其方向用法向量指向表示: cos cos

00

00

0為上 <0為下 若曲面為:zzx, 則曲面定向可取上側(cè)或下側(cè) 法向量為nzx,zy當(dāng)此曲面取下側(cè)時(shí) 法向量為nzx,zy, nzx,zyzzx,

zzx,nzx,zy,

若曲面為yyxz,當(dāng)此曲面取右側(cè)時(shí),z

法向量為nyx,1yz法向量為nyx1yzznyx,1,yzyyx,z

nyx,1,yz yyx,z

若曲面為xzyz,當(dāng)此曲面取前側(cè)時(shí),xxxy,O

z

n1,xy,xzn1,xy,xzzyx

xxy,z把S投影到xOy面上得一投影區(qū)域面積記為S在xOy面上的投影S ()xy(S)xy()xy

cos0cos0cos0v(x,yz)(P(x,yzQ(x,yzR(x,yz給出是速度場(chǎng)中的一片有向曲面函數(shù)P(x,yzQ(x,yzR(x,yz)都在上連續(xù)求在單位時(shí)間內(nèi)流向指定側(cè)流體的質(zhì)量 即流量當(dāng)n

π時(shí)nnvhA|v|cosAv當(dāng)n

2時(shí)Avnπ2時(shí) Avnnini(i,i,i)cosiicos jcosinvnvi viniSii1nviniSin[P(i,i,i)cosiQ(i,i,i)cosiR(i,i,i)cosncosiSiSi,cosiSiSi,cosiSiSi n[P(i,i,i)(Si)yzQ(i,i,i)(Si)zxn定義設(shè)為光滑的有向曲面R(x,yz在上有界把任意分成n塊小曲面SiSi也代表第i小塊曲面面xOy面上的投影為Si

，(i,iiSi上任意一點(diǎn)如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值0時(shí)n0

定義R(x,yz在有向曲面xyR(x,yR(x,y,z)dxdylim0nR(,,iii)(S R(x,yz)叫做被積函數(shù)叫做積分曲面nP(x,yz)dydzlimP(i,i,i)(Sin 0iP在曲面上對(duì)坐yz的曲面積分nQ(x,y,z)dzdxlimQ(i,i,i)(Si)zxn 0為Q在曲面zx對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的簡(jiǎn)記形式P(x,y,z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxd P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxd對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的物理意義P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的側(cè)的性質(zhì)設(shè)是有向曲面表示與取相反側(cè)的曲面 設(shè)積分曲面zz(xy給出的xOy面上的投影區(qū)域Dxyzz(x,yDxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)R(x,yz)在上連續(xù)R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x, 當(dāng)取上側(cè)時(shí)積分前取“” 當(dāng)取下側(cè) 類似地如果xxyz給出P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,

前正后 如果由yy(x,z)給出 Q(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx

右正左 例計(jì)算曲面積分x2dydzy2dzdx方體的整個(gè)表面的外側(cè)

其中是長(zhǎng) 66 解把的上下面分別記為1和2

前后面分別記為3和4左右面分別記為5和61z5yxO解1:zc(0xa,0y1z5yxO42:z0(0xa0yb的下側(cè)3:xa(0yb,0zc)的前側(cè) 34x0(0yb0zc的后側(cè)5:y0(0xa0zc的左側(cè)6:yb(0xa0zc的右側(cè)解除3、4外其 曲面在yOz面上的投影為零4x2dydzx2dydz4

3:x

a2dydzDyz

0dydzDyz

4:x

a2bcy2dzdxb2ac

O4O4z2dxdyc2ab

于是所求曲面積分為(abc)abc例計(jì)算曲面積分xyzdxdy 其中是球 x2y2z21外側(cè)在x0,y0的部分 解1 z 1x2 (x0,y0)的上側(cè)2 z1x2 (x0y0的下側(cè)

例計(jì)算曲面積分xyzdxdy 其中是球x2y2z21x0y0的部分解1和2xOy

y都是D

:x2y21(x0,y 2解xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy 1x2 xy1x2y2dxdy1x2

2xyDxyπ

1x2y2dxd 22d1

sincos1r2

設(shè)積分曲面zz(x,y給出zz(x,yDxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)R(x,yz)在上連續(xù) R(x,y,z)dxdy R[x,y,z(x,y)]dxdy Dxy1z2z2xy1z2z2xy1z21z2z2xy1z2z2xy

zx

cos

zy

cos R(x,y,z)cosdS R[x,y,z(x,y)]dxdy R(x,y,z)dxdy R(x,y,z)cosdS 如果取下側(cè) 則R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x, 但這時(shí)cos 因此仍有 1z2 R(x,y,z)dxdyR(x,y,z)cos R(x,y,z)dxdyR(x,y,z) P(x,y,z)dydz P(x,y,z)cosdS Q(x,y,z)dzdxQ(x,y,z)cosdS PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos 向量形AdSAndS，AdSAndS A(P,Q,R)n(cos,cos,cos)dSndS(dydz,dzdx,An為向A在向量n上的投影例計(jì)算曲面積分(z2x)dydzzdxdy 其中是曲z1(x2y2z0z2之間部分的下側(cè) 解曲面上向下的法向量為(x,y, cos cos 1x2 1x2 解dS

1x2y2dxdydydz=cosdS,dxdycosdydz=cosdxdy(x)dxdy,cos(z2x)dydzzdxdy[(z2x)(x)

(x2

y