1111n1n-1112nn高數等數的n項和例解析【1】設比數列的首項為a(a0)，公比為q(q＞0)，前n項為80，其中最大的一項為54，又它的前2n項和為6560，求a和．解由S=80，故≠1)12n)1

=80=

n

=81

∵＞，q＞，等比數列為遞增數列，故前項最大項為．∴=aq=54④將③代入①化簡得－③化簡3a=2q④由⑤，⑥聯立方程組解得a=2，q=3【例】證：于等數列，有

2n

⑥2＋2n

=Sn2n3n

⑤證∵＋＋＋＋＋(aq＋＋…aq＋(a＋q＋…a)＋S

＋)類似地，可得Sq＋q)∴

+S

=S

＋(1＋qn)]

=(22q＋)(S＋S)=[S＋2nn

)S＋

＋

)]=＋n＋)∴＋S2=(S＋S)【3】一有窮的等比數列的首項為數偶數奇項的和為，

121n-1121n-122n-2偶數項的和為，求這個數列的公比和項數．解設數為2n(nN*)因為a=1，由已知可得q．(1n112n112

=85)=

：=把①

n

=

=256n=4即公比為2項數為8【4

選擇題：在等比數列{}，知對任意正整數，有=2

－則aa2＋a等1n[

]A．(2n－1)2

1B．n－31C．2n－1D．n－1)3解D．∵=1，－=2∴=2

∴b)=(2)∴b＋b＋…＋=a2n

＋

＋…＋

1＋4＋＋…＋

n3

【5

設0＜V＜，為整數，求證：＋－V)＜1－V

分直作，不好下手．變形：(2m＋m＜

1Vm1V右邊分式的外形，使我們聯想到等比數列求和公式，于是有：

2mm2mm2mm2mm2m2m-1m-1m+12n11n＋＜＋＋V＋V發現左邊有2m＋1)個V，邊(2m項，變形V＋V＋…V＜＋V＋＋…＋．顯然不能左右各取一項比較其大小，試用“二對二”法，即左邊選兩項與右邊的兩項相比較于兩都具距首末等遠的任意兩項指數之和均相等”的特點，想到以如下方式比較：V＋V＜V，V＋V＜V＋V，…V＋V＜V＋V，V=V．即2V＜＋V，＜＋V，．根據“兩個正數的算術平均值大于等于其幾何平均值式子顯然成立．(具體證法從略．說本最大的特點是解題過程中需要多次用到“逆向思考V2m要證·B＜＞，改證＜；見到，去逆向運用=B1a·11

，化成＋V＋V

2

＋…＋V

；要證A＋＜＋，先證A＜C，B＜D，等．善于進行逆向思考，是對知識熟練掌握的一種表現，同時也是一種重要的思維能力，平時應注意訓練．【6

數列{}等比數列，其中，，S．解一利等比數列的前和公式若q=1則，=48，≠，所以q≠∵

a1

)

2n

a2)1

an)(1+q1

n

)(1n

n

)

2nn3n2n2n2122nn3n2n2n2122323nn+1n+1nn+1nn+2n+1n+2n+1nn+2∴q

=

14

=

a(13n)1

a

)(11

)＋＋q)∴S

)=解二利等比數列的性質S，－S，－S仍等比數列∴－=48·－60)∴．解三取殊值法取n=1則，＋=60∴∵{a}等數列∴=

a=31=a＋＋a【7已數{}S是的前和并且＋2(nN*)，a(1)設－∈，證：數列{}等比數列；設c=

∈N*)，證數{}等差數列．解

(1)∵=4a＋2＋兩式相減，得－=4a(n∈N*)即：=4a－

n+2nn+111n+2nn+1112nn1變形，得a－－2a)∵b=a－∈N*)∴b由此可知，數列{}公為2的比數列．由S=a＋=4a＋，可得a=5=a－2a=3∴b=3

(2)∵(nN*)2a2a∴n+1