1.1空間向量及其運算（精講）思維導圖思維導圖常見考法常見考法考點一概念的辨析【例（2020·全國高二課時練習）下列命題中，假命題是（ A．同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小B．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同C．只有零向量的模等于0D．共線的單位向量都相等【一隅三反】1（2020全國高二課時練習）在下列命題中：①若向量a,b共線，則a,b所在的直線平行；②若向量a,b所在的直線是異面直線，則a,b一定不共面；pxaybzc.③若三個向量ab，cpxaybzc.④已知三個向量ab，cp總可以唯一表示為其中正確命題的個數(shù)為（ ）A．0 B．1 C．2 2.（2020·全國高二課時練習）在下列命題中：①若a、b共線，則a、b所在的直線平行；②若a、b所在的直線是異面直線，則a、b一定不共面；pxaybzc.③若a、b、c三向量兩兩共面，則apxaybzc.④已知三向量a、b、cp總可以唯一表示為其中正確命題的個數(shù)為（ ）A．0 B．1 C．2 D．3考法二空間向量的線性運算【例（2020·江西贛高二期（理在四面體ABCD中點F在AD上且AF2FD，E為BC中點，則EF等于（ ） 1 2 1 1 2 A．EFAC AB AD2 3 1 1 C．EF AC AB AD2 2 3

B．EF AC AB AD2 2 3 1 D．EF AC AB AD2 2 3根據(jù)三角形法則與平行四邊形法則以及空間向量的加減法進行轉(zhuǎn)化，一定要看最后是誰來表示。根據(jù)三角形法則與平行四邊形法則以及空間向量的加減法進行轉(zhuǎn)化，一定要看最后是誰來表示。【一隅三反】1（2020南昌市八一中學）如圖，空間四邊形OABC 中，OAa,OBb,OCc，且OM2MA，MN（BNNCMN（2a b2a b c21B．1a b c11C．2a b c11D．1a b c21

3 2 2 2 3 22（2020寶f上海交大附中高二期末）在平行六面體ABCDABC

AC

B

的交點，若ABa,ADb,AA1

c，則與BM相等的向量是（

1 1 1

1 1 1 1A．1A．1a bc1B．1a bc1C．1a bc1D．1a bc13（2019張家口市宣化第一中學高二月考）如圖，在空間四邊形D中，設，F(xiàn)分別是，D的中1A．ADB．FAC．AFD．EF點，則A．ADB．FAC．AFD．EF考點三空間向量的共面問題OM OA OB OC111532【例（OM OA OB OC111532OMOAOBOMOAOBOCMAMBMC0OMOAOBOC0C． D．MMABC一定共面的充要條件是OMxOAyOBzOCxyz1，【一隅三反】1（2020全國高二OBCOPB，C四點共面，則實數(shù)．

3OA1OBtOC4 8OMxOA1OB1OC，2（2020全國高二）已知點M在平面OMxOA1OB1OC，則.3（2019隨州市第一中學高二期中）空間D四點共面，但任意三點不共線，若P為該平面外PA

5PBxPC1PD，則實數(shù)x的值為（ ）3 3A．1 B．1 C．2 D．23 3 3 34（2020全國高二課時練習已知平行四邊形D從平面C外一點O引向量Ek, FkB，GkC,HkD．求證：四點EFGH共面考點四空間向量的數(shù)量積（2020·全國高二課時練習）已知平行六面體ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.求（如圖所示）ACAC的夾角的余弦值．求兩個向量的夾角有兩種方法：求兩個向量的夾角有兩種方法：方法一：結合圖形，平移向量，利用空間向量的夾角定義來求，但要注意向量夾角的范圍(2)cos〈〉＝a·b|a||b|cos〈〉方法二：①根據(jù)題設條件在所求的異面直線上取兩個向量(即直線的方向向量)②異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題③利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值或角的大小【一隅三反】1（2019寧夏賀蘭縣景博中學高二月考（理）平行六面體ABCD,向量AB,AD,AA兩兩的1 1 1 1 1且|AB|=1,|AD|=2,|AA1

|=3,則|AC1

等于( )A．5 B．6 C．4 D．82（2020（理四棱柱ABCDABCD的底面ABCDAB2AD4，11 1 1AA6，AABAAD

AC的長為（ ），則1 1 1 1，則2A．82

B．46 C．2

D．32233（2020.雅安中學高二月考（理）若空間四邊形OABC的四個面均為等邊三角形，則23cosBC 的值為（ ）12

C．122 22

D．04（2020全國高二課時練習.BB⊥平面△CB＝90?ABA

B?BBC1C的對角線都分別相互垂直且相等，若AB＝aBA1

AC

11 1 11.1空間向量及其運算（精講）思維導圖思維導圖常見考法考點一概念的辨析【例（2020·全國高二課時練習）下列命題中，假命題是（ A．同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小B．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同C．只有零向量的模等于0D．共線的單位向量都相等【答案】D【解析】A.向量是有向線段，不能比較大小.真命題.B.兩向量相等：方向相同，模長相等.起點相同，則終點也相同.真命題.C.零向量：模長為0的向量.真命題.D.共線的單位向量是相等向量或相反向量.假命題.故選：D.【一隅三反】1（2020全國高二課時練習）在下列命題中：①若向量a,b共線，則a,b所在的直線平行；②若向量a,b所在的直線是異面直線，則a,b一定不共面；pxaybzc.③若三個向量ab，cpxaybzc.④已知三個向量ab，cp總可以唯一表示為其中正確命題的個數(shù)為（ ）A．0【答案】A

C．2 D．3向量a,b,c兩兩共面，這三個向量有可能不共面，所以此命題錯誤；對于④：根據(jù)空間向量的基本定理知道，這三個向量要不共面才可以，所以此命題錯誤，所以選A2.（2020·全國高二課時練習）在下列命題中：①若a、b共線，則a、b所在的直線平行；②若a、b所在的直線是異面直線，則a、b一定不共面；pxaybzc.③若a、b、c三向量兩兩共面，則apxaybzc.④已知三向量a、b、cp總可以唯一表示為其中正確命題的個數(shù)為（ ）A．0【答案】A

B．1 C．2 D．3【解析】①若a、b共線，則a、b所在的直線平行或重合；所以①錯；②因為向量是可以自由移動的量，因此即使a、ba、b也可以共面；所以②錯；③若ab、cab、c④若三向量a、b、cpppxaybzc.故選：A.考法二空間向量的線性運算【例2020江西贛.高二期中（理）在四面體ABCD中，點F在AD上，且AF2FD，E為BC中點，則EF等于（ ） 1 2 1 1 2 A．EFAC AB AD2 3 1 1 C．EF AC AB AD2 2 3

B．EF AC AB AD2 2 3 1 D．EF AC AB AD2 2 3【答案】B【解析】在四面體ABCD中，點F在AD上，且AF2FD，E為BC中點，所以FBF123 D112123

. 2 2 3 2 2 3故選：B.根據(jù)三角形法則與平行四邊形法則以及空間向量的加減法進行轉(zhuǎn)化，一定要看最后是誰來表示。根據(jù)三角形法則與平行四邊形法則以及空間向量的加減法進行轉(zhuǎn)化，一定要看最后是誰來表示。【一隅三反】1（2020南昌市八一中學）如圖，空間四邊形OABC中，OAa,OBb,OCc，且OM2MA，MN（BNMN（A．2a2b1c B．1a1b13 3 2 2 2 2【答案】C【解析】因為MNONOMMN2a1b1c.故選：C3 2 2

C．2a1b1c D．1a2b13 2 2 2 3 2OMOM2OA2a,ON1OBOC1bc，2（2020寶f上海交大附中高二期末）在平行六面體ABCDABCDM為AC與B

的交點，若1 1 1 1 1 1 1 1ABa,ADb,AA1

c，則與BM相等的向量是（ ）A．A．1a bc1B．1a bc1C．1a bc1D．1a bc1【答案】D

2 2 2 2 2 2BMBMBBBMAA1BD AA1AADAA1ABADABaADbAAcAA1ABAD1a1bcBM1a1bc，11121 112111 112因為故選：D.

1 1 2

2 2 2 23（2019張家口市宣化第一中學高二月考）如圖，在空間四邊形D中，設，F(xiàn)分別是，D的中1A．ADB．FAC．AFD．EF點，則A．ADB．FAC．AFD．EFBC-BD）BC-BD）ADDFAF．BCBD＝DC1(BCBD1DCDFAD1（2 2 2故選C．考點三空間向量的共面問題OM1OA1OB1OC【例（2020·全國高二）在下列條件中，使MOM1OA1OB1OCOMOAOMOAOBOC

5 3 2MAMBMAMBMC0OMOAOBOC0【答案】C【解析】對于A選項，由于11111，所以不能得出MB,C共面.對于B1115 3 2

1，所以不能得出MB,C共面.對于C選項，由于MAMBMCMBMC為共面向量，所以MB,C.MABC一定共面的充要條件是OMxOAyOBzOCxyz1，對于D選項，由OMOAOBOC0得OMOAOBMABC一定共面的充要條件是OMxOAyOBzOCxyz1，【一隅三反】1（2020全國高二OBCOPB，C四點共面，則實數(shù)．1【答案】8

OA OBtOC3 4 3 P，A，B，C四點共面，且OP

3 1 3 1 1 1 OA OB tOC， t1，解得t .故答案: 88OM88OMxOA OB OC，112（2020全國高二）已知點M在平面C內(nèi)，并且對空間任意一點O，有 3 3則.1【答案】31 1【解析】已知OMxOA OB OC且M，A，B，C四點共面，1 1 1 1 則x 1 ，解得x=3 3 33（2019隨州市第一中學高二期中）空間D四點共面，但任意三點不共線，若P為該平面外5 1PA

PBxPC PD，則實數(shù)x的值為（ ）3 3A．1 B．1 C．2 D．23 3 3 3【答案】A【解析】因為空間A、B、C、D四點共面，但任意三點不共線，對于該平面外一點P都有PA5PBxPC1PD5x1

1x

1.故選A3 3 3 3 34（2020全國高二課時練習已知平行四邊形D從平面C外一點O引向量Ek, FkB，GkC,HkD．求證：四點EFGH共面【答案】證明見解析【解析】OE OF∵Ek, FkB；∴OAEF//AB，且EF＝|k|AB；

OB

|k|；同理HG//DC，且HG＝|k|DC，AB＝DC；∴EF//HG，且EF＝HG；∴四邊形EFGH為平行四邊形；∴四點E，F(xiàn)，G，H共面.考點四空間向量的數(shù)量積（2020·全國高二課時練習）已知平行六面體ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.求AC（如圖所示）求ACAC的夾角的余弦值．

（2）8585108585AC2＝AC2＝ABADAA2＝AB2AD2AA+2（ABADABAAADAA）AC＝ACCCABADAA1＝42+3+5+24×3×0+×

13）＝3AC＝AC＝85AC的長等于AC＝ABADAA，AC＝ABADAA，AC＝85ABAD）故ACAC＝（AB AD AA）ABAD）AB2AB22ABADAD2AAABAAAD＝

2430

541531＝852 2 2又AC

ABAD

AB

2ABAD

2＝42

032＝5ACAC的夾角的余弦值

ACACAC

85＝ 2 85855 10求兩個向量的夾角有兩種方法：求兩個向量的夾角有兩種方法：方法一：結合圖形，平移向量，利用空間向量的夾角定義來求，但要注意向量夾角的范圍(4)cos〈〉＝|a||bcos〈〉a·b|方法二：①根據(jù)題設條件在所求的異面直線上取兩個向量(即直線的方向向量)②異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題③利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值或角的大小【一隅三反】1（2019寧夏賀蘭縣景博中學高二月考（理）平行六面體ABCD,向量AB,AD,AA兩兩的1 1 1 1 1且|AB|=1,|AD|=2,|AA1

|=3,則|AC1

等于( )A．5 B．6 C．4 D．8【答案】A

1B1C1D1

中有，ACACABADCC=ABADAA所以有AC1

=ABADAA1

，于是有AC1

2=ABADAA21AC2=AB2AD2AA1

22ABADcos6002ABAA1

cos6002ADAA1

cos600=25所以AC1

5，答案選A2（2020延安市第一中學高二月（理四棱柱ABCDABCD的底面ABCD 為矩形AB2AD4，AA6，AABAAD

11 1 1，則AC的長為（），則231 1 1 1232A．82

B．46 C．2

D．32ACACACCC,AC1 112AC2(ACCC)2AC22ACCCCC2.1 1 1 1【解析】由由底面ABCD 為矩形得；

41620，CC

36，另；AABAAD60