線性控制理論系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性第1頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六本章簡(jiǎn)介本章討論李雅普諾夫穩(wěn)定性分析。主要介紹內(nèi)部穩(wěn)定性和李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義以及分析系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性的李雅普諾夫理論和方法;著重討論李雅普諾夫第二法及其在非線性系統(tǒng)的應(yīng)用、李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造。第2頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.1內(nèi)部穩(wěn)定性與外部穩(wěn)定性一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)要能正常工作，必須首先是一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)。例如，電機(jī)自動(dòng)調(diào)速系統(tǒng)中保持電機(jī)轉(zhuǎn)速為一定的能力以及火箭飛行中保持航向?yàn)橐欢ǖ哪芰Φ取＞哂蟹€(wěn)定性的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定性的定義為：當(dāng)系統(tǒng)受到外界干擾后，顯然它的平衡被破壞，但在外擾去掉以后，它仍有能力自動(dòng)地在平衡態(tài)下繼續(xù)工作。如果一個(gè)系統(tǒng)不具有上述特性，則稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)第3頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六實(shí)際上，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，通常有兩種定義方式：外部穩(wěn)定性：是指系統(tǒng)在零初始條件下通過(guò)其外部狀態(tài)，即由系統(tǒng)的輸入和輸出兩者關(guān)系所定義的外部穩(wěn)定性。經(jīng)典控制理論討論的有界輸入有界輸出穩(wěn)定(BIBO)即為外部穩(wěn)定性

。（書(shū)P213定義5.1）在經(jīng)典控制理論中，許多穩(wěn)定性判據(jù)如勞斯-赫爾維茨判據(jù)和奈奎斯特判據(jù)等，都給出了既實(shí)用又方便的判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。線性系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)定性取決于其特征方程的根，與初始條件和擾動(dòng)都無(wú)關(guān)，而非線性系統(tǒng)則不然。第4頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六外部穩(wěn)定性只適用于線性系統(tǒng)，內(nèi)部穩(wěn)定性不但適用于線性系統(tǒng)，而且也適用于非線性系統(tǒng)。

內(nèi)部穩(wěn)定性：是關(guān)于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變化所呈現(xiàn)穩(wěn)定性，即系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)穩(wěn)定性。（書(shū)P216定義5.2）本節(jié)討論的李雅普諾夫穩(wěn)定性即為內(nèi)部穩(wěn)定性。第5頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六內(nèi)部和外部穩(wěn)定性的關(guān)系在經(jīng)典控制理論中所定義的穩(wěn)定性是指輸入輸出穩(wěn)定性，即給定有界輸入，產(chǎn)生的輸出亦有界。而李雅普諾夫穩(wěn)定性討論的系統(tǒng)狀態(tài)在平衡態(tài)鄰域的穩(wěn)定性問(wèn)題。就一般系統(tǒng)而言，兩種穩(wěn)定性沒(méi)有必然的聯(lián)系，對(duì)于同一個(gè)線性系統(tǒng)，只有在滿足一定的條件下兩種定義才具有等價(jià)性。（P217結(jié)論5.7-5.9）對(duì)于線性定常系統(tǒng)，則有結(jié)論如下:若該線性定常系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，則一定是輸入輸出穩(wěn)定的，反之，則不盡然。第6頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.2李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義早在1892年，俄國(guó)學(xué)者李雅普諾夫（1857–1918)

發(fā)表題為“運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性一般問(wèn)題”的著名文獻(xiàn)，建立了關(guān)于運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究的一般理論。李雅普諾夫把分析一階常微分方程組穩(wěn)定性的所有方法歸納為兩類。第一類方法是將非線性系統(tǒng)在平衡態(tài)附近線性化，然后通過(guò)討論線性化系統(tǒng)的特征值(或極點(diǎn))分布及穩(wěn)定性來(lái)討論原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。這是一種較簡(jiǎn)捷的方法，與經(jīng)典控制理論中判別穩(wěn)定性方法的思路是一致的。該方法稱為間接法，亦稱為李雅普諾夫第一法。第7頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第二類方法不是通過(guò)解方程或求系統(tǒng)特征值來(lái)判別穩(wěn)定性，而是通過(guò)定義一個(gè)叫做李雅普諾夫函數(shù)的標(biāo)量函數(shù)來(lái)分析判別穩(wěn)定性。由于不用解方程就能直接判別系統(tǒng)穩(wěn)定性，所以第二種方法稱為直接法，亦稱為李雅普諾夫第二法。自治系統(tǒng)、平衡狀態(tài)和受擾運(yùn)動(dòng)自治運(yùn)動(dòng)（P219定義5.3）平衡狀態(tài)（P220定義5.4）受擾運(yùn)動(dòng)（P220定義5.5）第8頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.平衡態(tài)設(shè)我們所研究的系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x’=f(x,t)其中x為n維狀態(tài)變量;f(x,t)為n維的關(guān)于狀態(tài)變量向量x和時(shí)間t的非線性向量函數(shù)。對(duì)該非線性系統(tǒng)，其平衡態(tài)的定義如下。第9頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定義5-1動(dòng)態(tài)系統(tǒng)x’=f(x,t)的平衡態(tài)是使f(x,t)0

的狀態(tài)，并用xe來(lái)表示。從定義5-1可知，平衡態(tài)即指狀態(tài)空間中狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)向量為零向量的點(diǎn)(狀態(tài))。由于導(dǎo)數(shù)表示的狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)變化方向，因此平衡態(tài)即指能夠保持平衡、維持現(xiàn)狀不運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，如上圖所示。第10頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六顯然，對(duì)于線性定常系統(tǒng)x’=Ax的平衡態(tài)xe是滿足下述方程的解。Axe=0當(dāng)矩陣A為非奇異時(shí)，線性系統(tǒng)只有一個(gè)孤立的平衡態(tài)xe=0;而當(dāng)A為奇異時(shí)，則存在無(wú)限多個(gè)平衡態(tài)，且這些平衡態(tài)不為孤立平衡態(tài)，而構(gòu)成狀態(tài)空間中的一個(gè)子空間。對(duì)于非線性系統(tǒng)，通常可有一個(gè)或幾個(gè)孤立平衡態(tài)，它們分別為對(duì)應(yīng)于式f(x,t)0的常值解。對(duì)于孤立平衡態(tài)，總是可以通過(guò)坐標(biāo)變換將其移到狀態(tài)空間的原點(diǎn)。因此，不失一般性，為了便于分析，我們常把平衡態(tài)取為狀態(tài)空間的原點(diǎn)。第11頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例如，對(duì)于非線性系統(tǒng)其平衡態(tài)為下列代數(shù)方程組的解，即下述狀態(tài)空間中的三個(gè)狀態(tài)為其孤立平衡態(tài)。第12頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六圖5-1定義5-2(李雅普諾夫穩(wěn)定性)若狀態(tài)方程x’=f(x,t)所描述的系統(tǒng)，對(duì)于任意的>0和任意初始時(shí)刻t0，都對(duì)應(yīng)存在一個(gè)實(shí)數(shù)(,t0)>0，使得對(duì)于任意位于平衡態(tài)xe的球域S(xe,)的初始狀態(tài)x0，2.李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性當(dāng)從此初始狀態(tài)x0出發(fā)的狀態(tài)方程的解x都位于球域S(xe,)內(nèi)，則稱系統(tǒng)的平衡態(tài)xe是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。第13頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六上述定義說(shuō)明，對(duì)應(yīng)于平衡態(tài)xe的每一個(gè)球域S(xe,),一定存在一個(gè)有限的球域S(xe,)，使得t0時(shí)刻從S(xe,)出發(fā)的系統(tǒng)狀態(tài)軌線總不離開(kāi)S(xe,),則系統(tǒng)在初始時(shí)刻t0的平衡態(tài)xe為在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。以二維狀態(tài)空間為例，上述定義的幾何解釋和狀態(tài)軌線變化如圖5-1所示。第14頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六對(duì)于李雅普諾夫穩(wěn)定性，還有如下說(shuō)明：李雅普諾夫穩(wěn)定性針對(duì)平衡狀態(tài)而言，反映的是平衡狀態(tài)鄰域的局部穩(wěn)定性，即小范圍穩(wěn)定性。系統(tǒng)做等幅振蕩時(shí)，在平面上描出一條封閉曲線，只要不超過(guò)S(xe,)，就是李雅普諾夫穩(wěn)定的，而經(jīng)典控制理論則認(rèn)為不穩(wěn)定。對(duì)于定常系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，上述定義中的實(shí)數(shù)(,t0)與初始時(shí)刻t0必定無(wú)關(guān)，故其穩(wěn)定性與一致穩(wěn)定性兩者等價(jià)。但對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，則這兩者的意義很可能不同。第15頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定義5-3(李雅普諾夫漸近穩(wěn)定性)若狀態(tài)方程x’=f(x,t)所描述的系統(tǒng)在初始時(shí)刻t0的平衡態(tài)xe是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，且系統(tǒng)狀態(tài)最終趨近于系統(tǒng)的平衡態(tài)xe，即Limt

x(t)=xe則稱平衡態(tài)xe是李雅普諾夫意義下漸近穩(wěn)定的。若(,t0)與初始時(shí)刻t0無(wú)關(guān)，則稱平衡態(tài)xe是李雅普諾夫意義下一致漸近穩(wěn)定的。圖5-23.漸近穩(wěn)定性第16頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六對(duì)于線性定常系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，上述定義中的實(shí)數(shù)(,t0)可與初始時(shí)刻t0無(wú)關(guān)，故其漸近穩(wěn)定性與一致漸近穩(wěn)定性等價(jià)。但對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)來(lái)說(shuō)不同。漸近穩(wěn)定性在二維空間中的幾何解釋如圖5-2所示。該圖表示狀態(tài)x(t)的軌跡隨時(shí)間變化的收斂過(guò)程。圖5-1與圖5-2相比較，能清楚地說(shuō)明漸近穩(wěn)定和穩(wěn)定的意義。圖5-2圖5-1第17頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六對(duì)于李雅普諾夫漸近穩(wěn)定性，還有如下說(shuō)明：經(jīng)典控制理論的BIBO穩(wěn)定性，就是李雅普諾夫意義下的漸近穩(wěn)定。穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定，兩者有很大的不同。對(duì)于穩(wěn)定而言，只要求狀態(tài)軌跡永遠(yuǎn)不會(huì)跑出球域S(xe,)，至于在球域內(nèi)如何變化不作任何規(guī)定。而對(duì)漸近穩(wěn)定，不僅要求狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)軌跡不能跑出球域，而且還要求最終收效或無(wú)限趨近平衡狀態(tài)xe。第18頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六大范圍漸近穩(wěn)定性對(duì)于n維狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)，如果由這些狀態(tài)出發(fā)的狀態(tài)軌線都具有漸近穩(wěn)定性，那么平衡態(tài)xe稱為李雅普諾夫意義下大范圍漸近穩(wěn)定的。換句話說(shuō)，若狀態(tài)方程在任意初始狀態(tài)下的解,當(dāng)t無(wú)限增長(zhǎng)時(shí)都趨于平衡態(tài)，則該平衡態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定的。顯然，大范圍漸近穩(wěn)定性的必要條件是系統(tǒng)在整個(gè)狀態(tài)空間中只有一個(gè)平衡態(tài)。對(duì)于線性系統(tǒng)，如果其平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定的，則一定是大范圍漸近穩(wěn)定的。但對(duì)于非線性系統(tǒng)則不然，漸近穩(wěn)定性是一個(gè)局部性的概念，而非全局性的概念。第19頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4.不穩(wěn)定性定義5-4

若狀態(tài)方程x’=f(x,t)描述的系統(tǒng)在初始時(shí)刻t0,對(duì)于某個(gè)給定實(shí)數(shù)>0和任意一個(gè)實(shí)數(shù)>0,總存在一個(gè)位于平衡態(tài)xe的鄰域S(xe,)的初始狀態(tài)x0，使得從x0出發(fā)的狀態(tài)方程的解x(t)將脫離球域S(xe,)，則稱系統(tǒng)的平衡態(tài)xe是李雅普諾夫意義下不穩(wěn)定的。圖5-3第20頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六李雅普諾夫第二法它是在用能量觀點(diǎn)分析穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的。若系統(tǒng)平衡態(tài)漸近穩(wěn)定，則系統(tǒng)經(jīng)激勵(lì)后，其儲(chǔ)存的能量將隨著時(shí)間推移而衰減。當(dāng)趨于平衡態(tài)時(shí)，其能量達(dá)到最小值。反之，若平衡態(tài)不穩(wěn)定，則系統(tǒng)將不斷地從外界吸收能量，其儲(chǔ)存的能量將越來(lái)越大。基于這樣的觀點(diǎn)，只要能找出一個(gè)能合理描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的n維狀態(tài)的某種形式的能量正性函數(shù)，通過(guò)考察該函數(shù)隨時(shí)間推移是否衰減，就可判斷系統(tǒng)平衡態(tài)的穩(wěn)定性。5.3李雅普諾夫第二法第21頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（1）實(shí)函數(shù)的正定性實(shí)函數(shù)正定性問(wèn)題亦稱為函數(shù)定號(hào)性問(wèn)題。它主要討論該函數(shù)的值在什么條件下恒為正,什么條件下恒為負(fù)的。下面先給出n維向量x的標(biāo)量實(shí)函數(shù)V(x)的正定性定義。定義5-5設(shè)xRn，是Rn中包含原點(diǎn)的一個(gè)區(qū)域，若實(shí)函數(shù)V(x)對(duì)任意n維非零向量x都有V(x)>0；當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，才有V(x)=0，則稱函數(shù)V(x)為區(qū)域上的正定函數(shù)。1.數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí)第22頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定義5-6設(shè)xRn，是Rn中包含原點(diǎn)的一個(gè)區(qū)域，若實(shí)函數(shù)V(x)對(duì)任意n維非零向量x，都有V(x)<0;當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，才有V(x)=0，則稱函數(shù)V(x)為區(qū)域上的負(fù)定函數(shù)。若對(duì)任意n維非零向量x，都有V(x)≥0，且V(0)=0，則稱函數(shù)V(x)為區(qū)域上的正半定函數(shù)。若對(duì)任意n維非零向量x，都有V(x)≤0，且V(0)=0，則稱函數(shù)V(x)為區(qū)域上的負(fù)半定函數(shù)。若無(wú)論取多么小的原點(diǎn)的某個(gè)鄰域，V(x)可為正值也可為負(fù)值，則稱函數(shù)V(x)為不定函數(shù)。第23頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六下面是幾個(gè)在由變量x1和x2組成的2維線性空間中的正定函數(shù)、負(fù)定函數(shù)等的例子。1)正定函數(shù)2)負(fù)定函數(shù)3)正半定函數(shù)4)負(fù)半定函數(shù)函數(shù)的定號(hào)性是一個(gè)相對(duì)概念，與其函數(shù)定義域有關(guān)。如，函數(shù)對(duì)x1與x2組成的2維空間為非負(fù)定的，但對(duì)于1維空間x2則為正定的。5)不定函數(shù)第24頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二次型函數(shù)是一類特殊形式函數(shù)。設(shè)V(x)為關(guān)于n維變量向量x的實(shí)二次型函數(shù)，則其可以表示為其中aij(i=1,2,…,n,j=i,…,n)為實(shí)常數(shù)。(2)

二次型函數(shù)和對(duì)稱矩陣的正定性第25頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六由線性代數(shù)知識(shí)知，實(shí)二次型函數(shù)V(x)又可表示為V(x)=xTPx其中P稱為二次型函數(shù)V(x)的權(quán)矩陣，它為如下nn維實(shí)對(duì)稱矩陣:第26頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二次型函數(shù)與一般函數(shù)一樣，具有正定、負(fù)定、正半定、負(fù)半定和不定等定號(hào)性概念。二次型函數(shù)V(x)和它的對(duì)稱權(quán)矩陣P是一一對(duì)應(yīng)的。因此，由二次型函數(shù)的正定性同樣可定義對(duì)稱矩陣P的正定性。定義5-7設(shè)對(duì)稱矩陣P為二次型函數(shù)V(x)的權(quán)矩陣，當(dāng)V(x)分別為正定、負(fù)定、正半定、負(fù)半定和不定時(shí)，則稱對(duì)稱矩陣P相應(yīng)為正定、負(fù)定、正半定、負(fù)半定與不定。因此，由上述定義就可將判別二次型函數(shù)的正定性轉(zhuǎn)換成為判別對(duì)稱矩陣的正定性。對(duì)稱矩陣P為正定、負(fù)定、正半定與負(fù)半定時(shí)，并可分別記為P>0，P<0，P≥0，P≤0。第27頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理5-1(塞爾維斯特定理)(1)實(shí)對(duì)稱矩陣P為正定的充要條件是P的各階順序主子式均大于零，即其中pij為實(shí)對(duì)稱矩陣P的第i行第j列元素。(2)實(shí)對(duì)稱矩陣P為負(fù)定的充要條件是P的各階順序主子式滿足(3)矩陣正定性的判別方法第28頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理5-2實(shí)對(duì)稱矩陣P為正定、負(fù)定、正半定與負(fù)半定的充分必要條件是P的所有特征值分別大于零、小于零、大于等于零與小于等于零；實(shí)對(duì)稱矩陣P為不定的充分必要條件是P的特征值有正有負(fù)。上述判別實(shí)對(duì)稱矩陣P的定號(hào)性的方法，各有千秋。但總的說(shuō)來(lái),基于塞爾維斯特定理的方法計(jì)算量較大，若將該方法推廣到判別正半定性和負(fù)半定性，則計(jì)算量成指數(shù)性地增加。特征值判別法需求解高階特征方程以獲得特征值，計(jì)算較復(fù)雜，計(jì)算量也較大。第29頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六(1)漸近穩(wěn)定性定理(包括大范圍和小范圍)定理5-4

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x’=f(x,t)其中xe=0為其平衡態(tài)。（P228結(jié)論5.11）若存在一個(gè)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函數(shù)V(x,t)，V(0,t)=0，滿足下述條件:1)若V’(x,t)為負(fù)定的，則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的;2)更進(jìn)一步，若隨著||x||→，有V(x,t)→，那么該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。2.李雅普諾夫第二法的幾個(gè)定理第30頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六李雅普諾夫定理是判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個(gè)重要方法和結(jié)論。它不僅適用于線性系統(tǒng)，也適用于非線性系統(tǒng);既適用于定常系統(tǒng)，也適用于時(shí)變系統(tǒng)。因此，李雅普諾夫第二法是判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的具有普遍性的方法。對(duì)上述李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的使用有如下說(shuō)明:此定理只為判別系統(tǒng)一致漸近穩(wěn)定的充分條件，而非必要條件。也就是說(shuō)，若找到滿足上述條件的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)，則系統(tǒng)是一致漸近穩(wěn)定或大范圍一致漸近穩(wěn)定的。第31頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六但是，如果我們一時(shí)找不到這樣的李雅普諾夫函數(shù)，也并不意味著平衡態(tài)就不是漸近穩(wěn)定的。2)對(duì)于漸近穩(wěn)定的平衡態(tài)，滿足條件的李雅普諾夫函數(shù)總是存在的，但并不唯一。3)對(duì)于非線性系統(tǒng)，雖然具體的李雅普諾夫函數(shù)可證明所討論的系統(tǒng)在平衡態(tài)的鄰域內(nèi)是漸近穩(wěn)定的，但并不意味著在其他的區(qū)域系統(tǒng)是或不是漸近穩(wěn)定的;4)李雅普諾夫第二法的結(jié)論并沒(méi)有指明尋找李雅普諾夫函數(shù)的方法。尋找李雅普諾夫函數(shù)的方法將依具體的系統(tǒng)和狀態(tài)方程而具體分析。第32頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例5-3

試確定用如下?tīng)顟B(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。解:顯然，原點(diǎn)(0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡態(tài)，如果我們選擇正定函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù),那么沿任意軌跡x(t)，V(x)對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)是負(fù)定函數(shù)。此外，當(dāng)||x||→時(shí)，必有V(x)→。因此，由定理5-4知，在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。第33頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例5-4

試確定用如下?tīng)顟B(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。解:

原點(diǎn)(0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡態(tài)，如果我們選擇正定函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù),那么沿任意軌跡x(t)，V(x)對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)是負(fù)半定函數(shù)，故由定理5-4知，根據(jù)所選的李雅普諾夫函數(shù)分析不出該平衡態(tài)是否漸近穩(wěn)定或穩(wěn)定。但這也并不意味著該平衡態(tài)就并不漸近穩(wěn)定。第34頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理5-5

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x’=f(x,t),其中xe=0為其平衡態(tài)。若存在一個(gè)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函數(shù)V(x,t)，V(0,t)=0，滿足下述條件:（P229結(jié)論5.12）1)

V’(x,t)為負(fù)半定的，則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是一致穩(wěn)定的;2)

若V(x,t)的定義域?yàn)镽n，對(duì)任意的t0和任意的x(t0)0，V’(x,t)在t>t0時(shí)不恒為零，那么該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的，否則將僅是一致穩(wěn)定而非一致漸近穩(wěn)定。此時(shí)，隨著||x||→,有V(x,t)→，則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的一致漸近穩(wěn)定平衡態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。定理5-4中要求選擇的李雅普諾夫函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為負(fù)定函數(shù)，這給尋找適宜的李雅普諾夫函數(shù)帶來(lái)一定困難。下面給出一個(gè)補(bǔ)充定理，以減弱判別條件。第35頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例5-5

試確定例5-4的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。解：前面已經(jīng)定義例5-4的系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。該函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)分別為由于V’(x)是負(fù)半定函數(shù),由定理5-5的1)可知，系統(tǒng)為一致穩(wěn)定的。對(duì)例5-5，選取李雅普諾夫函數(shù)為則是負(fù)定的，系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。第36頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理5-6

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x’=f(x,t)其中xe=0為其平衡態(tài)。（P231結(jié)論5.17）若存在一個(gè)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函數(shù)V(x,t)，V(0,t)=0，滿足下述條件:若V’(x,t)為負(fù)半定的，則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性。(2)李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定理第37頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例5-6

試確定用如下?tīng)顟B(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。為李雅普諾夫函數(shù),那么沿任意軌跡x(t)，V(x)的全導(dǎo)數(shù)解：顯然，原點(diǎn)(0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡態(tài),如果我們選擇正定函數(shù)由于V’(x)非正定,由定理5-5的1)可知，系統(tǒng)為一致穩(wěn)定的。由于V’(x)對(duì)任意的x0恒為零，因此由定理5-5中2)可知，該系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定，但非漸近穩(wěn)定。第38頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理5-7

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x’=f(x,t)，其中xe=0為其平衡態(tài)。若存在一個(gè)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函數(shù)V(x,t)，V(0,t)=0，滿足下述條件:（P232結(jié)論5.19）1)V’(x,t)為正定的，則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是不穩(wěn)定的;2)若V’(x,t)為非負(fù)定的，且對(duì)任意的t0和任意的x(t0)0，V’(x,t)在t>t0時(shí)不恒為零，那么該平衡態(tài)xe亦是不穩(wěn)定的(3)不穩(wěn)定性定理第39頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例5-7

試確定用如下?tīng)顟B(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。解：顯然，原點(diǎn)(0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡態(tài)，如果我們選擇李雅普諾夫函數(shù)為則由于V’(x)正定，因此由定理5-7可知，系統(tǒng)的該平衡態(tài)為不穩(wěn)定的。第40頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六下面將前面討論的李雅普諾夫穩(wěn)定性的判定方法作一小結(jié)

V(x)

V’(x)結(jié)論正定(>0)負(fù)定(<0)該平衡態(tài)漸近穩(wěn)定正定(>0)負(fù)半定(0)且不恒為0(對(duì)任意非零的初始狀態(tài)的解)該平衡態(tài)漸近穩(wěn)定正定(>0)負(fù)半定(0)且恒為0(對(duì)某一非零的初始狀態(tài)的解)該平衡態(tài)穩(wěn)定但非漸近穩(wěn)定正定(>0)正定(>0)該平衡態(tài)不穩(wěn)定正定(>0)正半定(0)且不恒為0(對(duì)任意非零的初始狀態(tài)的解)該平衡態(tài)不穩(wěn)定第41頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.4構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的規(guī)則化方法對(duì)于非線性系統(tǒng)，李雅普諾夫第二法雖然可應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定，但其只是一個(gè)充分條件,并沒(méi)有給出建立李雅普諾夫函數(shù)的一般方法。而只能針對(duì)具體的非線性系統(tǒng)進(jìn)行具體分析。針對(duì)各類非線性系統(tǒng)的特性，分門(mén)別類地構(gòu)造適宜的Lyapunov函數(shù)。如,通過(guò)特殊函數(shù)來(lái)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的克拉索夫斯基法(也叫雅克比矩陣法)針對(duì)特殊函數(shù)的變量梯度構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的變量梯度法(也叫舒爾茨-吉布生法)針對(duì)特殊非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性近似處理的阿依捷爾曼法(也叫線性近似法)、魯立葉法等。第42頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.克拉索夫斯基法設(shè)非線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為對(duì)該系統(tǒng)有如下假設(shè):1)

所討論的平衡態(tài)xe=0;2)

f(x)對(duì)狀態(tài)變量x是連續(xù)可微的，即存在雅可比矩陣對(duì)上述非線性系統(tǒng)，有如下判別漸近穩(wěn)定性的克拉索夫斯基定理。第43頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六為負(fù)定的矩陣函數(shù)，且為該系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。更進(jìn)一步，當(dāng)||x||→∞時(shí)，有||f(x)||→∞，則該平衡態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。在應(yīng)用克拉索夫斯基定理時(shí)，還應(yīng)注意下面幾點(diǎn)。克拉索夫斯基定理只是漸近穩(wěn)定的一個(gè)充分條件，不是必要條件。如對(duì)于漸近穩(wěn)定的線性定常連續(xù)系統(tǒng)定理5-8非線性定常連續(xù)系統(tǒng)的平衡態(tài)xe=0為漸近穩(wěn)定的充分條件為（P237結(jié)論5.20）

第44頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六不是負(fù)定矩陣，故由克拉索夫斯基定理判別不出該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的。可見(jiàn)，該定理僅是一個(gè)充分條件判別定理。若V(x)=fT(x)f(x)正定，為L(zhǎng)yapunov函數(shù)，則說(shuō)明只有當(dāng)x=0時(shí)，才有V(x)=0，即原點(diǎn)是唯一的平衡態(tài)。因此，只有原點(diǎn)是系統(tǒng)的唯一平衡態(tài)，才能用克拉索夫斯基定理判別漸近穩(wěn)定性，并且由該定理判別出的漸近穩(wěn)定的平衡態(tài)一定是大范圍漸近穩(wěn)定的。由克拉索夫斯基定理可知，系統(tǒng)的平衡態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的條件是FT(x)+F(x)為負(fù)定矩陣函數(shù)。由于第45頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六將克拉索夫斯基定理推廣到線性定常連續(xù)系統(tǒng)可知:對(duì)稱矩陣A+AT負(fù)定，則系統(tǒng)的原點(diǎn)是大范圍漸近穩(wěn)定的。（P237結(jié)論5.21）第46頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例5-8

試確定如下非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)的穩(wěn)定性:解由于f(x)連續(xù)可導(dǎo)且可取作李雅普諾夫函數(shù)，因此，有由塞爾維斯特準(zhǔn)則有故矩陣函數(shù)負(fù)定，所以由克拉索夫斯基定理可知，平衡態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的。第47頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x’=Ax，

x(0)=x0狀態(tài)空間原點(diǎn)即xe=0為系統(tǒng)的一個(gè)平衡態(tài)。特征值判據(jù)是:（P238）1.若系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)的平衡態(tài)xe為漸近穩(wěn)定。2.若系統(tǒng)矩陣A的特征值中至少有一個(gè)具有正實(shí)部，則系統(tǒng)的平衡態(tài)xe不穩(wěn)定。3.若系統(tǒng)矩陣A除有實(shí)部為零的特征值外，其余特征值都具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)的平衡態(tài)xe為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定，且零實(shí)部特征值只能為A的最小多項(xiàng)式的單根。第48頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期六李雅普諾夫判據(jù)定理5-9線性定常連續(xù)系統(tǒng)（P239結(jié)論5.24）x’=Ax的平衡態(tài)xe=0為漸近穩(wěn)定的充要條件為:對(duì)給定的任意正定矩陣Q，李雅普諾夫方程PA+ATP=-Q存在唯一的正定矩陣解P，并且正定函數(shù)V(x)=xTPx即為系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。運(yùn)用此方法判定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性時(shí)，最