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文檔簡介

柯西不等式1.二元均值不等式有哪幾種形式？答案：

a2

ab(ab

及幾種變式.2.已知a、、c、實數，求()(c2)ac)

證法比較法(

)(

)ac)

=….=

()

定理：若a、、c、實數，()(c)ac)

.變式：a2c2

或

2gcac|bd或

gc

bd

.定理：,aLa,b,LR1n2

，則（當且僅當2b2n

時取等號，假i

）變式a2

a

1an

.定理：是兩個向量，

.

11等號成立？是零向量，或共線）練習：已、、、實數，求證a

2

2

2

a

2

)

2.證法分析法）平方→應用柯西不等式→討論：其幾何意義？（構造三角形）三角不式：①定理：設x,x,12

，則21

1

2

2

2

2

x12

2

y1

2.變式：若x,,x,,y12不等式？

，則結合以上幾何意義，可得到怎樣的三角例1：求函yx10x

的最大值？分析：如何變形？→構造柯西不等式的形式變

式：

yx

→

推

廣：ybxc,efR例2：若R

y

，求證：x

1y

.分析：如何變形后利用柯西不等式？（注意對比→構造）

要點：11，求的最小值.要點：11，求的最小值.111(x)()[(2)2][())2]xx2x討論：其它證法（利用基本不等式）

…練習：已y

，求x

2

2的最小值.解答要點湊配法）x

y

11()(32(3xy2131313

.討論：其它方法（數形結合法）練習：已

R

，求證a)a

.例1：已3xy求2y22的最小值.練習：若x,R

，且

1yzx變式：若z

，且

，求x

的最小值.變式：若z

，且

，求xy

的最大值.例2：a

>b

>c，求證：

14.a要點(a)(

1111)a)b)]((12ab

例3已知正b,c滿a

證明

a333

a23證明：利用柯西不等

1312222c2

又因為

a

abca在此不等式兩邊同乘以2再加上a

得

2

2

2

Q

3

a

3

例4設p內的一點，,y,p到三bc的距離外接圓的半徑，證明yz證明：由柯西不等式得，

12R

a22記的面積，則axSg4RR故不等式成立。練習知實,b,c,a2b2c2d2試a的最值

maxmax解：由柯西不等式得，

c

d

11236

2

c

d

得，

b6d解得，2當且僅當時等號成立，121316112代,時，c,d時363

a

min

3.3排序不等式排序不等式（即排序原理設有兩個有序實數組:

12

n

;

12

n

.

cc,12

n

bb1

n

的任一排列,則有bb1122

bnn

(同序和)c11

nn

(亂序和)b1n

bn1

(反序和)當且僅1

n

1

n

時，反序和等于同序和.排序不式的應：

例1：,a12

n

是n

個互不相同的正整數，求證：1

11aaa23nn

.證明過程：設,12

是a,,12

n

的1

，1

.

11232n2

，由排序不等式，得abba22322n22小結：分析目標，構造有序排列.

…練習：已a,b,c

為正數，求證

)

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