第二時間序列分析的基本概念演示文稿當前1頁，總共76頁。優選第二時間序列分析的基本概念當前2頁，總共76頁。1.引：事物的變化過程可分為兩類：對于每一個固定的時刻t，變化的結果，一類是確定的，這個結果可用t的某個確定性函數來描述；另一類結果是隨機的，即以某種可能性出現多個（有限多個或無限多個）結果之一。一、隨機過程下一頁返回本節首頁上一頁當前3頁，總共76頁。2.定義：設E是隨機試驗，S是它的樣本空間，如果對于每一個e，我們總可以依某種規則確定一時間t的函數與之對應（T是時間t的變化范圍），于是，對于所有的的e來說，就得到這族時間t的函數為隨機過程，而族中每一個函數為這個隨機過程的樣本函數（或一次實現）。《隨機過程導論》周萌清當前4頁，總共76頁。該定義蘊涵的四種情況：

1、當e和t都是變量時，x(t)是一族時間的函數，它表示一個隨機過程；2、當e給定，t為變量時，x(t)是一個時間t的函數，稱它為樣本函數，有時也稱為一次實現。3、當t給定，e為變量時，x(t)是一個隨機變量。4、當e、t均給定時，x(t)是一個標量或者矢量。X(t)t當前5頁，總共76頁。《經濟時間序列》王耀東當前6頁，總共76頁。我們所要討論的時間序列分析，只是對平穩序序列及其有關的隨機序列進行統計分析，而不是對所有的隨機序列進行統計分析。此類隨機過程又稱隨機序列（randomsequence)或時間序列（timeseries)。對于一個連續時間的隨機過程，通過等間隔采樣，也是一個隨機序列。當前7頁，總共76頁。區別：1、隨機變量是定義在樣本空間上的一個單值實函數，隨機過程是一族時間t的函數。2、對應于一定隨機試驗和樣本空間的隨機變量與時間t無關，而隨機過程與時間密切相關。3、隨機變量描述事物在某一特定時點上的靜態，隨機過程描述事物發展變化的動態。二、隨機過程與隨機變量之間的關系下一頁返回本節首頁上一頁當前8頁，總共76頁。聯系：1、隨機過程具有隨機變量的特性，同時還具有普通函數的特性。2、隨機變量是隨機過程的特例。一元隨機變量可視為參數集為單元素集的隨機過程。3、當隨機過程固定某一個時刻時，就得到一個隨機變量。4、隨機過程是N維隨機向量、隨機變量列的一般化，它是隨機變量X(t)的集當前9頁，總共76頁。第二節平穩時間序列一、兩種不同的平穩性定義二、時間序列的分布、均值和協方差函數三、平穩序列的自協方差和自相關函數四、白噪聲序列和獨立同分布序列五、獨立增量隨機過程、二階矩過程六、線性平穩序列七、偏自相關函數下一頁返回本節首頁上一頁當前10頁，總共76頁。一、兩種不同的平穩性定義1.嚴平穩過程：若對于時間t的任意n個值t1<t2<…<tn，此序列中的隨機變量Xt1+s,Xt2+s,…,Xtn+s聯合分布與整數s無關，即有：Ft1,t2,…tn(Xt1,Xt2…,Xtn)=Ft1+s,t2+s…+tn+s(Xt1+s,Xt2+s,…,Xtn+s)則稱{Xt}為嚴平穩過程。有些參考書也稱為狹義平穩或強平穩過程。下一頁返回本節首頁上一頁當前11頁，總共76頁。此定義表明，嚴平穩的概率分布與時間的平移無關。一般來說，若所研究的隨機過程，前后的環境和主要條件都不隨時間變化，就可以認為它是平穩隨機過程。平穩隨機過程的一維概率密度函數與時間無關。二維概率密度函數只與時間間隔S有關，而與時間的起點和終點無關。當前12頁，總共76頁。2.寬平穩過程：若時間序列有有窮的二階矩，且Xt滿足如下兩個條件：則稱該時間序列為寬平穩過程。此定義表明，寬平穩過程各隨機變量的均值為常數，且任意兩個變量的協方差僅與時間間隔(t-s)有關。（寬平穩過程只涉及一階和二階矩）當前13頁，總共76頁。3.嚴平穩過程和寬平穩過程的聯系和區別區別：（1）嚴平穩的概率分布隨時間的平移而不變，寬平穩序列的均值和自協方差隨時間的平移而不變。（2）一個嚴平穩序列，不一定是寬平穩序列；一個寬平穩序列也不一定是嚴平穩序列。當前14頁，總共76頁。聯系：（1）若一個序列為嚴平穩序列，且有有窮的二階矩，那么該序列也必為寬平穩序列。（2）若時間序列為正態序列（即它的任何有限維分布都是正態分布），那么該序列為嚴平穩序列和寬平穩序列是相互等價的。當前15頁，總共76頁。注：由于在實際中嚴平穩序列的條件非常難以滿足，我們研究的通常是寬平穩序列，在以后討論中，若不作特別說明，平穩序列即指寬平穩序列。當前16頁，總共76頁。例1、設隨機過程X（t）=At，A為均勻分布于[0，1]上的隨機變量。試問X（t）是否平穩？例2、設隨機過程Z（t）=Xcost+Ysint,

其中X，Y為相互獨立的隨機變量，且分別以概率2/3、1/3取值-1和2。試討論隨機過程Z（t）的平穩性。當前17頁，總共76頁。二、時間序列的分布、均值和協方差函數1.時間序列的概率分布隨機過程是一族隨機變量，類似于隨機變量，可以定義隨機過程的概率分布函數和概率密度函數。它們都是兩個變量t,x的函數。下一頁返回本節首頁上一頁當前18頁，總共76頁。如：時間序列的所有一維分布是：若給定時刻ti，隨機過程就是一維隨機變量X（ti)。事件x(ti)<=x的概率為F-1(X-1)，F-2(X-2)，F0(X0)，F1(X1)，F2(X2)……其中Fi(Xi)表示Xi的分布函數。對其關于x求偏導，即X（t）的一維概率密度函數f(x,ti).時間序列的所有二維分布是：Fij(Xi,Xj)，i,j=0,±1,±2,±3……其中Fij(Xi,Xj)是二元隨機變量(Xi,Xj)的聯合概率分布。……

……當前19頁，總共76頁。如果我們能確定出時間序列的概率分布，我們就可以對時間序列構造模型，并描述時間序列的全部隨機特征，但由于確定時間序列的分布函數一般不可能，人們更加注意使用時間序列的各種特征量的描述，如均值函數、協方差函數、自相關函數、偏自相關函數等，這些特征量往往能代表隨機變量的主要特征。當前20頁，總共76頁。2.均值函數一個時間序列{Xt，t=0,±1,±2……}的均值函數指：即為{Xt}的均值函數。它實質上是一個實數列，被{Xt}的一維分布族所決定。均值u(t)表示隨機過程在各個時刻的擺動中心。當前21頁，總共76頁。3.時間序列的自協方差函數由此可見，時間序列的自協方差函數是隨機變量間協方差推廣差時間序列自協方差函數具有對稱性：當前22頁，總共76頁。4.時間序列的自相關函數自相關函數描述了時間序列的{Xt}自身的相關結構。時間序列的自相關函數具有對稱性，且有當前23頁，總共76頁。三、平穩序列的自協方差和自相關函數1.平穩序列的自協方差函數和自相關函數若{Xt}為平穩序列，假定EXt=0，由于令s=t-k，于是我們就可以用以下記號表示平穩序列的自協方差函數，即：下一頁返回本節首頁上一頁當前24頁，總共76頁。相應的，嚴平穩序列的自相關函數記為：當前25頁，總共76頁。2.平穩序列的自協方差序列和自相關函數列的性質當前26頁，總共76頁。四、白噪聲序列和獨立同分布序列1.白噪聲（Whitenoise）序列定義：若時間序列{Xt}滿足下列性質：則稱此序列為白噪聲序列。下一頁返回本節首頁上一頁當前27頁，總共76頁。白噪聲序列是一種特殊的寬平穩序列，也是一種最簡單的平穩序列，它在時間序列分析中占有非常重要的地位。當前28頁，總共76頁。2.獨立同分布（iid）序列定義：如果時間序列{Xt}中的隨機變量Xt，t=0,±1,±2……是相互獨立的隨機變量，且Xt具有相同的分布（當Xt有一階矩時，往往還假定EXt=0）,則稱{Xt}為獨立同分布序列。可見獨立同分布序列{Xt}是一個嚴平穩序列。當前29頁，總共76頁。一般來說，白噪聲序列與獨立同分布序列是不同的兩種序列，但是當白噪聲序列為正態序列時，它也是獨立同分布序列，此時我們稱其為正態白噪聲序列（NID）。當前30頁，總共76頁。-4-2024808284868890929496正態白噪聲序列當前31頁，總共76頁。五、獨立增量隨機過程、二階矩過程獨立增量隨機過程獨立增量過程是物理上重要的馬氏過程。隨機過程X（t），t〉=0，用X（t1,t2)表示隨機變量X(t2)-X(t1),并稱為X（t）在（t1,t2)上的增量，如果對一切t1<t2<……<tn，增量是相互獨立的，則稱[X（t），t〉=0]是一個獨立增量過程。馬氏過程：從對過去記憶性角度來考慮的，簡單的說，一階馬氏過程表示：將來時刻tn的狀態xn的統計特性僅取決于現在時刻tn-1時刻的值xn-1。下一頁返回本節首頁上一頁當前32頁，總共76頁。二階矩過程定義：若一個隨機過程X(t)，，如果對于一切,總有則稱此過程為二階矩過程。廣義平穩過程是二階矩過程中的一類。高斯過程也是二階矩過程。高斯分布是指隨機過程的各有限維分布都是高斯分布，高斯分布的各階矩都存在，故也屬于二階矩過程。當前33頁，總共76頁。六、線性平穩序列1.時間序列的線性運算設{Xt}與{Yt}為兩個時間序列，a，b為兩個實數，那么，zt=axt+bytt=0,±1,±2……為序列{Xt}與{Yt}的一種線性運算。2.時間序列的遲運算設{Xt}為一時間序列，d為一正整數，那么，yt=xt-dt=0,±1,±2……為Xt的d步延遲運算。下一頁返回本節首頁上一頁當前34頁，總共76頁。3.時間序列的線性與延遲聯合運算yt=a0xt+a1xt-1+…+apXt-pt=0,1,2…為時間序列線性與延遲聯合運算。當ai=1/p，i=0,1,2,…時，{Yt}即為對序列{Xt}的移動平均序列。4.時間序列的非線性運算非線性運算的形式是多種多樣的：如yt=xt2+axt，yt=xt-1/(1+xt-2)2等。當前35頁，總共76頁。5.平穩線性序列設{at}為正態白噪聲序列，則稱序列：注：可以證明，{Xt}為一寬平穩序列。為線性平穩序列。當前36頁，總共76頁。七、偏自相關函數偏自相關函數：指扣除Xt和Xt+k之間的隨機變量Xt+1,Xt+2,

…Xt+k-1等影響之后的Xt和Xt+k之間的相關性。偏自相關函數一般用表示。偏自相關其實就是如下的條件相關：cov(Xt,Xt+k|Xt+1,Xt+2…Xt+k-1)下一頁返回本節首頁上一頁當前37頁，總共76頁。第三節隨機過程的特征描述一、樣本均值二、樣本自協方差函數三、樣本自相關函數（SACF）四、樣本偏自相關函數下一頁返回本節首頁上一頁當前38頁，總共76頁。一、樣本均值對時間序列的一次樣本實現，需要用樣本均值代替總體均值可以證明，是的無偏、一致估計。下一頁返回本節首頁上一頁當前39頁，總共76頁。對于時間序列的一次樣本現，我們也需要通過樣本自協方差函數估計總體自協方差函數。這里有兩種形式：書P73二、樣本自協方差函數下一頁返回本節首頁上一頁當前40頁，總共76頁。通過證明有如下結論：上述樣本自協方差函數都是總體自協方差函數的漸近無偏估計，且比的偏要大。但是，比的方差小，且在大樣本情況下（n很大），二者差別不大，因此我們通常用作為樣本自協方差函數。當前41頁，總共76頁。由于當k相對于n而言較大時，的偏比更大，因此，在時間序列分析時，一般滯后期k最多取至n/4當前42頁，總共76頁。三、樣本自相關函數（SACF）1.對給定的序列x1,x2,…xn，樣本自相關函數定義為：下一頁返回本節首頁上一頁當前43頁，總共76頁。四、樣本偏自相關函數（SPACF）P771.樣本偏自相關函數有如下遞推公式：下一頁返回本節首頁上一頁當前44頁，總共76頁。例如，根據上述遞推公式，我們有：當前45頁，總共76頁。在過程是一個白噪聲序列的假設下，所以，能作為檢驗白噪聲過程假設的準則區限。當前46頁，總共76頁。Tzt

zt+1Zt+2Zt+3……Zt-1Zt-211381528154133154481344412158541211415612117447117141248714121112914127111012147計算樣本自相關函數（SACF）當前47頁，總共76頁。1.時間序列的平穩性檢驗對k的圖稱為樣本自相關圖，我們可以通過樣本自相關函數判斷時間序列是否為平穩序列。檢驗原理：如果一個時間序列為白噪聲序列，那么近似地服從N(0,1/n)。于是根據正態分布的性質，對任一的95%的置信區間為：當前48頁，總共76頁。檢驗一：檢驗序列是否為平穩序列若在k>3時都落入置信區間，并逐漸趨于零，則該時間序列具有平穩性；若有更多的落在置信區間以外，則該時間序列不具有平穩性。Eviews3.1顯示的自相關圖（correlogram)中的兩條虛線即為的95%置信區間。見圖示當前49頁，總共76頁。檢驗二：檢驗序列是否為白噪聲序列原假設：全部同時為0（k>1）檢驗統計量：Q統計量（Qstatistic）其中，n為樣本容量，m為滯后長度。Q近似地服從。當前50頁，總共76頁。檢驗：對于給定的顯著性水平，若則拒絕原假設，此時，序列不是白噪聲序列；若，則不能拒絕原假設，此時不能拒絕序列為白噪聲序列。當前51頁，總共76頁。在Eviews3.1顯示的自相關圖中，同時給出了Q統計量值和它的相伴概率（P值），若,則接受原假設，即可認為序列為白噪聲序列；否則拒絕原假設。當前52頁，總共76頁。0100200300400500600700808284868890929496美國S&P500指數非平穩序列當前53頁，總共76頁。非平穩序列自相關圖當前54頁，總共76頁。-4-2024808284868890929496平穩序列正態白噪聲生成序列當前55頁，總共76頁。平穩序列自相關圖當前56頁，總共76頁。第四節線性差分方程引：線性差分方程在我們討論的時間序列分析中占有重要作用，事實上，我們后面將要建立的時間序列模型就是線性差分方程，這些模型的性質往往取決于差分方程根的性質。下一頁返回本節首頁上一頁當前57頁，總共76頁。第四節線性差分方程一、線性差分方程二、關于線性差分方程基本定理三、n階常系數線性差分方程的解下一頁返回本節首頁上一頁當前58頁，總共76頁。一、線性差分方程1.n階非齊次線性差分方程2.n階齊次線性差分方程（1），（2）式中，ai(t)、f(t)為t的已知函數，且an(t)、f(t)不同時為零，若

ai(t)為常數，則上述兩式即為常系數差分方程。下一頁返回本節首頁上一頁當前59頁，總共76頁。二、關于線性差分方程基本定理定理1.若y1(t)，y2(t)，…ym(t)是n階齊次線性差分方程（2）的m個特解，則如下的線性組合也是該差分方程的的特解：y(t)=c1y1(t)+c2y2(t)+…+cmym(t)式中c1、c2…cm為任意常數。下一頁返回本節首頁上一頁當前60頁，總共76頁。定理2.n階齊線性齊次差分方程一定存在n個線性無關的特解，若y1(t)，y2(t)，…yn(t)為式（2）的n個線性無關的特解，則（2）式的通解為：yc(t)=c1y1(t)+c2y2(t)+…+cnyn(t)