大地線的定義與性質第一頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.2.5大地線（續1）大地線的定義：大地線的主法線與曲面法線處處重合。大地線的性質：1、大地線上任何點的密切平面就是該點的法截面；

2、曲面上連接任何兩點的最短直線必為大地線。

3、大地線的測地曲率等于0曲線的測地曲率：曲線的曲率在曲面切平面上的投影。大地線的曲率：大地線的撓率第二頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.2.5大地線（續2）2、大地坐標系中大地線的微分方程(1).大地線的二階微分方程以u,v

為參數的一般曲面的大地線微分方程可表示為：下標為相應的偏導數。第三頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.2.5大地線（續3）對于橢球面，有：代入前面公式，得：則旋轉橢球面上大地線的微分方程為：第四頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.2.5大地線（續4）(2).克萊勞定理直角坐標系中的橢球面方程：橢球面法向量為：以大地線弧長為參數的大地線主法線向量為：兩者指向一致，即：第五頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.2.5大地線（續5）由上式的前兩個方程得：將三維空間坐標與大地坐標的關系及其微分關系：1代入式，整理得：12第六頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.2.5大地線（續6）將關系：即：大地線上各點的平行圈半徑與該點的大地線方位角正弦的乘積是常數。代入上式，即得克萊勞定理：第七頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.2.5大地線（續7）(3).大地線的一階微分關系式由克萊勞定理，微分得：第八頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.2.5大地線（續8）又如圖所示：代入上式，得：三個微分關系式可整理為：3第九頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.2.5大地線（續9）3、以弧長和大地方位角為參數的大地線方程大地線始點坐標P0(B0,L0)，大地線上任何點的位置向量都可以展開成S,A的級數形式：Frenet標架的坐標軸定義：x′指向大地線的切向t，y′指向大地線的主法向n，向內為正，z′指向大地線的副法向b，構成左手系。x′y′z′4第十頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.2.5大地線（續10）顯然有：根據曲線論中的Frenet公式：由以上兩式可求出各階導數：第十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.2.5大地線（續11）將上式代入大地線展開式，得Frenet標架下的三維坐標：45顧及公式：第十二頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.2.5大地線（續12）和：求導得：第十三頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.2.5大地線（續13）代入Frenet標架下的三維坐標公式，得：5第十四頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.2.5大地線（續14）將坐標系饒y′逆時針旋轉A，得x”、y”、z”坐標系，則有：x′y′z′z"x"以P0點為原點的地平坐標系(站心坐標系)x、y、z，與x”、y”、z”坐標系的關系為：xy"zz"x"y第十五頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.2.5大地線（續15）最后得到地平坐標系（站心系）中的大地線方程，稱為Weingarten級數。6第十六頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.2.5大地線（續16）法截弧為平面曲線，其撓率為0，同理可推得地平坐標系中的計算式為：第十七頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.2.5大地線（續17）4、基于大地線的橢球面曲線坐標系(1).大地線極坐標系大地圓：到極點具有相同大地線長度的點所構成的軌跡。由大地線長度和大地方位角可描述曲面點的位置。如圖所示：對照第一基本形式，得：由圖中的微分直角三角形，得大地極坐標系中的微分關系式：第十八頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.2.5大地線（續18）大地線的歸化長度m的計算公式：由式求出偏導數代入得：6第十九頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.2.5大地線（續19）(2).測地坐標系以過P0點的經線及其平行線為v曲線，過P0點與經線正交的一族大地線為u曲線，構成的坐標格網稱為測地坐標系測地坐標在v曲線方向用Sx，u曲線方向用Sy,即：第二十頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.2.5大地線（續19）n稱為測地平行線的歸化長度因子。由式求出對A偏導數，并顧及A=90°，得：6第二十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.2.5大地線（續20）根據球面角超的定義，在球面直角三角形中，球面角超為：根據球面三角形的Legendre定理：77將式代入上式，得：第二十二頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.2.5大地線（續21）代入測地平行線的歸化長度因子公式，得：精確到二次項時的歸化長度因子計算公式為：則與子午弧長相應的測地平行線的弧長為：第二十三頁，共二十四頁，2022年，8月28日習