2017屆遼寧省盤錦市遼河油田第二高級高三上學期期末考試數學（理）試題第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．已知集合，B＝{（1，1），（1，－1），（2，2）}，則A∩B＝A．{（1，1）}B．{（－1，1）}C．{（1，－1）}D．{1，－1}2．如果復數（其中i為虛數單位，b為實數）為純虛數，那么b＝A．1B．2C．4D．－43．已知a＝（1，2），b＝（－4，t），若a∥b，則實數t＝A．－2B．2C．－8D．84．直線y＝2x－1被圓x2＋y2＝1截得的弦長等于A．B．C．D．25．命題p：?x∈表示不大于x的最大整數），輸出r值為A．1B．2C．3D．411．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a3＝5，a5＝9，則取得最小值時，n等于A．6B．5C．4D．312．已知函數f（x）＝sinx＋cosx，g（x）＝x，直線與函數f（x），g（x）的圖象分別交于N、M兩點，記，函數h（t）的極大值為A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分．第（13）題～第（21）題為必考題，每個題目考生都必須作答．第（22）題～第（23）題為選考題，考生根據要求作答．二、填空題：13．雙曲線（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y＝x，則其離心率為________14．二項式展開式中含x2項的系數為________．15．已知函數．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c且滿足，則f（A）的取值范圍是________．16．P為正方體ABCD—A1B1C1D1對角線BD1上的一點，且BP＝λBD1（λ∈①A1D⊥C1P；②若BD1⊥平面PAC，則；若ΔPAC為鈍角三角形，則；④若，則ΔPAC為銳角三角形．其中正確的結論為________．（寫出所有正確結論的序號）三、解答題：寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟17．Sn是數列{an}的前n項和，數列{an}滿足an＋1－2an＝0，且S5＝62．（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）若bn＝11－2log2an，求b1＋b2＋…＋bn．18．小張、小麗、小方三位同學一起參加同一家公司的招聘考試，合格者現場簽約，小張表示合格就簽約，小麗和小方兩同學約定兩人都合格則一同簽約，否則都不簽約，已知小張考試合格的概率為，小麗和小方考試合格的概率都是，三位同學考試是否合格互不影響．（Ⅰ）求至少有1人考試合格的概率；（Ⅱ）求簽約人數X的分布列和數學期望．19．如圖，四邊形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝BD＝3．（Ⅰ）求證：BD⊥PC；（Ⅱ）求二面角A—PC—B的正弦值．20．已知橢圓E：的焦點在x軸上，拋物線C：與橢圓E交于A，B兩點，直線AB過拋物線的焦點．（Ⅰ）求橢圓E的方程和離心率e的值；（Ⅱ）已知過點H（2，0）的直線l與拋物線C交于M、N兩點，又過M、N作拋物線C的切線l1，l2，使得l1⊥l2，問這樣的直線l是否存在？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．21．已知函數fn（x）＝2x－nlnx（n∈N*）．（Ⅰ）判斷fn（x）的單調性；（Ⅱ）當n＝4時，求f4（x）在點（1，f4（1））處的切線方程；（Ⅲ）是否存在函數，fk（x）＝0在（k，k＋1）上有且只有一個解；若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．（e＝2.78，ln8＝2.079，ln9＝2.197，ln10＝2.302）請考生在第（22）、（23）兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑，把答案填在答題卡上．22．選修4——4：坐標系與參數方程已知在平面直角坐標系中，曲線C的方程是x2＋y2－2y＝0，以O為極點，x軸正半軸為極軸，取相同的長度單位建立了極坐標系，直線l的參數方程是（t為參數）．（Ⅰ）將曲線C的直角坐標方程化為極坐標方程（Ⅱ）設直線l與x軸的焦點是M，N是曲線C上一動點，求得取值范圍．23．選修4——5：不等式選講已知（Ⅰ）求不等式f（x）＞5的解集；（Ⅱ）若f（x）≥a2－2a恒成立，求實數a的取值范圍．

理科數學·參考答案、提示及評分細則1．C2．A3．C4．A5．A6．B7．B8．A9．D10．D11．A12．C13．14．13515．16．①②④17．解：（Ⅰ）∵an＋1－2an＝0，即an＋1＝2an，∴數列{an}是以2為公比的等比數列．，a1＝2．∴數列{an}的通項公式an＝2n．（Ⅱ）∵an＝2n，∴bn＝11－2n，∴b1＝9，bn＋1－bn＝－2∴{bn）是公差為－2的等差數列．∴18．解：（Ⅰ）記事件“至少有1人考試合格”為事件A，則事件A的對立事件為“無1人考試合格”．因，故．（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，3，，∴分布列為X0123P故．19．解：（Ⅰ）證明：因為四邊形ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又因為PA⊥平面ABCD，BDC平面ABCD，所以BD⊥PA．因為PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC．∵．∴BD⊥PC．（Ⅱ）方法一：設AC∩BD＝O．過點B作BE⊥PC于點E，連接OE．由（Ⅰ）得BD⊥平面PAC．∴OB⊥OE，ΔOBE是Rt△．又BE⊥PC，OE是BE在平面PAC內的射影，∴OE⊥PC則．∠OEB就是二面角A—PC—B的平面角．易知，，所以．由，得，則．∴在Rt△BOE中，，即二面角A—PC—－B的正弦值為．方法二：（向量法）設AC∩BD＝O，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz，易知，，，則點，，．∴，設n＝（x，y，1）是平面PBC的一個法向量，則由，，得解得，所以．易知是平面APC的一個法向量．設二面角A—PC—B為θ，觀察圖形，可知θ為銳角．∴，∴∴二面角A—PC—B正弦值是．20．解：（Ⅰ）∵x2＝2py，∴，∴代入得∴代點A到得t＝4．∴橢圓E：，a＝2，b＝1，∴，∴離心率．（Ⅱ）依題意，直線l的斜率必存在，設直線l的方程為y＝k（x－2），M（x1，y1），N（x2，y2）．因為所以所以切線l1，l2的斜率分別為，．當l1⊥l2時，，即x1x2＝－2．由得，所以，解得．又恒成立，所以存在直線l的方程是，即．21．解：（Ⅰ），f′n（x）＝0時，當時，f′n（x）＜0，fn（x）為減函數，當時，f′n（x）＞0，fn（x）為增減函數，故fn（x）的單調減區間為，單調增減區間為（Ⅱ）∵f4（x）＝2x－4lnx，∴，∴k＝－2，切點（1，2）∴切線：y＝－2x＋4．（Ⅲ）由（Ⅰ）知時，函數fn（x）－2x－nlnx（n∈N*）取極小值，即為最小值，．當n＜6時，，此時，無解，當n≥6時，，此時，有解若fk（x）＝0在（k，k＋1）上有且只有一個解，需有fk（k）fk＋1（k＋1）＜0．又fk（x）在上為單調函數，∴fk（k）＜0，fk＋1（k＋1）＞0，∴由fk（k）＜0，即k（2－lnk）＜0，可得k≥e2，即k≥8，由fk＋1（k＋1）＞0，即2（k＋1）－kln（k＋1）＞0，令g（k）－2（k＋1）－kln（k＋1）＞0（k≥8），，當k≥8時，ln（k＋1）≥2，∴g′（k）＜0，即g（k）在（8，＋∞）為單調減函數．又g（8）＝18－8ln9＞0，g（9）＝20－9ln10＜0，故k＝8時，f8（x）＝0在（k，k＋1）上有且只有一個解22．解：（Ⅰ）∵x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲線C的極坐標方程為ρ＝si