第一章分析基礎函數極限連續—研究對象—研究方法—研究橋梁函數與極限

第一章第一節函數元素a

屬于集合M,記作元素a

不屬于集合M,記作一、集合與區間1.定義及表示法定義1.

具有某種特定性質的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集,記作

.

(或).注:

M

為數集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0與負數的集.簡稱集簡稱元表示法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例:有限集合自然數集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整數集合或有理數集

p與q

互質實數集合

x

為有理數或無理數開區間閉區間無限區間點的

鄰域其中,a

稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.半開區間去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:二、映射與函數某校學生的集合學號的集合按一定規則查號某班學生的集合某教室座位的集合按一定規則入座引例1.引例2.引例3.(點集)(點集)向y

軸投影定義4.設X,Y

是兩個非空集合,若存在一個對應規則f,使得有唯一確定的與之對應,則稱

f

為從X

到Y

的映射,記作元素

y

稱為元素x

在映射

f下的像,記作元素

x稱為元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱為映射f

的定義域;Y

的子集稱為f

的值域

.對映射若,則稱f

為滿射;若有則稱f

為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f

為雙射或一一映射.X(數集或點集

)說明:在不同數學分支中有不同的慣用X(≠

)Y(數集)f稱為X

上的泛函R

f稱為定義在X

上的函數映射又稱為算子.名稱.例如,定義域函數的概念定義5.設數集則稱映射為定義在D

上的函數,記為稱為值域函數圖形:自變量因變量(對應規則)(值域)(定義域)例如,反正弦主值

定義域

對應規律的表示方法:解析法、圖像法、列表法使表達式或實際問題有意義的自變量集合.定義域值域又如,絕對值函數定義域值域對無實際背景的函數,書寫時可以省略定義域.對實際問題,書寫函數時必須寫出定義域；例4.

已知函數解:及寫出f(x)的定義域及值域,并求f(x)的定義域值域三.函數的幾種特性設函數且有區間(1)有界性使稱使稱說明:

還可定義有上界、有下界、無界.(2)單調性為有界函數.在I

上有界.使若對任意正數M,均存在則稱f(x)

無界.稱為有上界稱為有下界當稱為I

上的稱為I

上的單調增函數;單調減函數.(見P11)(3)奇偶性且有若則稱

f(x)為偶函數;若則稱f(x)為奇函數.

說明:若在x=0有定義,為奇函數時,則當必有(4)周期性且則稱為周期函數

,若稱

l

為周期(一般指最小正周期

).周期為周期為注:

周期函數不一定存在最小正周期.例如,常量函數狄利克雷函數x

為有理數x為無理數四.反函數(1)反函數的概念及性質若函數為單射,則存在一新映射習慣上,的反函數記成稱此映射為f

的反函數.,其反函數(減)(減).1)y＝f(x)單調遞增且也單調遞增性質:使其中2)函數與其反函數的圖形關于直線對稱.例如,對數函數互為反函數,它們都單調遞增,其圖形關于直線對稱.指數函數若函數y=f(x)定義在某個區間I上并在該區間上單調（增加或減少），則它的反函數必存在。思考：不單調的函數是不是一定沒有反函數例如：例.正弦函數的定義域為，顯然對于不存在反函數。如果把正弦函數的定義域限制在它的一個單調區間上，就可以得到反函數了。這個反函數成為反正弦函數。記為思考：反正弦函數的值域類似，定義在上的余弦函數的反函數，稱為反余弦函數，記為定義在上的正切函數的反函數，稱為反正切函數，記為定義在上的余切函數的反函數，稱為反余切函數，記為函數統稱為反三角函數五.復合函數,初等函數則設有函數鏈稱為由①,②確定的復合函數

,①②u

稱為中間變量.注意:

構成復合函數的條件不可少.例如,

函數鏈:但可定義復合函數時,雖不能在自然域R下構成復合函數,可定義復合函數當改兩個以上函數也可構成復合函數.例如,可定義復合函數:約定:為簡單計,書寫復合函數時不一定寫出其定義域,

默認對應的函數鏈順次滿足構成復合函數的條件.

初等函數(1)基本初等函數冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數(2)初等函數由常數及基本初等函數否則稱為非初等函數

.例如,并可用一個式子表示的函數,經過有限次四則運算和復合步驟所構成,稱為初等函數.可表為故為初等函數.又如,

雙曲函數與反雙曲函數也是初等函數.非初等函數舉例:符號函數當x>0當x=0當x<0取整函數當

設函數

x

換為f(x)例5.解:例6.求的反函數及其定義域.解:當時,則當時,則當時,則反函數定義域為內容小結1.集合及映射的概念定義域對應規律3.函數的特性有界性,單調性,奇偶性,周期性4.初等函