第七章后半部分改完第一頁，共二十一頁，2022年，8月28日將上述線性方程的根取為根的近似值，即該格式稱為方程求根的Newton迭代格式。若，過處的切線方程為該切線與X軸的交點為Newton法的幾何意義逐次用切線與X軸的交點代替曲線與X軸的交點。Newton法亦稱為切線法第二頁，共二十一頁，2022年，8月28日2.局部收斂性與收斂的階定理設為的根，在開區間內，連續且，則當時，Newton迭代格式至少為二階收斂。

該定理說明Newton迭代格式：①局部收斂性；②收斂階至少為二階；③適用于單根。證明

Newton迭代可以看作由的同解方程構造的不動點迭代。第三頁，共二十一頁，2022年，8月28日因此

故

由于在內連續，得在內連續，

且

故由迭代局部收斂的充分條件知。Newton迭代法局部是收斂，且至少為二階收斂。Remark在Newton迭代中，當初值選的充分接近根，才能保證序列收斂，且迭代為二階收斂。第四頁，共二十一頁，2022年，8月28日3非局部收斂性定理

設，且滿足：

①②對，，（,不變號）③取，使則①在內有唯一的根；②Newton迭代格式產生的序列收斂于且第五頁，共二十一頁，2022年，8月28日證明：①由在上連續，且，知在內至少有一根。

由（即不變號），知在內有唯一的根，且保證了該根為單根。②條件①和有四種情況。僅就的情況證明。由中值定理，存在使得因在上不變號，因而對即在上單調增。又由，可知第六頁，共二十一頁，2022年，8月28日又由，知，而，得又由在的Taylor展開式：其中在x與之間。得即故第七頁，共二十一頁，2022年，8月28日一般地，設，類似可得，且⑴即有因單調遞減且有下界，則必有極限。對取極限，得故Newton迭代格式產生的序列收斂于。由⑴，得故Newton迭代具有二階收斂性。第八頁，共二十一頁，2022年，8月28日更一般的非局部收斂定理如下：定理設在上連續，且①②對

③則對，Newton迭代序列收斂于在內的唯一實根。標準牛頓迭代法僅適用于單根的情形。第九頁，共二十一頁，2022年，8月28日二重根情形的牛頓迭代1標準Newton法設為的m根重根。在的某鄰域內有m階連續導數，這時

將在處展開，有其中介于與之間。第十頁，共二十一頁，2022年，8月28日由Newton迭代函數得第十一頁，共二十一頁，2022年，8月28日由于

對于重根情形，標準牛頓迭代法僅具有局部線性收斂。2改進的Newton法若取稱為改進的Newton法。可證：改進的Newton法是局部平方收斂的。第十二頁，共二十一頁，2022年，8月28日3修正方法因m未知，改進的Newton法使用比較困難。令若是的m重零點，則

即是的單重零點。第十三頁，共二十一頁，2022年，8月28日

修改方法：將求f(x)的零點問題轉化為求單重零點的問題。取迭代函數即則為局部平方收斂。缺點：需要計算，計算量稍大第十四頁，共二十一頁，2022年，8月28日三Newton下山法

牛頓迭代法中，初值選取比較困難時，將對迭代過程附加一項要求：要求迭代后，得到以0為下界的嚴格單調遞減序列這樣當時。從而可得。若序列滿足則稱是f(x)的一個下山序列。求下山序列的算法稱為下山法第十五頁，共二十一頁，2022年，8月28日由得注意有若為f(x)的單零點，當時，有即

于是當k充分大時，故收斂的牛頓序列除去有限點以外（前面有限個點）定為下山序列第十六頁，共二十一頁，2022年，8月28日引理若，且則存在使得當時證明將在x處展開，得故于是存在得當時，有第十七頁，共二十一頁，2022年，8月28日即由得從而當時，有表明：是f(x)在x點的一個下山方向。可以選擇適當的，使得滿足第十八頁，共二十一頁，2022年，8月28日

在Newton迭代法中引進下山因子并將迭代格式改為則有為保證是f(x)的一個下山序列，則可能太小；為保證牛頓法的高階收斂性。希望k充分大時，，即成為標準牛頓迭代法。下山因子的一種常用取法是取自集合：第十九頁，共二十一頁，2022年，8月28日

將下山法和牛頓法結合起來使用的方法稱為牛頓下山法。步驟為：選取初始值取下山因子t=1。計算及判斷是否成立。若當時終止迭代，且取當時，k增加1，即將作為新的轉到②繼續迭代第二十頁，共二十一頁，2022年，8月28日（b）若當，且時令即將t縮小一半，轉到③繼續迭代。當，且，終止迭代，取。