6.4基本不等式[課時追蹤檢測][基礎達標]a2＋b21．“a>b>0”是“ab<”的( )2A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件分析：由a>b>0得，a2＋b2>2ab；但由a2＋b2>2ab不可以獲得a>b>0，故“a>b>0”是a2＋b2A.“ab<2”的充分不用要條件，應選答案：A2x的最大值為()2．當x>0時，f(x)＝2x＋11A.2B．1C．2D．42x221分析：∵x>0，∴f(x)＝x2＋1＝1≤2＝1，當且僅當x＝x，即x＝1時取等號．x＋x答案：B3．(2017屆合肥調研)若a，b都是正數，則b4a1＋a1＋b的最小值為()A．7B．8C．9D．10分析：由于，b都是正數，所以1＋b1＋4ab4ab4a＝9，當且＝5＋＋≥5＋2·aababab僅當b＝2a時取等號，選項C正確．答案：C4．以下不等式必定建立的是( )21A．lgx＋4>lgx(x>0)1B．sinx＋sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)11D.x2＋1>1(x∈R)21?21>0)?42－4＋1>0(>0)．當＝111分析：lgx＋>lgxx＋>(xxxx時，4×22－4×＋44xx221221＝0，∴A錯；當sinx＝－1時，sinx＋sinx＝－2<2，∴B錯；x＋1≥2|x|?(|x|－1)≥0，1C正確；當x＝0時，x2＋1＝1，∴D錯．答案：C115．已知a>0，b>0，a，b的等比中項是1，且m＝b＋a，n＝a＋b，則m＋n的最小值是( )A．3B．4C．5D．611分析：由題意知ab＝1，∴m＝b＋a＝2b，n＝a＋b＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4ab＝4，當且僅當a＝b＝1時取等號．答案：B6．已知x>0，>0，且2＋1＝1，若x＋2>2＋2恒建立，則實數的取值范圍是( )yxyymmmA．m≥4或m≤－2B．m≥2或m≤－4C．－2<m<4D．－4<m<21分析：∵x>0，y>0，且x＋y＝1，214yx4yx422∴x＋2y＝(x＋2y)x＋y＝4＋x＋y≥4＋2x·y＝8，當且僅當x＝y，即4y＝x，x＝2y時取等號，又2＋1＝1，此時x＝4，＝2，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2>2＋2恒成xyyymm22立，只要(x＋2y)min>m＋2m恒建立，即8>m＋2m，解得－4<m<2.答案：D7．某車間分批生產某種產品，每批的生產準備花費為800元．若每批生產x件，則平x1元．為使均勻到每件產品的生產準備費均倉儲時間為8天，且每件產品每日的倉儲花費為用與倉儲花費之和最小，每批應生產產品( )A．60件B．80件C．100件D．120件2分析：每批生產x件，則均勻每件產品的生產準備花費是800元，每件產品的倉儲花費x是x元，則800＋x≥2800·x＝20，當且僅當800＝x，即x＝80時“＝”建立，∴每批生8x8x8x8產產品80件．答案：B8．(2018屆遼寧師大附中模擬)函數y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mx＋ny＋1＝0上，此中m，n均大于12的最小值為( )0，則＋mnA．2B．4C．8D．16分析：∵當x＝－2時，＝loga1－1＝－1，y∴函數y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點(－2，－1)，即A(－2，－1)．∵點A在直線mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.m>0，n>0，122m＋n4m＋2nn4mn4m∴＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2··＝8，mnmnmnmn當且僅當m＝1，n＝1時取等號．應選C.42答案：C9．(2017屆山東泰安模擬)若直線l：x＋y＝1(>，>0)經過點(1,2)，則直線l在xababb軸和y軸上的截距之和的最小值是________．分析：由題意，知直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b.由直線l經過點(1,2)12得a＋b＝1.所以＋＝(＋)×1＝(a＋12b2a)×＋＝3＋＋.ababbababb2b2ab2a＋b≥3＋2由于a＋b≥2a×b＝22當且僅當a＝b時取等號，所以2.答案：3＋2210．(2017屆江西八校聯考)已知點(，y)到(0,4)和到(－2,0)的距離相等，則2xPxAB4y的最小值為________．分析：由題意得，x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2xy≥2xy，整理得x＋2y＝3，∴2＋42·4＝322x＋2y＝42，當且僅當x＝2y＝3時等號建立，故2x＋4y的最小值為42.2答案：423811．(1)當x<2時，求函數y＝x＋2x－3的最大值；(2)設0<x<2，求函數y＝x－2x的最大值．解：(1)y＝1(2x－3)＋8＋3＝22x－323－2x832＋3－2x＋2.3當x<2時，有3－2x>0，3－2x83－2x8∴2＋3－2x≥22·3－2x＝4，當且僅當3－2x＝8，即x＝－1時取等號．23－2x2355于是y≤－4＋＝－，故函數的最大值為－.222(2)∵0<x<2，∴2－x>0，＋2－x∴y＝x－2x＝2·x2，當且僅當x＝2－x，即x－x≤2·＝2＝1時取等號，∴當x＝1時，函數y＝x－2x的最大值為2.12．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：xy的最小值；x＋y的最小值．2解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1，又x>0，y>0，82828則1＝x＋y≥2x·y＝xy，得xy≥64，當且僅當x＝16，y＝4時，等號建立．所以xy的最小值為64.2由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1，822x8y則x＋y＝x＋y(x＋y)＝10＋y＋x≥42810＋2y·x＝18，當且僅當x＝12且y＝6時等號建立，∴x＋y的最小值為18.[能力提高]1921．正數a，b知足a＋b＝1，若不等式a＋b≥－x＋4x＋18－m對隨意實數x恒建立，則實數的取值范圍是()mA．[3，＋∞)B．(－∞，3]C．(－∞，6]D．[6，＋∞)9分析：由于a>0，b>0，a＋b＝1，19b9a2所以a＋b＝(a＋b)a＋b＝10＋a＋b≥10＋29＝16，由題意，得16≥－x＋4x＋18－，m即x2－4x－2≥－m對隨意實數x恒建立，而x2－4x－2＝(x－2)2－6，所以x2－4x－2的最小值為－6，所以－6≥－m，即m≥6.答案：Dx≥2，2．(2018屆山東濱州模擬)已知變量，3－y≥1，若＝＋xyaxzy≥x＋1，by(a>0，b>0)的最小值為2，則ab的最大值為()1A．1B．211C.4D．6分析：作出不等式組知足的可行域如下圖，目標函數z＝ax＋by(a>0，b>0)，故當x，y均取最小值時，z取到最小值．5即當x＝2，y＝3時，z＝ax＋by獲得最小值a＋3b22，即2a＋3b＝2，所以2a·3b≤411＝1，當且僅當2a＝3b＝1，即a＝2，b＝3時等號建立，所以(6ab)max＝1，即(ab)max16答案：D3．(2017屆山東日照模擬)若實數x，y知足xy>0，則x2y)＋的最大值為(x＋yx＋2yA．2－2B．2＋2C．4＋22D．4－22x2yxx＋2y－x分析：x＋y＋x＋2y＝x＋y＋x＋2y＝xxxy1＋x＋y－x＋2y＝1＋x＋yx＋2y＝1＋2＋3xy＋22＝1＋1，xyx23＋y＋xy由于xy>0，所以y>0，x>0.由基本不等式可知x＋2y≥22，當且僅當x＝2y時等號建立，所以1＋1≤1yx2xy3＋y＋x1＝4－22.＋3＋22答案：D4．(2017屆陜西寶雞一模)正項等比數列{an}中，a2016＝a2015＋2a2014，若aman＝16a21，則41的最小值等于( )＋mnA．1B．32513C