2xy2xy第四章金屬自由電理論金屬自電子論作了哪些假設？得到了哪些結果？解：金屬自由論假設金屬中的價電子在一個平均勢場中彼此獨立，如同理想氣體中的粒子一樣是“自由”的，每個電子的運動由薛定諤方程來描述；電子滿足泡利不相容原理，因此電不服從經典統計而服量子的費米－狄拉克統計據這個理論不僅導出了魏德曼－佛蘭茲定律，而且而得出電子氣對晶體比熱容的貢獻是很小的。金屬自電子論在k空間的等能面和費米面是何形狀？費米量與哪些因素有關？解：金屬自由電子論在空的等能面和費米面都是球形。費米能量與電子密度和溫度有關。在低溫下電子比熱容比經典理論給出的結果小得多，為什么？解：因為在低溫時，大多數電子的能量遠低于費米能，由于受泡利原理的限制基本上不能參與熱激發，而只有在費米面附近的電子才能被激發從而對比熱容有貢獻。馳豫時的物理意義是什么？它與哪些因素有關？解：馳豫時間的物理意義是指電子在兩次碰撞之間的平均自由時間，它的引入是用來描寫晶格對電子漂移運動的阻礙能力的馳豫時間的大小與溫度電質量、電子濃度、電子所帶電量及金屬的電導率有關。當塊金屬接觸時，為什么會產生觸電勢差？解：由于塊金屬中的電子氣系統的米能級高低不同而使熱電子發射的逸出功不同，所以這金屬接觸時，會產生接觸電勢差。限制在邊長為的方形中的個由電子，電子的能量為(k,k)(m

2xy

)

。試求：（1能量

～

EdE

之間的狀態數；（2此二維系統在絕對零度的費米能量；（3電子的平均能量。解）K空間中，在半徑為和k

的兩圓面之間所含的狀態數為dZ

4

2kkk2

………）這也就是能量在

～

EdE

之間的狀態數，由電子的能量表達式可得k

mE1dEE

……………2將2）式代入1式，并考慮到每個狀態可容納個旋相反的電子，這樣可得能量

222dE22FF222222222dE22FF222222在E～E之間的狀態數為

dZ2

2mL2dE2（2由（）問可知，該系統的自由電子狀態密度為)

dZ2在絕對零度下，由下式N

FF00

mL2

mL2

0F由此可得此二維系統在絕對零度的費米能量為F

L

2（3電子的平均能量為E0

N

0

dE

N

0

mL

11()2NmL

0F0E金屬鋰是體心立方晶格，晶格常數為量（以表）F

m

。試計算絕對零度時電子氣的費米能解：由題意可求得金屬鋰的電子濃度為n

22a(3.5

3

28

/m故絕對零度時金屬鋰的電子氣的費米能量為0F

23(3n)2)229.11

4.66

28

3.142)

23

2VB2VB

J

在低溫下金屬鉀的比摩爾熱容的實驗結果可寫成T2.573)

mJ/(mol若1mol的鉀有

6

23

個電子，試求鉀的費米溫度

F

和德拜溫度

D

。解：根據金屬自由電子氣模型，低溫下金屬的總比摩爾熱容為：v

bT

3上式中，

N，E05FD

，所以有：N2E0F

12D

故：F

N263.14(1.380B2.08

)

2

2.708

J又由

k0得FT1.38F

4

K而

D

3.14

1.382.57

90.9

K試比較1mol金鈉在30K和0.3K時德拜比熱容，并與電子比熱容比較。已知鈉的德拜溫度

D

150

，鈉的費米能級

0F

。解：在時，1mol金鈉的德拜比熱容為4cNk()5D

26.021.38)

3

J/K

VBVBBVBVBB而其電子比熱容為kTc(B)EF

3.141.38306.02233.23

)所以德拜比熱容與電子比熱容之比為

J/K

1.57在金鈉的德拜比容為4cNk()5D

20.36.021.38)

31.57

J/K而其電子比熱容為cV

kT)F

3.140.36.02233.23

)所以德拜比熱容與電子比熱容之比為

J/K

有一鎢絲，長，橫截面積的直徑為×10m試求時絲的熱電子發射電流。已知鎢的電子逸出功為。解：由里查孫－杜師曼定律可知鎢絲的熱電子發射電流密度為jATe/(k)

22222222

420002

e

2000)

A/m故熱電子發射電流為I14.05

A室溫下利用光電效應已測得銀及銫的光電效應閥值分別為和。求：（1采用里查孫－杜師曼公式分別估算銀及銫在室溫下的熱電子發射電流密度；（2若溫度上升至時其熱電子發射電流密度為多少？（3若把銀與銫兩種金屬接觸在一起，求出室溫下它們的接觸電勢差。解）室下銀的熱電子發射電流密度為jAT

e

T)1.2

62

e

A/m在室溫下銫的熱電子發射電流密度為T)2ejATCs1.66e

/(1.38

A/m（2在800K時的熱電發射電流密度為T)ejAT1.26800

/(1.38

4.72

A/m在室溫下銫的熱電子發射電流密度為T)2ejATCs1.66800

/(1.38

A/m（3若把銀與銫兩種金屬接觸在一起，它們的接觸電勢差為D

1e

()

V利用電子漂移速度

的方程

1)1)m

dvv)dt證明在頻率

下的電導率為11

]

。其中

/m

0

。解：設電場為

0

，則有m

dvv)dt

或

m

齊次方程

dvv0dt

的通解為t設非齊次方程的特解為

v

，則有

Ae

0

從上式可求出特解的待定系數

A

為

0m故非齊次方程的通解