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文檔簡介
§6.3置
換
群
6.3.1置換的定義
6.3.2置換的輪換表法
6.3.3置換的順向圈表示
6.3.4置換的奇偶性
1精選課件ppt6.3.1置換的定義
定義.設M是一個非空的有限集合,M的一個一對一變換稱為一個置換。設M={a1,a2,…,an},則M的置換σ可簡記為
σ=,bi=σ(ai),i=1,2,…,n
結論:M的置換共有n!個。
M上的置換稱為n元置換。特別地,若σ(ai)=ai,i=1,2,…,n,則σ為n元恒等置換。
Sn:n!個置換作成的集合。2精選課件ppt置換的例設M={1,2,3},則有3!=6個3元置換,所有元素不動:σ1=一個元素不動:σ2=σ3=σ4=0個元素不動:σ5=σ6=故,S3={σ1,σ2,σ3,σ4,σ5,σ6}3精選課件ppt置換的乘法對M中任意元素a及M的任意兩個置換σ,τ,規定στ(a)=σ(τ(a))。例.設σ=,τ=則στ=,
τσ=≠
στ4精選課件ppt滿足結合律:(στ)ρ=σ(τρ),σ,τ,ρ∈
Sn。Sn中有單位元:n元恒等置換,設為σ0,有:σ0τ=τσ0,τ∈Sn每個n元置換在Sn
中都有逆元素:=置換的乘法的性質5精選課件pptn次對稱群n元置換的全體作成的集合Sn對置換的乘法作成一個群,稱為n次對稱群。
n=1,M={a},S1={}—在置換的乘法作成1次對稱群,為Abel群。
n=2,M={a,b},S2={,}.在置換的乘法作成2次對稱群,為Abel群。
當n≥3時,Sn不是交換群。
6精選課件ppt輪換.設σ是M的置換,若可取到M的元素a1,…,ar使σ(a1)=a2,σ(a2)=a3,…,σ(ar-1)=ar,σ(ar)=a1,而σ不變M的其余的元素(自己變換到本身),則σ稱為一個輪換,記為(a1a2…ar)6.3.2置換的輪換表法
輪換的定義7精選課件ppt
例σ=
=(134)=(341)=(413)8精選課件pptM的兩個輪換
σ=(a1…ar)和τ=(b1…bs)說是不相雜或不相交,如果
a1,…,ar和b1,…,bs
都不相同(即{a1,…
,ar}∩{b1,…,bs}=)不相雜輪換9精選課件ppt不相雜輪換結論:若σ和τ是M的兩個不相雜的輪換,則στ=τσ.證明:設σ=(a1…ar),τ=(b1…bs),σ和τ不相雜。命χ為M的任意元若χ∈{a1,…,ar},設χ=ai,則
στ(χ)=στ(ai)=σ(ai)=ai+1,τσ(χ)=τσ(ai)=τ(ai+1)=ai+1。
i=r時,ai+1應改為a1。
故,στ(χ)=τσ(χ)。10精選課件ppt不相雜輪換同理可證,若χ∈{b1,…,bs},,也有στ(χ)=τσ(χ)。設χ{a1,…,ar,b1,…,bs},于是,
στ(χ)=σ(χ)=χ,τσ(χ)=τ(χ)=χ。
綜上,στ(χ)=τσ(χ),故
στ=τσ。
11精選課件ppt定理6.3.2
任意置換σ恰有一法寫成不相雜的輪換乘積。即,任意置換σ可以寫成不相雜的輪換的乘積(可表性),如果不考慮乘積的順序,則寫法是唯一的(唯一性)。不相雜輪換12精選課件ppt證明:
(1)可表性。設σ是M上置換,任取a1∈M。若σ(a1)=a1,則有輪換(a1)。設σ(a1)=a2,σ(a2)=a3,…。由于M有限,故到某一個元素ar,σ(ar)必然不能再是新的元素,即σ(ar)∈{a1,…,ar}。由于σ是一對一的,已有σ(ai)=ai+1,i=1,2,…,r-1,所以σ(ar)只能是a1。于是得到一個輪換(a1…ar)。13精選課件ppt若M已經沒有另外的元素,則σ就等于這個輪換,否則設b1不在a1,…,ar之內,則同樣作法又可得到一個輪換(b1…bs)。因為a1,…,ar各自已有變到它的元素,所以b1,…,bs中不會有a1,…,ar出現,即這兩個輪換不相雜。若M的元素已盡,則σ就等于這兩個輪換的乘積,否則如上又可得到一個輪換。如此類推,由于M有限,最后必得σ=(a1…ar)(b1…bs)…(c1…ct)(1)即σ表成了不相雜的輪換的乘積。
證明14精選課件ppt(2)唯一性.設σ又可表為不相雜的輪換的乘積如下:σ=(a’1…a’r’)(b’1…b’s’)…(c’1…c’t’)(2)考慮(1)式中任意輪換(a1…ar)。
不妨設
a1∈{a’1…a’r’},且a1=a’1。于是,a2=σ(a1)=σ(a’1)=a’2,,a3=σ(a2)=σ(a’2)=a’3,…,證明15精選課件ppt證明
可見,(a1…ar)必和(a’1…a’r’)完全相同。這就是說,(1)中的任意輪換必出現在(2)中,同樣(2)中的任意輪換必出現在(1)中,因之,(1)和(2)一樣,最多排列的方法不同,但不相雜的輪換相乘適合交換律,所以排列的次序本來是可以任意顛倒的。16精選課件ppt例.
設M={1,2,3,4},M的24個置換可寫成:I;(12),(13),(14),(23),(24),(34);(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243);(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)。17精選課件ppt輪換的長度
其中所含的元素個數。(a1a2…ar)長度為r。對換
長度為2的輪換。結論.任意輪換可以寫成對換的乘積。(a1a2…ar)=(a1ar)(a1ar-1)…(a1a3)(a1a2)(3)證明:對r進行歸納,當r=2時命題顯然成立,假設r=t時結論為真,考慮σ=(a1a2…arat+1)的情況。令σ1=(a1at+1),σ2=(a1a2…at),下面證明σ=σ1σ2。對換18精選課件ppt任取lS,若l{a1,a2,…,at-1},不妨設l=am,則σ(l)=σ(am)=am+1,σ1σ2(l)=σ1(am+1)=am+1;若l=at,則σ(l)=at+1=σ1(a1)=σ1(σ2(at))=σ1σ2(at)=σ1σ2(l);若l=at+1,則σ(l)=σ(at+1)=a1=σ1(at+1)=σ1(σ2(at+1))=σ1σ2(l);若l{a1,a2,…,at+1},則σ(l)=l=σ1(l)=σ1(σ2(l))=σ1σ2(l),即σ=σ1σ2=(a1at+1)σ2。由歸納假設,σ2=(a1a2…at),可表為(a1at)(a1at-1)…(a1a2),所以σ=(a1at+1)(a1at)(a1at-1)…(a1a2),歸納法完成。19精選課件ppt有興趣的同學可以采用直接證明的方法進行證明。推論.對任意置換,有一法(未必只有一法)可將其寫成一些對換的乘積。(12)=(12)(13)(13)=(23)(13)(23)。20精選課件ppt先把置換表成不相雜輪換之乘積,然后用一組順向圈來表示每個順向圈的長度,即圈上所含的元素個數,就是該圈所表示的輪換的長度。
一個n元置換對應一組順向圈,這組圈的長度之總和為n;反之,一組順向圈表示一置換,置換的元素個數就是組中各圖長度之總和。
6.3.3置換的順向圈表示
21精選課件ppt132422精選課件ppt
n元置換σ對應圖形表達式
(圖型)Gσ==α1z1+α2z2+…+αrzrzi表示長度為i的圈,而zi的系數αi表示如此的zi的個數;諸α為非負整數,0≤α1≤n,αn=0或1;
α1+2α2+…+rαr=n6.3.3置換的順向圈表示23精選課件ppt設σ表為k個不相雜的輪換的乘積(包括長度為1的輪換在內),長度分別為r1,r2,…,rk。若=n-k為奇數(偶數),則稱σ為奇置換(偶置換)。例如
σ==(134)是偶置換是奇置換6.3.4置換的奇偶性24精選課件ppt因每個長度為r的輪換可寫成r-1個對換的乘積:(a1a2…ar)=(a1ar)(a1ar-1)…(a1a3)(a1a2)于是σ可寫成=n-k個對換的乘積。
結論:奇置換可表為奇數個對換之積,偶置換可表為偶數個對換之積。
25精選課件ppt定理6.3.3
每個置換都能分解為對換的乘積,但偶置換只能分解為偶數個對換的乘積,奇置換只能分解為奇數個對換的乘積。證明.只需證明“只能分解”。任取σ∈Sn,設σ等于k個輪換之積,這些輪換分別含r1,r2,…,rk個元素,于是σ可以寫成
個對換之積,定義置換σ的符號sgnσ如下:sgnσ=26精選課件ppt顯然,偶置換的符號為1,奇置換的符號為-1。首先證明sgnστ=sgnσsgnτ(4)設σ等于k個不相雜輪換之積,τ等于h個不相雜輪換之積,且σ寫成對換乘積時最后一個對換為(ab)。以(ab)乘τ而看其變化。27精選課件ppt(1)若a和b在τ的兩個不同的輪換之內:
τ=(aa1…as)(bb1…bi)
…則
(ab)τ=(aa1…asbb1…bi)
…若τ為h個不相雜輪換之積,則(ab)τ為(h-1)個不相雜輪換之積,故,sgn(ab)τ=(-1)n-(h-1)=-(-1)n-h=-sgnτ(2)若a和b在τ的同一個輪換之內:τ=(aa1…asbb1…bi)…則(ab)τ=(aa1…as)(bb1…bi)…故,
sgn(ab)τ=(-1)n-(h+1)=-(-1)n-h=-sgnτ28精選課件ppt補充證明(ab)=(ab)(aa1…as)(bb1…bi)…=29精選課件ppt總之,以一個對換乘τ則將sgnτ變號,今σ等于(n-k)個對換之積,故以σ乘τ將sgnτ變號(n-k)次,即sgnστ=(-1)n-ksgnτ=sgnσsgnτ因此,σ和τ的奇偶性與其乘積στ的奇偶性之關系如下:
偶×偶=偶,
奇×奇=偶,奇×偶=奇,偶×奇=奇。
因為對換是奇置換,所以只有奇數個對換之積是奇置換,偶數個對換之積是偶置換。
30精選課件ppt定理6.3.4
設M的元數為n,若n>1,則奇置換的個數和偶置換的個數相等,都等于
。證明:命τ1,τ2,…,τm(5)為M的所有偶置換,由于n>1,故可取到一個對換ρ,而作下列乘積:ρτ1,ρτ2,…,ρτm(6)顯然ρτi是奇置換,而且諸ρτi互不相同,即(6)中無重復元素。反證,若ρτi=ρτj,則以ρ-1左乘得τi=τj,矛盾,這說明M的奇置換不少于偶置換。31精選課件ppt
反之,若σ為M的任意奇置換,則ρ-1σ為偶置換,故必等于某一個τi,ρ-1σ=τi,因而σ=ρτi,這說明M的任意奇置換必在(6)中,(6)就是M的所有奇置換,M的奇置換不多于偶置換。于是奇置換的個數和偶置換的個數相等,各占置換總數n!的一半。
32精選課件ppt定義σ之奇偶性的整數=n-k稱為σ的定性數。定理6.3.5設n元置換σ有圖型Gσ=則σ之定性數等于?σ=證明.n=α1+2α2+…+rαr+…+nαnk=α1+α2+…+αr+…+αnn-k=α2+…+(r-1)αr+…+(n-1)αn
=置換的定性數33精選課件ppt例子圖1是一個22的方格圖形,它可以圍繞中心旋轉,也可以圍繞對稱軸翻轉,但要求經過這樣的變動以后的圖形要與原來的圖形重合(方格中的數字可以改變)。例如,當它繞中心逆時針旋轉900以后,原來的數字1,2,3,4分別變為2,3,4和1,可以把這個變化看作是{1,2,3,4}上的圖1一個置換(4321)。下面給出所有可能的置換:σ1=(1)繞中心順時針轉00;σ2=(1234)繞中心順時針轉900;σ3=(13)(24)繞中心順時針轉1800;124334精選課件pptσ4=(1432)繞中心順時針轉2700;σ5=(12)(34)繞垂直軸翻轉1800;σ6=(14)(23)繞水平軸翻轉1800;σ7=(24)繞西北---東南軸翻轉1800;σ8=(13)繞西南---東北軸翻轉1800。表1給出它們的運算表。令D4={σ1,σ2,…,σ8},易見D4關于置換的乘法是封閉的。σ1=(1)是單位元。且σ1-1
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