2022年高考數學尖子生強基計劃專題7定積分和微分一、真題特點分析：（復旦）（1）設，求；設，求常數，使得取得最小值；設（2）中的最小值為，證明。二、知識要點拓展定積分：設函數在上有界，在中任意插入若干個分點。把區間分成個小區間，各小區間的長度依次為并作和，記，如果不論對怎樣的分法，也不論在小區間上點怎樣的取法，只要當時，和趨于確定的極限，我們稱這個極限為函數在區間上的定積分，記為。二．定積分存在定理：①當函數在區間上連續時，則在區間上可積；②設函數在區間上有界，且只有有限個間斷點，則在區間上可積。三．定積分的幾何意義：時，，則表示的圖像與及軸圍成的曲邊梯形面積；若，令，則表示的圖像與及軸圍成的曲邊梯形面積的負值。四．微積分基本定理：牛頓-萊布尼茲公式如果是區間上的連續函數，并且，則。若記，則。牛頓-萊布尼茲公式溝通了導數與積分之間的關系，由此求定積分問題轉化為求原函數問題。五．洛必塔法則：設（1）如果當時，函數都趨于零；（2）在內，都存在，且；（3）極限存在（或為無窮大）；則存在，且。上述準則稱為洛必塔法則。六．二次曲線在某點處的切線方程：①設是圓上一點，則過的圓切線方程為；②設是橢圓上一點，則過點的橢圓切線方程為；③設是雙曲線上一點，則過的雙曲線切線方程為；④設是拋物線上一點，則過的拋物線切線方程為；函數的單調性：若函數在內可導，則在內遞增（遞減）的充要條件是（），。八．函數的極值：1.定義：已知函數及其定義域內一點，對于存在一個包含的開區間內的所有點，如果都有則稱函數在點處取得極大值，記作，并把稱為函數的一個極大值點；如果都有則稱函數在點處取得極小值，記作，并把稱為函數的一個極小值點極大值與極小值統稱為極值，極大值點與極小值點統稱為極值點。注意：（1）.函數的最大（小）值是函數在指定區間內的最大（小）值；（2）.極值與最值不同，極值只是相對一點附件的局部性質，而最值是想對整個定義域內或所研究問題的整體性質。極值的必要條件：若函數在可導，且在處取得極值，則。九．兩個重要的極限：1.，2.三、典例精講例1．（復旦）設為正數，，若在區間上大于0，則的取值范圍是（）。（B）（C）（D）例2．（清華）已知，過的直線與該函數圖像相切，且不是切點，求直線斜率。例3．（南開）求證：。例4．（復旦）已知過兩拋物線的交點的各自的切線互相垂直，求。例5．（清華）一元三次函數的三次項系數為，的解集為。若有兩個相等實根，求的解析式；若在上單調遞減，求的范圍。例6．（武大）已知是定義在區間上的可導函數，滿足，且。討論函數的單調性；設，比較函數與的大小。四、真題訓練1.（武大）如果定義在上的函數的單調遞增區間為，那么實數的大小關系是（）（B）（C）（D）2.（武大）在曲線的所有切線中，斜率最小的切線方程為（）。（B）（C）（D）3.（南大）函數的單調減區間為。4.（武大）求常數的值，使。5.（上海交大）若方程有3個不同實根，求實數的取值范圍。6.（上海交大）設在處可導，且原點到中直線的距離為，原點到中曲線部分最短距離為3，試求的值（）。（清華）求的單調區間及極值。8.（武大）已知函數。判斷函數的奇偶性；若在區間上是增函數，求實數的取值范圍。9.（上海交大）已知函數滿足：，又，求函數的解析式。10.（清華），。求證：恒成立；試求的單調區間；求證：為遞減數列，且恒成立。五、強化訓練A組1、設，求。2、已知f(x)為偶函數且，則等于()A．0B．4C．8D．163、函數y＝－x2＋2x＋1與y＝1相交形成一個閉合，則該閉合圖形的面積是()A．1B.eq\f(4,3)C.eq\r(3)D．24、已知函數y＝x2與y＝kx(k＞0)的圖象所圍成的陰影部分(如圖所示)的面積為eq\f(4,3)，則k=________.5、設，求。6、求曲線，及所圍成的平面圖形的面積.7、若，求。8、已知，求常數。B組9、在曲線上某一點A處作一切線使之與曲線以及軸所圍成圖形的面積為，試求：(1)切點的坐標；(2)過切點的切線方程．10、如圖，設點P從原點沿曲線y＝x2向點A(2,4)移動