6.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理

我們的數數起源于遠古時代的繩結計數，那時人的智力的發展尚處于低級階段，隨著人們對數的了解和研究，發現數數的多樣性，用各種方式來計數，中國古代的《易經》中用十個天干和十二個地支以六十為周期來記載月和年，以及在洛書河圖中關于幻方的記載，是人們至今所了解的最早發現的組合問題．

在日常生活中，關于計數的問題大量存在，如果問題中數量很少，可以一個一個的數，但是如果問題中數量很多，還能一個一個去數嗎？

前言

在小學我們學了加法和乘法，這是將若干個“小”的數結合成“較大”的數最基本的方法。這兩種方法經過推廣就成了本章將要學習的分類加法計數原理和分步乘法計數原理。這兩個原理是解決計數問題最基本、最重要的方法，利用這兩個計數原理還可以得到兩類特殊計數問題的計數公式---排列數公式與組合數公式，應用公式就可以方便地解決一些計數問題。作為計數原理與計數公式的一個應用，我們還將學習在數學上有廣泛應用的二項式定理。前言1、春節放假，小蘭計劃回家過年和家人團聚，從北京回長沙當天有7趟航班和9列火車。問題1：小蘭從北京回長沙的方案有幾類？問題2：這幾類方案中各有幾種方法？問題3：小蘭從北京到長沙共有多少種不同的方法兩類，即飛機和火車第1類乘飛機方案：7種方法，第2類坐火車方案：9種方法共有7+9=16（種）不同方法新知探索一2、用一個大寫的的英文字母或一個阿拉伯數字給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？新知探索一英文字母共有26個，阿拉伯數字共有10個，26+10=36種上述計數過程的基本環節是：（1）確定分類標準（分類）；（2）分別計算各類的個數（計數）；（3）各類的個數相加，得出所有的個數（相加）.以上兩個問題的解決有什么共同特征？1.分類加法計數原理

完成一件事，有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，則完成這件事共有:

N=m+n種不同的方法注意：兩類不同方案中的方法互不相同。典例解析例1

在填寫高考志愿時，一名高中畢業生了解到，A,B兩所大學各有一些自己感興趣的強項專業，如表.

如果這名同學只能選一個專業，那么他共有多少種選擇？A大學B大學生物學數學化學會計學醫學信息技術學物理學法學工程學例題分析:“選擇一個專業”

在A大學中,有5種專業選擇方法，

在B大學中,有4種專業選擇方法，

沒有專業是兩所大學共有的，

所以根據分類加法計數原理，這名同學可能的專業選擇種數

N=5+4=9.3、如果完成一件事有三類不同方案,在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方案?

如果完成一件事有n類不同方案,在每一類中都有若干種不同方法,那么應當如何計數呢?

如果完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事的方法總數為:分類加法計數原理推論：

N＝m1＋m2＋…＋mn練習

從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內汽車發3次，火車發4次，輪船發2次，則一天內乘坐這三種交通工具的不同走法數為多少？

1、春節放假，小蘭計劃回家過年和家人團聚，從北京回長沙需要換乘，先坐飛機，后坐火車，當天有3趟航班和4列火車，小蘭回家有多少種方式？

3×4=12種新知探索二2、用前6個大寫英文字母和1～9這9個阿拉伯數字，以A1，A2，···，B1，B2,···的方式給教室里的座位編號,總共能編出多少個不同的號碼？

在這個問題中,號碼必須由一個英文字母和一個作為下標的阿拉伯數字組成，即得到一個號碼要經過先確定一個英文字母，后確定一個阿拉伯數字這樣兩個步驟用下圖可以列出所有可能的號碼.新知探索二用樹狀圖列出來：6×9=54（種）以上兩個問題有什么共同特征？分步完成：小蘭分成兩步，需一次乘坐兩種交通工具飛機和火車才

能回家；給座位編號分成兩步，英文字母和數字組合而成2.分步乘法計數原理

完成一件事，需要兩個步驟:做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，則完成這件事共有:

新知探索N=m×n種不同的方法分步乘法計數過程的基本環節是：1、確定完成一件事情分成幾步（分步）；2、每一步有多少種方法數（計數）；3、將每一步的方法數相乘（相乘）.典例解析例2

某班有男生30名，女生24名。現要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？解：第一步,從30名男生中選出1人,有30種不同選擇；

第二步,從24名女生中選出1人,有24種不同選擇；根據分步計數原理，共有30×24=720種不同方法.分析:

男女生各一名

選出一組參賽代表，可分兩步：

第一步,選男生；第二步,選女生.例題

如果完成一件事有n步不同方案,在第1步方案中有m1種不同的方法，在第2步方案中有m2種不同的方法，…，在第n步方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事的方法總數為:

N＝m1×m2×…×mn分步乘法計數原理推論：

例3.書架上第1層放有4本不同的計算機書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育雜志.(2)從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同取法?

N＝4＋3+2＝9

N＝4×3×2＝24(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?例題練習A1．在分類加法計數原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(

)2．在分類加法計數原理中，每類方案中的方法都能完成這件事．(

)3．在分步乘法計數原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(

)4．在分步乘法計數原理中，事情若是分兩步完成的，那么其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有兩個步驟都完成后，這件事情才算完成． (

)×√判斷√√

現有高一年級的四個班的學生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數學課外小組． (1)選其中一人為負責人，有多少種不同的選法？ (2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？ (3)推選兩人做中心發言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？練習解(1)分四類：第一類，從一班學生中選1人，有7種選法；

第二類，從二班學生中選1人，有8種選法；

第三類，從三班學生中選1人，有9種選法；

第四類，從四班學生中選1人，有10種選法．

所以，共有不同的選法N＝7＋8＋9＋10＝34(種)．(2)分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學生中選一人任組長．

所以，共有不同的選法N＝7×8×9×10＝5040(種)．(3)先分類再分步：分六類，每類又分兩步：

從一、二班學生中各選1人，有7×8種不同的選法；

從一、三班學生中各選1人，有7×9種不同的選法；

從一、四班學生中各選1人，有7×10種不同的選法；

從二、三班學生中各選1人，有8×9種不同的選法；

從二、四班學生中各選1人，有8×10種不同的選法；

從三、四班學生中各選1人，有9×10種不同的選法．

所以，共有不同的選法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)．1.填空題(1)一項工作可以用2種方法完成，有5人只會用第1種方法完成，另有4人只會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這項工作，不同選法的種數是________；

(2)從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經B村去C村，不同路線的條數是_________.96課后習題2.在例1中，如果數學也是A大學的強項專業，那么A大學共有6個專業可以選擇，B大學共有4個專業可以選擇，應用分類加法計數原理，得到這名同學可能的專業選擇種數為6+4=10.這種算法有什么問題？A大學B大學生物學數學化學會計學醫學信息技術學物理學法學工程學數學解：這種算法有問題，因為問題強調的是這名同學的專業選擇，故并不需要考慮學校的差異，所以這名同學可能的專業選擇種數應當為3.書架上層放有6本不同的數學書，下層放有5本不同的語文書.

(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法?

(2)從書架上任取數學書和語文書各1本，有多少種不同的取法?4.現有高一年級的學生3名，高二年級的學生5名，高三年級的學生4名.

(1)從三個年級的學生中任選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法?

(2)從三個年級的學