測量誤差基本知識全面實例第1頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日內容提要第六章內容提要：第五章測量誤差基本知識

學習要點

◆建立測量誤差的基本概念

◆觀測值的中誤差

◆觀測值函數的中誤差

——誤差傳播定律

◆權的概念

第2頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日#測量誤差的基本概念5.1測量誤差的分類一.產生測量誤差的原因二.測量誤差的分類和處理原則三.偶然誤差的特性討論測量誤差的目的：

用誤差理論分析、處理測量誤差，評定測量成果的精度，指導測量工作的進行。第3頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日一.產生測量誤差的原因一.產生測量誤差的原因產生測量誤差的三大因素：儀器原因儀器精度的局限,軸系殘余誤差,等。人的原因判斷力和分辨率的限制,經驗,等。外界影響氣象因素(溫度變化,風,大氣折光,

結論：觀測誤差不可避免(粗差除外)有關名詞：觀測條件，等精度觀測。上述三大因素總稱為觀測條件，在上述條件基本一致的情況下進行的各次觀測，稱為等精度觀測。第4頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日二.測量誤差的分類和處理原則二.測量誤差的分類和處理原則

處理方法：

1.對測量結果加改正數消除

2.外業操作時抵消1.系統誤差

——誤差出現的大小、符號相同，或按規律性變化，具有積累性。結論：系統誤差可以消除。兩類測量誤差：系統誤差、偶然誤差例：

誤差

處理方法鋼尺尺長誤差Dk計算改正鋼尺溫度誤差Dt計算改正水準儀視準軸誤差i操作時抵消(前后視等距)

經緯儀視準軸誤差C操作時抵消(盤左盤右取平均)

……

……第5頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日2.偶然誤差2.偶然誤差——誤差出現的大小、符號各不相同，表面看無規律性。例：估讀數、氣泡居中判斷、瞄準、對中等誤差，導致觀測值產生誤差。特點：具有抵償性。處理原則：采用多余觀測，減弱其影響，提高觀測結果的精度。偶然誤差是由人力所不能控制的因素所引起的誤差。第6頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日三.偶然誤差的特性三.偶然誤差的特性1.偶然誤差的定義：

設某一量的真值為X，對該量進行了n次觀測，得n個觀測值，則產生了n個真誤差：(5-1-1)當觀測次數很多時，偶然誤差的出現，呈現出統計學上的規律性：偶然誤差具有正態分布的特性。

(P121表5-1圖5-1)2.偶然誤差的特性第7頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日頻率直方圖偶然誤差具有正態分布的特性

-21-15-9-3+3+9+15+21-24-18-12-60+6+12+18+24x=

y正態分布曲線四個特性：有界性，趨向性，對稱性，抵償性：(5-1-2)表5-2的頻率直方圖第8頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日5.2衡量精度的標準精度：是指在對某一量的多次觀測中，各個觀測值之間的離散程度。若觀測值非常集中，則精度高；反之，則精度低。主要取決于偶然誤差。衡量精度的標準主要有：中誤差、相對誤差和中誤差。一、中誤差：又稱標準誤差，以m表示，用來衡量觀測值精度的高低。在相同的觀測條件下，對某未知量進行n次觀測，其觀測值為

l1、l2

、…

、ln，若該未知量的真值為x，由可得相應的真誤差△1、△2、…、△n(注：△i=li-x)。則中誤差可由各真誤差平方的平均值進行計算：式中:由上式可見，中誤差與與真誤差的關系，它不等于真誤差，只是一組觀測值的精度指標，中誤差越小，誤差分布得越密集，相應的觀測成果的精度就越高，中誤差越大，誤差分布得越離散，相應的觀測成果的精度越低。第9頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日例：設有A、B兩個小組，對一三角形進行了十次觀測，分別求出真誤差為：A：-6″、+5″、+2″、+4″、-2″、+8″、-8″、-7″、+9″、-4″B：-11″、+6″、+15″、+23″、-7″、-2″、+13″、-21″、0″、-18″試求A、B兩組觀測值的中誤差。解：

可見A組觀測精度比B組高。在觀測次數n有限的情況下，中誤差的計算公式首先直接反映出觀測成果中是否存在著大誤差，如上例B組就受到幾個較大誤差的影響。第10頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日二、容許誤差：在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不應超過的限值，用來衡量觀測值是否被采用的標準。又稱限差。通常取2-3倍中誤差作為偶然誤差的容許值，即：第11頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日三、相對誤差：1、絕對誤差：真誤差、中誤差和容許誤差，僅僅表示誤差本身的大小，稱為絕對誤差。在某種情況下，用絕對誤差來評定值的精度，不能反映出觀測的質量。例：丈量兩段距離，D1=100m，m1=±1cm，D2=30m，m2=±1cm，雖然兩者的中誤差相等，但不能它們的丈量精度相同，顯然前者精度較高。這時中誤差已不能反映出觀測的質量，必須用相對誤差來評定。2、相對誤差：絕對誤差的絕對值與相應量之比，它是一個無名數，以分子為1的分數形式來表示。上例中，可直觀發看出，后者的精度高于前者。第12頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日#觀測值的中誤差觀測值的中誤差測量工作中，用中誤差作為衡量觀測值精度的標準。一.用真誤差計算中誤差的公式由偶然誤差：標準差公式：(5-1-5)觀測次數n有限時，用中誤差m表示偶然誤差的離散情形。(5-2-1)中誤差公式為：第13頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日中誤差算例表5-2中誤差算例1第14頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日兩組觀測值中誤差圖形的比較m1較小,誤差分布比較集中，觀測值精度較高；m2較大，誤差分布比較離散，觀測值精度較低。兩組觀測值中誤差圖形的比較：m1=2.7m2=3.6第15頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日用改正數計算中誤差的公式一.用改正數計算中誤差的公式觀測值的真值未知時，用似真誤差V計算中誤差。(5-3-4)設某未知量的觀測值為：(5-3-1)則該量的算術平均值為：得似真誤差(改正數)：(5-4-1)觀測值的中誤差：第16頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日例用改正數計算中誤差解：用算術平均值改正數V計算中誤差：(5-4-1)

按觀測值的改正數計算中誤差表5-3次序觀測值改正數計算1854249-4162854240+5253854242+394854246-115854248-39平均854245[0][60]例2.對某水平角等精度觀測了5次，求其算術平均值及觀測值的中誤差。算術平均值:854245觀測值的中誤差：第17頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日#觀測值函數的中誤差觀測值函數的中誤差

——誤差傳播定律一.觀測值的函數例：高差平均距離實地距離三角邊和或差函數線性函數倍數函數一般函數坐標增量一般函數……第18頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日二.誤差傳播定律轉換成中誤差關系式即誤差傳播定律：(5-5-10)二.一般函數的中誤差公式——誤差傳播定律設有函數為獨立觀測值(a)對(a)全微分(b)用偶然誤差、代替微量元素、得：(c)第19頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日例3：已知某矩形長a=500米，寬b=440米。如邊長測量的相對中誤差為1/4000，求矩形的面積中誤差mp。三.幾種常用函數的中誤差三.幾種常用函數的中誤差求觀測值函數中誤差的步驟：(1).列出函數式；(2).對函數式求全微分；(3).套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。面積公式求全微分面積中誤差解：由題意第20頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日1.倍數函數的中誤差

1.倍數函數的中誤差設有函數式(x為觀測值，K為x的系數)

全微分得中誤差式(5-5-15)解：例4量得地形圖上兩點間長度=168.5mm0.2mm,

計算該兩點實地距離S及其中誤差ms：列函數式求全微分中誤差式第21頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日2.線性函數的中誤差2.線性函數的中誤差

設有函數式

(5-5-11)

全微分

中誤差式

(5-5-12)解：對上式全微分：由中誤差式得：例5：設有某線性函數其中

、

、分別為獨立觀測值，它們的中誤差分別為求Z的中誤差。第22頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日由于等精度觀測時，，代入上式：得(5-5-13)

由此可知，算術平均值的中誤差比觀測值的中誤差縮小了倍。

●對某觀測量進行多次觀測(多余觀測)取平均，是提高觀測成果精度最有效的方法。3.算術平均值的中誤差式

函數式(5-5-1)

全微分中誤差式3.算術平均值的中誤差式第23頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日例6距離誤差例6：對某距離用精密量距方法丈量六次，求①該距離的算術平均值；②觀測值的中誤差；③算術平均值的中誤差；④算術平均值的相對中誤差：凡是相對中誤差，都必須用分子為1的分數表示。第24頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日4.和或差函數的中誤差4.和或差函數的中誤差

函數式：全微分：中誤差式：

(5-5-17)

當等精度觀測時：上式可寫成：(5-5-18)例7測定A、B間的高差，共連續測了9站。設測量每站高差的中誤差，求總高差的中誤差。

解：由(5-5-18)式：第25頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日觀測值函數中誤差公式匯總

觀測值函數中誤差公式匯總

函數式函數的中誤差一般函數倍數函數

和差函數

線性函數