與四邊形、三角形、相似有關的動態問題PAGEPAGEPAGE4三角形，四邊形，圓與相似相關的動態問題1．（8分）如圖，已知的半徑為6cm，射線經過點，，射線與相切于點．兩點同時從點出發，點以5cm/s的速度沿射線方向運動，點以4cm/s的速度沿射線方向運動．設運動時間為s．ABQOABQOPNM（2）當為何值時，直線與相切？3如圖10，平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC邊上的高AM=4，E為BC邊上的一個動點（不與B、C重合）．過E作直線AB的垂線，垂足為F．FE與DC的延長線相交于點G，連結DE，DF．．（1）求證：ΔBEF∽ΔCEG．（2）當點E在線段BC上運動時，△BEF和△CEG的周長之間有什么關系？并說明你（3）請探索：是否存在這樣的點，使得將沿對折后，點恰好落在上？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．6（本題滿分9分）（1）如圖7，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結AC和BD，相交于點E，連結BC．求∠AEB的大小；CBCBOD圖7AEBAODCE圖8（2）如圖8，ΔOAB固定不動，保持ΔOCD的形狀和大小不變，將ΔOCD繞著點O旋轉（ΔOAB和ΔOCD不能重疊），求∠AEB的大小.7如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點P在AB上從A向B運動，連接DP交AC于點Q。（1）試證明：無論點P運動到AB上何處時，都有△ADQ≌△ABQ；（2）當點P在AB上運動到什么位置時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；（3）若點P從點A運動到點B，再繼續在BC上運動到點C，在整個運動過程中，當點P運動到什么位置時，△ADQ恰為等腰三角形。8如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的角平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．（1）求證：EO=FO；（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論．9小華將一張矩形紙片（如圖1）沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片（如圖2），其中，然后將這兩張三角形紙片按如圖3所示的位置擺放，紙片的直角頂點落在紙片的斜邊上，直角邊落在所在的直線上.若與相交于點，取的中點，連接、，當紙片沿方向平移時（如圖3），請你觀察、測量、的長度，猜想并寫出與的數量關系，然后證明你的猜想；在（1）的條件下，求出的大小（用含的式子表示），并說明當°時，是什么三角形？圖1圖2在圖3的基礎上，將紙片繞點逆時針旋轉一定的角度（旋轉角度小于90°），此時變成，同樣取的中點，連接、（如圖4），請繼續探究與的數量關系和的大小，直接寫出你的猜想，不需要證明，并說明為何值時，為等邊三角形.圖1圖2圖4圖3圖4圖3 10如圖1，正方形和正三角形的邊長都為1，點分別在線段上滑動，設點到的距離為，到的距離為，記為（當點分別與重合時，記）．（1）當時（如圖2所示），求的值（結果保留根號）；（2）當為何值時，點落在對角形上？請說出你的理由，并求出此時的值（結果保留根號）；（3）請你補充完成下表（精確到0.01）：0.0300.290.290.130.03（4）若將“點分別在線段上滑動”改為“點分別在正方形邊上滑動”．當滑動一周時，請使用（3）的結果，在圖4中描出部分點后，勾畫出點運動所形成的大致圖形．AHFDGAHFDGCBE圖1圖2B(E)A(F)DCGHADCB圖3HHDACB圖412．如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點(點G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結BG，DE．我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系：（1）①猜想如圖1中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系；②將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉任意角度，得到如圖2、如圖3情形．請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷．（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(ab，k0)，第(1)題①中得到的結論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡要說明理由．（3）在第(2)題圖5中，連結、，且a=3，b=2，k=，求的值．14課堂上，老師將圖①中繞點逆時針旋轉，在旋轉中發現圖形的形狀和大小不變，但位置發生了變化．當旋轉時，得到．已知，．（1）的面積是；點的坐標為（，）；點的坐標為（，）；（2）課后，小玲和小惠對該問題繼續進行探究，將圖②中繞的中點逆時針旋轉得到，設交于，交軸于．此時，和的坐標分別為，和，且經過點．在剛才的旋轉過程中，小玲和小惠發現旋轉中的三角形與重疊部分的面積不斷變小，旋轉到時重疊部分的面積（即四邊形的面積）最小，求四邊形的面積．（3）在（2）的條件下，外接圓的半徑等于．yyx11B1A1A(4，2)B(3，0)O圖①yx11A(4,2)B(3,0)O圖②(1,3)(3,2)D(3,-1)CE16．如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．解答下列問題：（1）如果AB=AC，∠BAC=90o．=1\*GB3①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關系為，數量關系為．=2\*GB3②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，=1\*GB3①中的結論是否仍然成立，為什么？第16題圖第16題圖圖甲圖乙圖丙（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，點D在線段BC上運動．試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？畫出相應圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）（3）若AC＝，BC=3，在（2）的條件下，設正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，求線段CP長的最大值．17（本題滿分8分）如圖所示，的直徑AB=4，點P是AB延長線上的一點，過P點作的切線，切點為C，連結AC.（1）若∠CPA=30求PC的長；MPOCBA(2）若點P在AB的延長線上運動，∠CPA的平分線交AC于點M.你認為∠CMPMPOCBA18.兩個全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起，其中∠A=60°，AC=1.固定△ABC不動，將△DEF進行如下操作：(1)如圖11(1)，△DEF沿線段AB向右平移(即D點在線段AB內移動)，連結DC、CF、FB，四邊形CDBF的形狀在不斷的變化，但它的面積不變化，請求出其面積.AABEFCD圖11(1)(2)如圖11(2)，當D點移到AB的中點時，請你猜想四邊形CDBF的形狀，并說明理由.AABEFCD圖11(2)(3)如圖11(3)，△DEF的D點固定在AB的中點，然后繞D點按順時針方向旋轉△DEF，使DF落在AB邊上，此時F點恰好與B點重合，連結AE，請你求出sinα的值.AAB(E)(F)CD圖11(3)E(F)α3.(2008年永州)（10分）如圖，已知⊙O的直徑AB＝2，直線m與⊙O相切于點A，P為⊙O上一動點（與點A、點B不重合），PO的延長線與⊙O相交于點C，過點C的切線與直線m相交于點D．（1）求證：△APC∽△COD．（2）設AP＝x，OD＝y，試用含x的代數式表示y．（3）試探索x為何值時，△ACD是一個等邊三角形．1．(2008年內江市)如圖，當四邊形的周長最小時，．22.（2008年湖北省宜昌市））如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，P是邊AB（含端點）上的動點，過P作BC的垂線PR，R為垂足，∠PRB的平分線與AB相交于點S，在線段RS上存在一點T，若以線段PT為一邊作正方形PTEF，其頂點E、F恰好分別在邊BC、AC上.（1）△ABC與△SBR是否相似？說明理由；（2）請你探索線段TS與PA的長度之間的關系；（3）設邊AB=1，當P在邊AB（含端點）上運動時，請你探索正方形PTEF的面積y的最小值和最大值.21.(2008年·東莞市)（本題滿分9分）（1）如圖7，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結AC和BD，相交于點E，連結BC．求∠AEB的大小；CBCBOD圖7AEBAODCE圖8（2）如圖8，ΔOAB固定不動，保持ΔOCD的形狀和大小不變，將ΔOCD繞著點O旋轉（ΔOAB和ΔOCD不能重疊），求∠AEB的大小.答案：1.（2008年泰安市）（第19題）P1如圖，將邊長為1的正三角形沿軸正方向連續翻轉2008次，點依次落在點的位置，則點的橫坐標為．（第19題）P答案：2008解析：由題意得：的橫坐標為1，的橫坐標為2，有一定的規律，橫坐標每翻轉一次，就增加1，所以點的橫坐標為2008。（2010哈爾濱）１．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝10，在△DCE中，∠DCE＝90°，DC＝EC＝6，點D在線段AC上，點E在線段BC的延長線上．將△DCE繞點C旋轉60°得到△D′CE′（點D的對應點為點D′，點E的對應點為點E′），連接AD′、BE′，過點C作CN⊥BE′，垂足為N，直線CN交線段AD′于點M，則MN的長為．如圖，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC勻速運動，其中點P運動的速度是1cm/s，點Q運動的速度是2cm/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設運動時間為t（s），解答下列問題：（1）當t＝2時，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；（2）設△BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數關系式；（3）作QR//BA交AC于點R，連結PR，當t為何值時，△APR∽△PRQ？AUTONUM．（2008年龍巖市）（14分）如圖，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，動點P從點C出發沿CD方向向點D運動，動點Q同時以相同速度從點D出發沿DA方向向終點A運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動.（1）求AD的長；（2）設CP=x，問當x為何值時△PDQ的面積達到最大，并求出最大值；（第25題圖）

）（備用圖）（3）探究：在BC邊上是否存在點M使得四邊形PDQM是菱形？若存在，請找出點M（第25題圖）

）（備用圖）(2010臺州市)22．類比學習：一動點沿著數軸向右平移3個單位，再向左平移2個單位，相當于向右平移1個單位．用實數加法表示為3+（）=1．若坐標平面上的點作如下平移：沿x軸方向平移的數量為a（向右為正，向左為負，平移個單位），沿y軸方向平移的數量為b（向上為正，向下為負，平移個單位），則把有序數對{a，b}叫做這一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}與“平移量”{c，d}的加法運算法則為．解決問題：（1）計算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}．（2）①動點P從坐標原點O出發，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把動點P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置還是點B嗎?在圖1中畫出四邊形OABC.②證明四邊形OABC是平行四邊形.（3）如圖2，一艘船從碼頭O出發，先航行到湖心島碼頭P（2，3），再從碼頭P航行到碼頭Q（5，5），最后回到出發點O.請用“平移量”加法算式表示它的航行過程．（第（第22題）yO圖2Q（5,5）P（2,3）yO圖111xx解：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}．……………2分yO11yO11xABC（2）①畫圖…………………2分最后的位置仍是B．……1分②證明：由①知，A（3，1），B(4，3)，C（1，2）∴OC=AB==，OA=BC==，∴四邊形OABC是平行四邊形．…………3分（3）{2，3}+{3，2}+{-5，-5}={0,0}．……2分（2010河南）19．（9分）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中點，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45°，點P是BC邊上一動點，設PB的長為x．（1）當x的值為____________時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形；（2）當x的值為____________時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形；；（3）點P在BC邊上運動的過程中，以P、A、D、E為頂點的四邊形能否構成菱形？試說明理由．(1)3或8(2)1或11(3)由(2)可知，當BP=11時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形∴EP=AD=5過D作DF⊥BC于F，則DF=FC=4，∴FP=3∴DP=5∴EP=DP故此時□PDAE是菱形即以點P、A、D、E為頂點的四邊形能構成菱形。（2010廣東中山）22．如圖（1），（2）所示，矩形ABCD的邊長AB=6，BC=4，點F在DC上，DF=2。動點M、N分別從點D、B同時出發，沿射線DA、線段BA向點A的方向運動（點M可運動到DA的延長線上），當動點N運動到點A時，M、N兩點同時停止運動。連接FM、FN，當F、N、M不在同一直線時，可得△FMN，過△FMN三邊的中點作△PQW。設動點M、N的速度都是1個單位/秒，M、N運動的時間為x秒。試解答下列問題：（1）說明△FMN∽△QWP；（2）設0≤x≤4（即M從D到A運動的時間段）。試問x為何值時，△PQW為直角三角形？當x在何范圍時，△PQW不為直角三角形？（3）問當x為何值時，線段MN最短？求此時MN的值。第22題圖（2）A第22題圖（2）ABCDFMNWPQ第22題圖（1）ABMCFDNWPQ22、（1）提示：∵PQ∥FN，PW∥MN∴∠QPW=∠PWF，∠PWF=∠MNF∴∠QPW=∠MNF同理可得：∠PQW=∠NFM或∠PWQ=∠NFM∴△FMN∽△QWP（2）當時，△PQW為直角三角形；當0≤x<，<x<4時，△PQW不為直角三角形。（3）（2010·浙江溫州）24．(本題l4分)如圖，在RtAABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過點B作射線BBl∥AC．動點D從點A出發沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運動，同時動點E從點C出發沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動．過點D作DH⊥AB于H，過點E作EF上AC交射線BB1于F，G是EF中點，連結DG．設點D運動的時間為t秒．(1)當t為何值時，AD=AB，并求出此時DE的長度；(2)當△DEG與△ACB相似時，求t的值；(3)以DH所在直線為對稱軸，線段AC經軸對稱變換后的圖形為A′C′．①當t>時，連結C′C，設四邊形ACC′A′的面積為S，求S關于t的函數關系式；②當線段A′C′與射線BB，有公共點時，求t的取值范圍(寫出答案即可)．（2010·浙江湖州）25．如圖，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是線段AD邊上的任意一點（不含端點A、D），連結PC，過點P作PE⊥PC交AB于E（1）在線段AD上是否存在不同于P的點Q，使得QC⊥QE？若存在，求線段AP與AQ之間的數量關系；若不存在，請說明理由；ABC第25題DPE（2）當點P在AD上運動時，對應的點ABC第25題DPE（此題沒有給答案）24．（2010年山東省青島市）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點B出發，以2cm/s的速度沿BA向點A勻速移動.當△DEF的頂點D移動到AC邊上時，△DEF停止移動，點P也隨之停止移動．DE與AC相交于點Q，連接PQ，設移動時間為t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列問題：（1）當t為何值時，點A在線段PQ的垂直平分線上？（2）連接PE，設四邊形APEC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式；是否存在某一時刻t，使面積y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，說明理由．（3）是否存在某一時刻t，使P、Q、F三點在同一條直線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．（圖（3）供同學們做題使用）ABABC圖（3）ADBCF（E）圖（1）ADBCFE圖（2）PQ（用圓珠筆或鋼筆畫圖（用圓珠筆或鋼筆畫圖）【答案】解：（1）∵點A在線段PQ的垂直平分線上，∴AP=AQ.∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC=180°，∴∠EQC=45°.∴∠DEF=∠EQC.∴CE=CQ.由題意知：CE=t，BP=2t， ∴CQ=t.∴AQ=8－t.在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm.則AP=10－2t.∴10－2t=8－t.解得：t=2.答：當t=2s時，點A在線段PQ的垂直平分線上. 4分圖（2）QADBCFEPM圖（2）QADBCFEPM∴.在Rt△ABC和Rt△BPM中，，∴.∴PM=.∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6－t.∴y=S△ABC－S△BPE=－=－==.∵，∴拋物線開口向上.∴當t=3時，y最小=.答：當t=3s時，四邊形APEC的面積最小，最小面積為cm2. 8分CEADBF圖（3）PQN（3CEADBF圖（3）PQN過P作，交AC于N，∴.∵，∴△PAN∽△BAC.∴.∴.∴，.∵NQ=AQ－AN，∴NQ=8－t－()=．∵∠ACB=90°，B、C（E）、F在同一條直線上，∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ.∵∠FQC=∠PQN，∴△QCF∽△QNP.∴.∴.∵∴解得：t=1.答：當t=1s，點P、Q、F三點在同一條直線上.25．（2010年門頭溝區）已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°,∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N，AH⊥MN于點H．（1）如圖①，當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時，請你直接寫出AH與AB的數量關系：；（2）如圖②，當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時，（1）中發現的AH與AB的數量關系還成立嗎？如果不成立請寫出理由．如果成立請證明；（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點H，且MH=2，NH=3，求AH的長．（可利用（2）得到的結論）圖圖①【關鍵詞】正方形與旋轉【答案】解：（1）如圖①AH=AB………..1分（2）數量關系成立.如圖②，延長CB至E，使BE=DN∵ABCD是正方形∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°∴Rt△AEB≌Rt△AND………………3分∴AE=AN，∠EAB=∠NAD∴∠EAM=∠NAM=45°∵AM=AM∴△AEM≌△ANM………………….4分∵AB、AH是△AEM和△ANM對應邊上的高，∴AB=AH……………...5分（3）如圖③分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°分別延長BM和DN交于點C，得正方形ABCE．由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD.設AH=x，則MC=, NC=圖②在Rt⊿MCN中，由勾股定理，得∴………6分解得.（不符合題意，舍去）∴AH=6.……………7分[來源:Zxxk.Com]圖③1.(2010福建泉州市惠安縣)如圖，正方形ABCD的邊長是3cm，一個邊長為1cm的小正方形沿著正方形ABCD的邊AB→BC→CD→DA→AB連續地翻轉，那么這個小正方形第一次回到起始位置時，它的方向第7題圖是下圖的（）第7題圖AABCD【關鍵詞】翻轉,旋轉【答案】A2.(2010福建泉州市惠安縣)如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝8，CD＝10．(1)求梯形ABCD的周長；(2)動點P從點B出發，以1cm/s的速度沿B→A→D→C方向向點C運動；動點Q從點C出發，以1cm/s的速度沿C→D→A方向向點A運動；過點Q作QF⊥BC于點F．若P、Q兩點同時出發，當其中一點到達終點時整個運動隨之結束，設運動時間為t秒．問：①當點P在B→A上運動時，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長平分？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由.②在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．【關鍵詞】運動與等腰三角形【答案】解：（1）過點D作DE⊥BC于點E∵四邊形ABCD是直角梯形∴四邊形ABED是矩形∴AD=BE=2，AB=DE=8在Rt△DEC中，CE===6∴梯形ABCD的周長=AB+BC+CD+DA=28.（2）①∵梯形ABCD的周長為28，PQ平分梯形ABCD的周長∴BP+BC+CQ=14又∵BP=CQ=t∴t+8+t=14∴t=3∴當t=3時，PQ平分梯形ABCD的周長.②（i）當0≤t≤8時，過點Q 作QG⊥AB于點G∵AP=8－t，DQ=10－t，AD=2，sinC=，cosC=∴CF=，QF=，PG==，QG=8－=（8－t）2+22=t2+16t+68，PQ2=QG2+PG2=（8－）2+（）2=若DQ=PD，則（10－t）2=t2+16t+68，解得：t=8；若DQ=PQ，則（10－t）2=，解得：t1=，t2=＞8（舍去），此時t=；（ii）當8＜t＜10時，PD=DQ=10－t，∴此時以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立；而當t=10時，點P、D、Q三點重合，無法構成三角形；（iii）當10＜t≤12時，PD=DQ=t－10，∴此時以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立；綜上所述，當t=或8≤t＜10或10＜t≤12時，以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形.（2010遼寧省丹東市）25．如圖，已知等邊三角形ABC中，點D，E，F分別為邊AB，AC，BC的中點，M為直線BC上一動點，△DMN為等邊三角形（點M的位置改變時，△DMN也隨之整體移動）．（1）如圖①，當點M在點B左側時，請你判斷EN與MF有怎樣的數量關系？點F是否在直線NE上？都請直接寫出結論，不必證明或說明理由；（2）如圖②，當點M在BC上時，其它條件不變，（1）的結論中EN與MF的數量關系是否仍然成立?若成立，請利用圖②證明；若不成立，請說明理由；（3）若點M在點C右側時，請你在圖③中畫出相應的圖形，并判斷（1）的結論中EN與MF的數量關系是否仍然成立?若成立?請直接寫出結論，不必證明或說明理由．圖圖①圖②圖③第25題圖A·BCDEF···【關鍵詞】等邊三角形【答案】25．（1）判斷：EN與MF相等（或EN=MF），點F在直線NE上， 3分（說明：答對一個給2分）（2）成立． 4分證明：法一：連結DE，DF． 5分∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三邊的中點，∴DE，DF，EF為三角形的中位線．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE． 7分在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE． 8分∴MF=NE． 9分NNCABFMDENCABFMDE法二：延長EN，則EN過點F． 5分∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三邊的中點，∴EF=DF=BF．∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN． 7分又∵DM=DN，∠ABM=∠DFN=60°，∴△DBM≌△DFN． 8分∴BM=FN．∵BF=EF，∴MF=EN． 9分法三：連結DF，NF． 5分∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC=AC．又∵D，E，F是三邊的中點，∴DF為三角形的中位線，∴DF=AC=AB=DB．又∠BDM+∠MDF=60°，∠NDF+∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN． 7分在△DBM和△DFN中，DF=DB，DM=DN，∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN．∴∠B=∠DFN=60°． 8分又∵△DEF是△ABC各邊中點所構成的三角形，∴∠DFE=60°．∴可得點N在EF上，∴MF=EN． 9分（3）畫出圖形（連出線段NE）， 11分MF與EN相等的結論仍然成立（或MF=NE成立）． 12分1.（2010年福建省晉江市）如圖，在等邊中，線段為邊上的中線.動點在直線上時，以為一邊且在的下方作等邊，連結.(1)填空：度；(2)當點在線段上(點不運動到點)時，試求出的值；(3)若，以點為圓心，以5為半徑作⊙與直線相交于點、兩點，在點運動的過程中(點與點重合除外)，試求的長.AABC備用圖(1)ABC備用圖(2)【關鍵詞】等邊三角形、動點問題【答案】(1)60；(2)∵與都是等邊三角形∴，，∴∴∴≌∴，∴.(3)①當點在線段上（不與點重合）時，由(2)可知≌，則，作于點，則，連結，則.在中，，，則.在中，由勾股定理得：，則.②當點在線段的延長線上時，∵與都是等邊三角形∴，，∴∴∴≌∴，同理可得：.③當點在線段的延長線上時，∵與都是等邊三角形∴，，∴∴∴≌∴∵∴∴.同理可得：.綜上，的長是6.（2010年寧德市）（本題滿分13分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.點E、F同時從B點出發，沿射線BC向右勻速移動.已知F點移動速度是E點移動速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊△EFG．設E點移動距離為x（x＞0）.⑴△EFG的邊長是____（用含有x的代數式表示），當x＝2時，點G的位置在_______；⑵若△EFG與梯形ABCD重疊部分面積是y，求①當0＜x≤2時，y與x之間的函數關系式；②當2＜x≤6時，y與x之間的函數關系式；⑶探求⑵中得到的函數y在x取含何值時，存在最大值，并求出最大值.BE→F→CBE→F→CADG【答案】解：⑴x，D點；⑵①當0＜x≤2時，△EFG在梯形ABCD內部，所以y＝x2；②分兩種情況：Ⅰ.當2＜x＜3時，如圖1，點E、點F在線段BC上，△EFG與梯形ABCD重疊部分為四邊形EFNM，∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.由于在Rt△NMG中，∠G＝60°，所以，此時y＝x2－（3x－6）2＝.Ⅱ.當3≤x≤6時，如圖2，點E在線段BC上，點F在射線CH上，△EFG與梯形ABCD重疊部分為△ECP，∵EC＝6－x,∴y＝（6－x）2＝.⑶當0＜x≤2時，∵y＝x2在x＞0時，y隨x增大而增大，∴x＝2時，y最大＝；當2＜x＜3時，∵y＝在x＝時，y最大＝；當3≤x≤6時，∵y＝在x＜6時，y隨x增大而減小，∴x＝3時，y最大＝.BECFADGPH圖2綜上所述：當x＝時，yBECFADGPH圖2BEFCBEFCADGNM圖12.(2010福建泉州市惠安縣)如圖，把兩個全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起，使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合（如圖①）.現將三角板EFG繞O點按順時針方向旋轉（旋轉角α滿足條件：00＜α＜900），四邊形CHGK是旋轉過程中兩三角板的重疊部分（如圖②）.（1）在上述過程中，BH與CK有怎樣的數量關系？證明你發現的結論；(2)連接HK，在上述旋轉過程中，設BH=x，△GKH的面積為y,①求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；②當△GKH的面積恰好等于△ABC面積的EQ\F(5,16)，求此時BH的長.圖圖①圖②【關鍵詞】二次函數【答案】（1）BH=CK.如圖2，∵點O是等腰直角三角板ABC斜邊中點∴∠B=∠GCK=450，BG=CG由旋轉的性質，知∠BGH=∠CGK∴△BGH≌△CGK∴BH=CK.（2）①由(1)易知S四邊形CHGK=△ABC=4，∴S△GKH=S四邊形CHGK-S△KCH=4-CH×CK得y=（0＜χ＜4）②當y=EQ\F(5,16)×8=時，即=，解得χ=1或χ=3.∴當△GKH的面積恰好等于△ABC面積的EQ\F(5,16)時，BH=1或BH=3.（2010年常州）28.（本小題滿分10分）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點P、Q分別是AB邊和CD邊上的動點，點P從點A向點B運動，點Q從點C向點D運動，且保持AP-CQ.設AP=（1）當PQ∥AD時，求的值；（2）當線段PQ的垂直平分線與BC邊相交時，求的取值范圍；（3）當線段PQ的垂直平分線與BC相交時，設交點為E，連接EP、EQ，設△EPQ的面積為S，求S關于的函數關系式，并寫出S的取值范圍.3.（2010山東青島市）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點B出發，以2cm/s的速度沿BA向點A勻速移動.當△DEF的頂點D移動到AC邊上時，△DEF停止移動，點P也隨之停止移動．DE與AC相交于點Q，連接PQ，設移動時間為t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列問題：（1）當t為何值時，點A在線段PQ的垂直平分線上？（2）連接PE，設四邊形APEC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式；是否存在某一時刻t，使面積y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，說明理由．ADBCF（E）圖（1）ADBCADBCF（E）圖（1）ADBCFE圖（2）PQ解：（1）∵點A在線段PQ的垂直平分線上，∴AP=AQ.∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC=180°，∴∠EQC=45°.∴∠DEF=∠EQC.∴CE=CQ.由題意知：CE=t，BP=2t， ∴CQ=t.∴AQ=8－t.在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm.則AP=10－2t.∴10－2t=8－t.解得：t=2.答：當t=2s時，點A在線段PQ的垂直平分線上. 4分圖（2）QADBCFEP圖（2）QADBCFEPM∴.在Rt△ABC和Rt△BPM中，，∴.∴PM=.∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6－t.∴y=S△ABC－S△BPE=－=－==.∵，∴拋物線開口向上.∴當t=3時，y最小=.答：當t=3s時，四邊形APEC的面積最小，最小面積為cm2. 8分（3）假設存在某一時刻t，使點P、Q、F三點在同一條直線上.過P作，交AC于N，CEADCEADBF圖（3）PQN∵，∴△PAN∽△BAC.∴.∴.∴，.∵NQ=AQ－AN，∴NQ=8－t－()=．∵∠ACB=90°，B、C（E）、F在同一條直線上，∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ.∵∠FQC=∠PQN，∴△QCF∽△QNP.∴.∴.∵∴解得：t=1.答：當t=1s，點P、Q、F三點在同一條直線上. 12分(2010臺州市)（第24題）H24．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．點P，Q都是斜邊AB上的動點，點P從B向A運動（不與點B重合），點Q從A向B運動，BP=AQ．點D，E分別是點A，B以Q，P為對稱中心的對稱點，HQ⊥AB于Q，交AC于點H．當點E到達頂點A時，P，Q同時停止運動．設BP的長為x，△HDE的面積為y（第24題）H（1）求證：△DHQ∽△ABC；（2）求y關于x的函數解析式并求y的最大值；（3）當x為何值時，△HDE為等腰三角形？24．（14分）（1）∵A、D關于點Q成中心對稱，HQ⊥AB，∴=90°，HD=HA，∴，…………3分（圖1）（圖2）∴△DHQ∽△ABC．……………………1分（圖1）（圖2）（2）①如圖1，當時，ED=，QH=，此時．…………3分當時，最大值．②如圖2，當時，ED=，QH=，此時．…………2分當時，最大值．∴y與x之間的函數解析式為y的最大值是．……………………1分（3）①如圖1，當時，若DE=DH，∵DH=AH=，DE=，∴=，．顯然ED=EH，HD=HE不可能；……………………1分②如圖2，當時，若DE=DH，=，；…………1分若HD=HE，此時點D，E分別與點B，A重合，；………1分若ED=EH，則△EDH∽△HDA，∴，，．……1分∴當x的值為時，△HDE是等腰三角形.24．(東營市本題滿分10分)如圖，在銳角三角形ABC中，，△ABC的面積為48，D，E分別是邊AB，AC上的兩個動點（D不與，重合），且保持DE∥BC，以DE為邊，在點的異側作正方形DEFG.（1）當正方形DEFG的邊GF在BC上時，求正方形DEFG的邊長；B（第24題圖）ADEFGCB（備用圖（1））ACB（備用圖（2））AC（2）設DE=xB（第24題圖）ADEFGCB（備用圖（1））ACB（備用圖（2））ACBB（第24題圖(1)）ADEFGCMN解：（1）當正方形DEFG的邊GF在BC上時，如圖（1），過點A作BC邊上的高AM，交DE于N，垂足為M.∵S△ABC=48，BC=12，∴AM=8.∵DE∥BC，△ADE∽△ABC,………1分∴，而AN=AM－MN=AM－DE，∴.………2分解之得.∴當正方形DEFG的邊GF在BC上時，正方形DEFG的邊長為4.8.…3分B（第24題圖（2））B（第24題圖（2））ADEFGC①當正方形DEFG在△ABC的內部時，如圖（2），△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形DEFG的面積，∵DE=x，∴，此時x的范圍是≤4.8…4分②當正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時，如圖（2），設DG與BC交于點Q，EF與BC交于點P，MB（第24題圖(3)）ADEFGCNMB（第24題圖(3)）ADEFGCNPQ∵DE=x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC,…………5分即，而AN=AM－MN=AM－EP,∴，解得.………6分所以,即.………7分由題意，x>4.8，x<12,所以.因此△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為(0<x≤(0<x≤4.8)當≤4.8時，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為4.82=23.04當時，因為，所以當時，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為.因為24>23.04，所以△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為24.…10分24．（湖北省咸寧市本題滿分12分）如圖，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．動點M以每秒1個單位長的速度，從點A沿線段AB向點B運動；同時點P以相同的速度，從點C沿折線C-D-A向點A運動．當點M到達點B時，兩點同時停止運動．過點M作直線l∥AD，與線段CD的交點為E，與折線A-C-B的交點為Q．點M運動的時間為t（秒）．（2）當0＜t＜2時，如果以C、P、Q為頂點的三角形為直角三角形，求t的值；（3）當t＞2時，連接PQ交線段AC于點R．請探究是否為定值，若是，試求這個定值；若不是，請說明理由．AABCD（備用圖1）ABCD（備用圖2）QABCDlMP（第24題）E解：（1）過點C作于F，則四邊形AFCD為矩形．QABCDlQABCDlMP（第24題）EFRtRt．∴．即，∴．（2）∵為銳角，故有兩種情況：①當時，點P與點E重合．此時，即，∴．ABCDABCD（備用圖1）QPElM此時RtRt∴．由（1）知，，而，∴．∴．ABCD（備用圖2）MQRFABCD（備用圖2）MQRFP（3）為定值．……9分當＞2時，如備用圖2，．由（1）得，．∴． ∴．∴． ∴．∴四邊形AMQP為矩形． ∴∥．……11分∴∴．……12分24.（荊州市12分）如圖，直角梯形OABC的直角頂點O是坐標原點，邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA∥BC，D是BC上一點，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E、F分別是線段OA、AB上的兩動點，且始終保持∠DEF=45°．（1）直接寫出D點的坐標；（2）設OE=x，AF=y，試確定y與x之間的函數關系；（3）當△AEF是等腰三角形時，將△AEF沿EF折疊，得到△，求△與五邊形OEFBC重疊部分的面積．解：（1）D點的坐標是.（2分）（2）連結OD,如圖（1），由結論（1）知：D在∠COA的平分線上，則∠DOE=∠COD=45°,又在梯形DOAB中，∠BAO=45°,∴OD=AB=3由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45°∴∠1=∠2,∴△ODE∽△AEF(4分)∴，即：∴y與x的解析式為：(6分)（3）當△AEF為等腰三角形時，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3種情況.①當EF=AF時，如圖（2）.∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,∴△AEF為等腰直角三角形.D在A’E上（A’E⊥OA）,B在A’F上（A’F⊥EF）∴△A’EF與五邊形OEFBC重疊的面積為四邊形EFBD的面積.∵∴∴∴（也可用）(8分)②當EF=AE時，如圖（3），此時△A’EF與五邊形OEFBC重疊部分面積為△A’EF面積.∠DEF=∠EFA=45°，DE∥AB，又DB∥EA∴四邊形DEAB是平行四邊形∴AE=DB=∴(10分)③當AF=AE時，如圖（4），四邊形AEA’F為菱形且△A’EF在五邊形OEFBC內.∴此時△A’EF與五邊形OEFBC重疊部分面積為△A’EF面積.由（2）知△ODE∽△AEF,則OD=OE=3∴AE=AF=OA-OE=過F作FH⊥AE于H,則∴綜上所述，△A’EF與五邊形OEFBC重疊部分的面積為或1或（12分）26.(湖南常德市)如圖10，若四邊形ABCD、四邊形CFED都是正方形，顯然圖中有AG=CE，AG⊥CE.(1)當正方形GFED繞D旋轉到如圖11的位置時，AG=CE是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.(2)當正方形GFED繞D旋轉到如圖12的位置時，延長CE交AG于H，交AD于M.①求證：AG⊥CH;②當AD=4，DG=時，求CH的長。AABCDEF圖10GAD圖11FEBCGADBCEFHM圖12ABCDEFABCDEFG圖11四邊形、四邊形是正方形，∴