《第四節(jié)空間向量的應(yīng)用》同步練習(xí)（課時(shí)2用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題）專(zhuān)題1——用空間向量研究距離問(wèn)題一、基礎(chǔ)鞏固知識(shí)點(diǎn)1點(diǎn)到直線的距離1.[2022北京昌平二中高二上期中]已知空間中三點(diǎn)A(-1,0,0),B(0,1,-1),C(-2,-1,2),則點(diǎn)C到直線AB的距離為()A.63 B.62 C.332.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,AD=2AB=4,且PD與底面ABCD所成的角為45°,則點(diǎn)B到直線PD的距離為()A.22 B.23 C.2 D.253.[2022湖北部分重點(diǎn)學(xué)校高二上期中聯(lián)考]鱉臑是指四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐.如圖,在鱉臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=BC=PA=2,D,E分別是棱AB,PC的中點(diǎn),點(diǎn)F是線段DE的中點(diǎn),則點(diǎn)F到直線AC的距離是.

知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)到平面的距離4.[2022福建三明一中高二上月考]已知平面α的一個(gè)法向量n=(-2,-2,1),點(diǎn)A(-1,3,0)在平面α內(nèi),則點(diǎn)P(-2,1,4)到平面α的距離為()A.10B.3C.83D.5.[2022山東淄博高二上月考]如圖所示,在直二面角D-AB-E中,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,則點(diǎn)D到平面ACE的距離為()A.33 B.233 C.36.[2022河北石家莊十二中高二上期中]已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,E,F分別是棱C1C,BC的中點(diǎn).(1)求證:B1F⊥平面AEF;(2)求點(diǎn)F到平面EAB1的距離.知識(shí)點(diǎn)3直線到平面的距離、平面到平面的距離7.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,則平面AB1D1與平面BDC1的距離為()A.2a B.3a C.23a D.38.如圖,在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,則AD到平面PBC的距離為.

二、能力提升1.[2022廣東佛山順德高二上期中]一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖如圖所示,AB=1,則在原來(lái)的正方體中,線段CF的中點(diǎn)到直線AM的距離為()A.66 B.6 C.6 D.2.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥平面ABCD,AA1=3,底面是邊長(zhǎng)為4的菱形,且∠DAB=60°,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,E是O1A的中點(diǎn),則點(diǎn)E到平面O1BC的距離為()A.2 B.1 C.32 3.[2022山西陽(yáng)泉高三期末]如圖,棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)A在平面α上,三條棱AB,AC,AD都在平面α的同側(cè),若頂點(diǎn)B,C到平面α的距離均為2,則頂點(diǎn)D到平面α的距離是.

4.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面正方形的邊長(zhǎng)為22,側(cè)棱長(zhǎng)為4,E,F分別為棱AB,BC的中點(diǎn).求三棱錐B1-EFD1的體積.5.[2022山東臨沂平邑一中高二上月考]如圖,在四棱錐P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD=π2,PA=AD=2,AB=BC=1.定義:兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離的最小值.利用此定義求異面直線PB與CD之間的距離6.[2022四川樂(lè)山高二期末]如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都是2,AA1⊥平面ABC,D,E分別是AC,CC1的中點(diǎn).(1)求證:平面BAE⊥平面A1BD.(2)在線段B1B(含端點(diǎn))上是否存在點(diǎn)M,使點(diǎn)M到平面A1BD的距離為255?參考答案一、基礎(chǔ)鞏固1.A依題意得AC=(-1,-1,2),AB=(1,1,-1),則點(diǎn)C到直線AB的距離為d=|AC2.B因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以∠PDA為PD與平面ABCD所成的角,所以∠PDA=45°,所以PA=AD=4.以A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.則A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,4),D(0,4,0),則DP=(0,-4,4),BP=(-2,0,4),所以點(diǎn)B到直線PD的距離為d=|BP|23.64解析因?yàn)锳B=BC,且△ABC是直角三角形,所以AB⊥BC.以B為原點(diǎn),分別以BC,BA的方向?yàn)閤,y軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz.因?yàn)锳B=BC=PA=2,所以A(0,2,0),C(2,0,0),D(0,1,0),E(1,1,1),F(12,1,12),則AC=(2,-2,0),AF=(12,-1,12).故點(diǎn)F到直線AC4.D由AP=(-1,-2,4),得點(diǎn)P到平面α的距離d=|AP5.B取AB的中點(diǎn)O,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2),從而AD=(0,0,2),AE=(1,1,0),AC=(0,2,2).設(shè)平面ACE的法向量為n=(x,y,z),則n·AE=0n·AC=0,即x+y=02y+2z=0,令y=1,則x=-1,z=-1,所以n=(-1,1,-1)為平面ACE6.解析(1)三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面,∠BAC=90°,故以A為原點(diǎn),AB為x軸,AC為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.因?yàn)锳B=AC=AA1=1,E,F分別是棱C1C,BC的中點(diǎn),所以B1(1,0,1),F(12,12,0),A(0,0,0),E(0,1,12),則B1F=(-1AE=(0,1,12),AF=(12,所以B1F·AE=0,B1所以B1F⊥AE,B1F⊥AF,又AE∩AF=A,AE,AF?平面AEF,所以B1F⊥平面AEF.(2)由(1)知AB1=(1,0,1),AE=(0,1,設(shè)平面EAB1的法向量m=(a,b,c),則m·AB1=a+c=0m·AE=b又AF=(12,12,0),所以點(diǎn)F到平面EAB1的距離d=7.D由正方體的性質(zhì),易得平面AB1D1∥平面BDC1,則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面AB1D1的距離.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(a,0,0),B(a,a,0),A1(a,0,a),C(0,a,0),CA1=(a,-a,a),BA=(0,-a,0),連接A1C,則A1C⊥B1D1,A1C⊥AB1,所以A1C⊥平面AB1D1,得平面AB1D1的一個(gè)法向量為n=(1,-1,1),則兩平面間的距離d=8.2解析分析知AB,AD,AP兩兩垂直,所以可建立以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系(如圖所示),則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),PB=(2,0,-2),BC=(0,2,0).設(shè)平面PBC的法向量為n=(a,b,c),則n·PB=0n·BC=0,即2a?2c=02b=0,取a=1,則b=0,c=1,則n=(1,0,1)是平面二、能力提升1.A將展開(kāi)圖還原成正方體,以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由圖知A(0,0,0),M(1,1,1),F(1,1,0),C(0,1,1).設(shè)CF的中點(diǎn)為G,連接GM,則G(12,1,12),MG=(-12,0,-12),又AM=(1,1,1),故G到AM的距離2.C連接OO1,易得OO1⊥平面ABCD,所以O(shè)O1⊥OA,OO1⊥OB.又OA⊥OB,所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為4的菱形,∠DAB=60°,所以O(shè)A=23,OB=2,則A(23,0,0),B(0,2,0),C(-23,0,0),O1(0,0,3),E(3,0,32),所以O(shè)1B=(0,2,-3),O1C=(-23,0,-3),EO1=(-3,0,32).設(shè)平面O1BC的法向量為n=(x,y,z),則n·O1B=0n·O1C=0,所以2y?3z=0?23x?3z=0,取z=2,3.5解析如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,則O(0,0,0),C(3,0,0),B(0,3,0),A(3,3,0),D(3,3,3),所以BA=(3,0,0),CA=(0,3,0),AD=(0,0,3).設(shè)平面α的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則點(diǎn)B到平面α的距離為d1=|BA·n||n|=|3x|x2+y2+z2=2①,點(diǎn)C到平面α的距離為d1=|4.解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B1(22,22,4),D1(0,0,4),E(22,2,0),F(2,22,0),則EF=(-2,2,0),D1E=(22,2,-4),D1F=(2,22,-4),D1B點(diǎn)D1到直線EF的距離為d1=|D所以S△EFD1=12設(shè)平面EFD1的法向量為n=(x,y,z),則n·D1E=0n·D1F=0,即22x+2y?4z=02x所以點(diǎn)B1到平面EFD1的距離d2=|D所以VB1?EFD1=135.解析以{AB,AD,AP}為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),則BP=(-1,0,2),CD=(-1,1,0),CB=(0,-1,0).設(shè)Q為直線PB上一點(diǎn),且BQ=λBP=(-λ,0,2λ),連接CQ,則CQ=CB+BQ=(-λ,則點(diǎn)Q到直線CD的距離d=|CQ|2?(CQ·CD所以異面直線PB與CD之間的距離為236.解析(1)取A1C1的中點(diǎn)O,連接B1O,OD,易得OA1,OD,OB1兩兩垂直.如圖,以O(shè)為原點(diǎn),OA1,OD,OB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,2,0),B(0,2,3),D(0,2,0),A1(1,0,0),E(-1,1,0),A1D=(-1,2,0),A1B=(-1,2,3),BA=(1,0,-3),BE=(-1,-1,設(shè)n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分別為平面A1BD和平面BAE的法向量.由A1D·n取y1=1,則x1=2,z1=0,所以n1=(2,1