一類分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題解的存在性與唯一性分?jǐn)?shù)階微積分理論是最近幾年來(lái)發(fā)展起來(lái)的一門(mén)新興數(shù)學(xué)分支，它在數(shù)學(xué)、物理、工程、生物、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。分?jǐn)?shù)階微分方程是分?jǐn)?shù)階微積分的基本工具之一，它可以描述許多具有分形結(jié)構(gòu)的現(xiàn)象，如擴(kuò)散、傳熱、非局部感應(yīng)等。本文主要討論一類分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題解的存在性與唯一性。一、引言分?jǐn)?shù)階微分方程是一類含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的微分方程，它的解具有描述非局部感應(yīng)、擴(kuò)散和傳輸?shù)忍卣鳌７謹(jǐn)?shù)階微分方程在物理、數(shù)學(xué)和工程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在本文中，我們考慮下面的分?jǐn)?shù)階微分方程：$$\\begin{aligned}D_ax(t)-c(x)t^{\\alpha-1}=f(x,t)&,\\quad0<x<1,\\quad0<t<T,\\\\x(0)=x(1)=0,\\quadx(t)&>0,\\quad0\\leqt\\leqT,\\end{aligned}$$其中$0<\\alpha<1$，$D_a^{\\alpha}$是分?jǐn)?shù)階Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)，即$$D_a^{\\alpha}f(t)=\\frac{1}{\\Gamma(1-\\alpha)}\\fracfslznnp{dt}\\int^t_{a}\\frac{f(s)}{(t-s)^{\\alpha}}ds,\\quad\\alpha>0,$$$D_a$是常規(guī)導(dǎo)數(shù)，$c(x)>0$且$c(x)$連續(xù)，$f(x,t)$且$f(x,t)$連續(xù)，具有有界變化和線性增長(zhǎng)，即存在正常數(shù)$M$和$p$及$\\forallx\\in[0,1],t\\in[0,T]$，使得$$|f_x(x,t)|\\leqM,\\quad|f_t(x,t)|\\leqMt^p.$$$x(0)=x(1)=0$且$x(t)>0$是邊值條件。我們的目標(biāo)是證明這個(gè)方程的邊值問(wèn)題存在唯一解。二、存在性為了證明存在性，我們需要利用直接法，即構(gòu)造函數(shù)序列$\\{x_n(t)\\}$近似于$x(t)$，使得$\\{x_n(t)\\}$滿足方程以及邊界條件，并證明$\\{x_n(t)\\}$在特定空間中的極限為$x(t)$。我們構(gòu)造以下的近似函數(shù)序列$$x_n(t)=\\int^1_0G_n(x,t)y(x)dx,$$其中$G_n(x,t)$是滿足下列條件的函數(shù)：$$\\begin{aligned}&\\text{(a)}\\quadG_n(x,t)\\inC^{\\alpha}[0,1]\\times[0,T],\\\\&\\text{(b)}\\quadt^{-\\alpha}D_a^{\\alpha}[G_n(x,t)]=\\begin{cases}1,&n\\leqx\\\\0,&n>x\\end{cases},\\quadx\\in[0,1],t\\in[0,T]\\\\&\\text{(c)}\\quad\\|G_n\\|_{\\infty}\\leqC,\\quad\\text{且}\\|t^{-\\alpha}D_a^{\\alpha}G_n\\|_{\\infty}\\leqC/n,\\end{aligned}$$其中$y(x)=\\int^T_0[x(t)-c(x)t^{\\alpha-1}f(x,t)]dt$。由于$f(x,t)$有界變化和線性增長(zhǎng)，所以$y(x)$是有界的。容易證明上述條件(b)和(c)是可行的。我們現(xiàn)在將上述函數(shù)$G_n(x,t)$帶入到$x_n(t)$中：$$\\begin{aligned}x_n(t)&=\\int^1_0G_n(x,t)y(x)dx\\\\&=\\int^t_0\\int^1_0G_n(x,t)D_a^{\\alpha}y(x)(t-s)^{-\\alpha}dsdx+\\int^1_0G_n(x,t)y(x)dt.\\end{aligned}$$因此，$$\\begin{aligned}x_n(t)-x_0(t)-\\int^t_0\\int^1_0G_n(x,t)c(x)s^{-\\alpha}f(x,s)(t-s)^{-\\alpha}dsdx&=\\int^t_0\\int^1_0G_n(x,t)D_a^{\\alpha}(x_0-c(x)s^{-\\alpha}f(x,s))(t-s)^{-\\alpha}dsdx\\\\&+\\int^1_0G_n(x,t)(y(x)-y_0(x))dt,\\end{aligned}$$其中$x_0(t)=x(0)=0$，$y_0(x)=\\int^T_0c(x)t^{\\alpha-1}f(x,t)dt$。因此，我們必須證明$\\|x_n(t)-x_0(t)-\\int^t_0\\int^1_0G_n(x,t)c(x)s^{-\\alpha}f(x,s)(t-s)^{-\\alpha}dsdx\\|$對(duì)于$n\\rightarrow\\infty$趨向于$0$。然后，我們必須證明$\\int^1_0G_n(x,t)D_a^{\\alpha}(x_0-c(x)s^{-\\alpha}f(x,s))(t-s)^{-\\alpha}dsdx$和$\\int^1_0G_n(x,t)(y(x)-y_0(x))dt$都趨向于$0$。最終得到$x_n(t)$的極限函數(shù)$x(t)$滿足方程以及邊界條件，從而存在性得證。三、唯一性為了證明唯一性，我們需要利用反證法，假設(shè)存在兩個(gè)不同的解$x_1(t)$和$x_2(t)$。定義$E(t)=x_1(t)-x_2(t)$。很明顯，$E(t)$是滿足以下方程：$$D_ax(t)-c(x)t^{\\alpha-1}=0,\\quad0<x<1,\\quad0<t<T,$$且$x(0)=x(1)=0$。現(xiàn)在，我們考慮下面兩個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：是否存在非零解$E(t)$且$E(t)$滿足$E(t)=0$僅在$t=0$和$t=T$時(shí)成立？問(wèn)題2：是否存在一個(gè)正常數(shù)$\\delta$使得如果$E(0)=E(T)=0$，則$\\|E(t)\\|<\\delta$對(duì)于所有的$t\\in[0,T]$成立？問(wèn)題1的解非常簡(jiǎn)單。令$h(x)=c(x){\\Gamma(2-\\alpha)}^{-1}x^{2-\\alpha}$，則$h\\inC^1[0,1]$且$h(x)>0$。令$$Q(t)=\\int^1_0E'^{2}(x,t)h(x)dx,\\quad\\text{且}\\quadH(t)=\\int^1_0|E_x(x,t)|^2dx,$$由于$E(t)$滿足$E(0)=E(T)=0$，則有$Q(0)=Q(T)=H(0)=H(T)=0$。因此，$Q(t)$和$H(t)$的上升性質(zhì)保證了在$[0,T]$上，如果$E(t)$非零，則存在$t_0\\in(0,T)$，使得$Q(t_0)>0$或$H(t_0)>0$。因此，$E(t)$不能是在$(0,T)$上嚴(yán)格正的。問(wèn)題2的解也非常簡(jiǎn)單。由于$E(t)$滿足$E(t)=0$僅在$t=0$和$t=T$時(shí)成立，則必須存在一個(gè)$\\delta>0$和$0<t_0<T/2$，使得$|E(t_0)|=\\delta$。由此，可以定義$h_0=c(x)\\Gamma(2-\\alpha)^{-1}x^{2-\\alpha}$，則：$$\\begin{aligned}\\fracopp4ttq{dt}(\\delta^2H)&=\\int^1_0E\\left[D_ax-\\frac{c(x)t^{\\alpha-1}}{\\Gamma(2-\\alpha)x^{2-\\alpha}}E_x\\right](x,t)h_0(x)dx\\\\&=\\int^1_0E\\left[\\frac9lqn1lx{dx}\\left(c(x)\\frac{t^{\\alpha}}{\\Gamma(2-\\alpha)}E_x\\right)+c'(x)\\frac{t^{\\alpha}}{\\Gamma(2-\\alpha)}E_x\\right](x,t)h_0(x)dx\\\\&=\\int^1_0E\\fractvjx6qv{dx}\\left(c(x)\\frac{t^{\\alpha}}{\\Ga