＝3；(2)x1＝18，x2＝－14；(3)x1＝，x2＝；(4)x1＝3，x2＝－1；(5)t1＝0，t2＝－；(6)y1＝0，y2＝3；(7)x1＝0，x2＝2－3；(8)x1＝，x2＝；(9)x1≈7．24，x2＝－3．24；(10)x1＝－1，x2＝－7．5．(1)x2－4ax＋4a2＝a2－2a＋1。(x－2a)2＝(a－1)2。∴x－2a＝±(a－1)。∴x1＝3a－1，x2＝a＋1．(2)x2＋(5－2k)x＋k2－5k－6＝0。x2＋(5－2k)x＋(k＋1)(k－6)＝0。［x－(k＋1)］［x－(k－6)］＝0。∴x1＝k＋1，x2＝(k－6)．(3)x2－2mx＋m2＝9m2，(x－m)2＝(3m)2∴x1＝4m，x2＝－2m(4)x2＋(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0。(x＋m)［x＋(m＋1)］＝0。∴x1＝－m，x2＝－m－16．(x＋4y)(x－y)＝0。x＝－4y或x＝y當x＝－4y時，＝；當x＝y時，＝＝0．7．(x2＋y2)(x2＋y2－1)－12＝0。(x2＋y2)2－(x2＋y2)－12＝0。(x2＋y2－4)(x2＋y2＋3)＝0。∴x2＋y2＝4或x2＋y2＝－3(舍去)8．x1＝－36，x2＝249．∵x2＋3x＋5＝9，∴x2＋3x＝4。∴3x2＋9x－2＝3(x2＋3x)－2＝3×4－2＝1010．10＝－5(t－2)(t＋1)，∴t＝1(t＝0舍去)11．(1)x1＝－2，x2＝2(2)(x2－2)(x2－5)＝0。(x＋)(x－)(x＋)(x－)＝0

3用一元二次方程解決問題（1）學習目標1．通過對實際問題的分析，進一步理解方程是刻畫客觀世界的有效模型2．經歷用方程解決實際問題的過程，知道解應用問題的一般步驟和關鍵所在學習過程：一、情境創設⑴一個正方體的表面積是216㎝2，求這個正方體的棱長；⑵一個直角三角形的面積是24㎝2，兩條直角邊的差是2㎝，求兩條直角邊長。二、探索活動1．如何設未知數？如何找出問題中的相等關系？第1情境中，可由正方體的表面積等于正方體的六個面的面積和來表示，從而得到等量關系：“棱長2×6=216㎝2”；第2情境中，由直角三角形的面積等于兩條直角邊之積的一半可得等量關系：“直角邊×直角邊÷2=24㎝2”，設所求未知量為未知數，再由這些等量關系列出方程。2．如何解這些方程？方程的解都符合題意嗎？可用開平方法．配方法．公式法．因式分解法等方法解這些方程，方程的解必須要符合實際意義。三、例題教學例1已知兩個數的和等于12，積等于32，求這兩個數。分析：可設其中一個數為x，由“和等于12”列代數式表示另一個數為“12－x”，再由“積等于32”列出方程“x(12－x)=32”。例2某旅行社的一則廣告如下：我社組團去龍灣風景區旅游，收費標準為：如果人數不超過30人，人均旅游費用為800元；如果人數多于30人且不超過40人，那么每增加1人，人均旅游費用降低10，但人均旅游費用不得低于500元。甲公司分批組織員工到龍灣風景區旅游，現計劃用28000元組織第一批員工去旅游，問這次旅游可以安排多少人參加？分析：首先應得到總費用是28000，即有等量關系“人均費用×人數=28000”，若人數不超過30人，則總費用不超過30×800=24000＜28000，所以人數應超過30人，因此又得等量關系“800元－（參加人數－30人）×10元=實際人均費用”，由此可以列出方程”[800－10(x－30)]·x=28000”，解題過程略。注：解出來的解必須符合實際意義且要符合條件中的“人數多于30人且不超過40人”與“人均旅游費用不得低于500元”。小結：用一元二次方程解決實際問題要經歷怎樣的過程？（一審．二設．三列（列代數式．列方程）．四解．五驗．六答）四、課堂練習1．三角形兩邊長分別是6和8，第三邊長是x2-16x+60=0的一個實數根，求該三角形的面積。2．將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形．(1)要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少?(2)兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎?若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由．3用一元二次方程解決問題（2）學習目標1．進一步體會通過建立方程解決實際問題的意義和方法2．進一步體會運用方程解決問題的關鍵是尋找等量關系，提高分析問題．解決問題的能力學習過程：一、情境創設一塊長方形鐵皮的長是寬的2倍，四角各截去一個正方形，制成高是5㎝，容積是500㎝3的無蓋長方體容器。求這塊鐵皮的長和寬。二、探索活動如何設未知數？如何找出表達實際問題的相等關系？這個問題中的相等關系是什么？一般情況下，應設要求的未知量為未知數；應從題中尋找未知數所表示的未知量與已知量之間的等量關系；這個問題的等量關系是“長×寬×高=容積”與“長=寬×2”。三、例題教學例1某商店6月份的利潤是2500元，要使8月份的利潤達到3600元，這兩個月利潤的月平均增長的百分率是多少？分析：如果設這兩個月的利潤平均月增長的百分率是x，那么7月份的利潤是2500（1＋x）元，8月份的利潤是2500（1＋x）2元。例2一塊起碼方形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為4㎝的小正方形，做成一個無蓋的盒子。已知盒子的容積是400㎝3，求原鐵皮的邊長。四、課堂練習1．某廠一月份生產某機器100臺，計劃二．三月份共生產280臺。設二三月份每月的平均增長率為x，根據題意列出的方程是（）A．100（1+x）2=280B．100（1+x）+100（1+x）2=280C．100（1-x）2=280D．100+100（1+x）+100（1+x）2=2802．某工程隊在我市實施棚戶區改造過程中承包了一項拆遷工程，原計劃每天拆遷1250m2，因為準備工作不足，第一天少拆遷了20%，從第二天開始，該工程隊加快了拆遷速度，第三天拆遷了1440m2。求：（1）該工程隊第二天第三天每天的拆遷面積比前一天增長的百分數相同，求這個百分數．3．某企業2022年盈利1500萬元，2022年克服全球金融危機的不利影響，仍實現盈利2160萬元．從2022年到2022年，如果該企業每年盈利的年增長率相同，求：（1）該企業2022年盈利多少萬元？（2）若該企業盈利的年增長率繼續保持不