第9章數學形態學及其應用9.1形態學簡介（1）運算由集合運算（如并、交、補等）來定義；（2）全部的圖像都必需以合理的方式轉換為集合。形態學算子的性能主要以幾何方式進行刻畫，更適合視覺信息的處理和分析。基本思想：利用結構元素作為“探針”在圖像中不斷移動，在此過程中收集圖像的信息、分析圖像各部分間的相互關系，從而了解圖像的結構特征。圖9.1數學形態學的方法依據探測探討圖像的不同結構特點，結構元素可攜帶形態、大小、灰度、色度等信息。不同點的集合形成具有不同性質的結構元素。由于不同的結構元素可以用來檢測圖像不同側面的特征，因此設計符合人的視覺特性的結構元素是分析圖像的重要步驟。最基本的形態學運算有：腐蝕，膨脹，開啟，閉合。用這些算子及其組合來進行圖像形態和結構的分析及處理，可以解決抑制噪聲、特征提取、邊緣檢測、形態識別、紋理分析、圖像復原與重建等方面的問題。數學形態學的特性：（1）反映的是一幅圖像中像素點間的邏輯關系，而不是簡潔的數值關系。（2）是一種非線性的圖像處理方法，并且具有不行逆性(后邊具體說明)。（3）可以并行實現(串行和并行的區分)。（4）可以用來描述和定義圖像的各種集合參數和特征。9.1.2幾個基本概念1.擊中與擊不中設有兩幅圖像A和B，假如A∩B≠Ф（空集），那么稱B擊中（hit）A，記為B↑A，；否則，假如A∩B=Ф，稱B擊不中（miss）A。ABB’2.移動和反射設A是一幅數字圖像，a是A的元素；b是一個點，那么定義A移動到b后的結果為

(A)b＝{(a)b|a∈A}（9.1）一幅數字圖像A關于原點的反射定義為AV＝{a|-a∈A}（9.2）3.結構元素依據不同的圖像分析目的，常用的結構元素有方形、扁平形、圓形等。在多尺度形態學分析中，結構元素的大小可以變更，但結構元素的尺寸一般地要明顯小于目標圖像的尺寸。9.2二值形態學二值圖像是數字圖像的重要子集，指灰度值只取兩種值的圖像。兩個灰度值可取為0和1。二值形態學處理算法都是以膨脹,腐蝕這兩種最基本的運算為基礎的。一般設集合A為圖像集合，集合B為結構元素，數學形態學運算是用B對A進行操作。二值分割：9.2.1二值腐蝕集合A（輸入圖像）被集合B（結構元素）腐蝕:(9.3)

圖9.2腐蝕示意圖dd/8d/8dd/4d/4AB

ABd9.2.2二值膨脹腐蝕運算的對偶運算，可以干脆定義，也可通過對補集的腐蝕來定義，即以AC表示集合A的補集，表示B關于坐標原點的反射。集合A被集合B膨脹表示為：也可表示為圖9.3膨脹示意圖腐蝕和膨脹操作的直觀說明腐蝕是對圖像內部作濾波處理，而膨脹是利用結構元素對圖像補集進行填充，因而它是對圖像外部作濾波處理。腐蝕具有收縮圖像的作用，膨脹具有擴大圖像的作用。9.2.3二值開運算有兩種二次運算起著特殊重要的作用開運算閉運算（開運算的對偶運算）。從結構元素填充的角度看，它們具有更為直觀的幾何形式。開運算的定義假設A仍為輸入圖像，B為結構元素，利用B對A作開運算，用符號A○B表示，其定義為：圖9.4利用圓盤作開運算

9.2.4二值閉運算閉運算是開運算的對偶運算，定義為先作膨脹后作腐蝕。開、閉運算也互為對偶運算圖9.5利用圓盤作閉運算開運算具有磨光圖像外邊界的作用即去除毛刺；閉運算具有磨光圖像內邊界的作用即填充破損。二值形態學應用一、形態學濾波器二、圖像骨架提取VC++MATLAB9.3灰值形態學在灰度圖像形態處理中，輸入和輸出的圖像都是灰度級形式的輸入和輸出像素值是在最低灰度值到最高灰度值之間。9.3.1

灰值腐蝕形態學源于填充的概念灰值形態學處理的對象是圖像信號波形的拓撲特性，結構元素也是一個信號。二值形態學中，集合的交、并運算起到關鍵作用在灰值形態學中這兩種運算對應于極大和微小運算。可利用填充、極大/微小概念干脆定義灰值運算。用結構元素g對輸入圖像f(x,y)進行灰值腐蝕記為用一維函數對其進行簡化，定義為由于結構元素必需在信號的下方，故空間平移結構元素的定義域必為信號定義域的子集，否則腐蝕在該點沒有定義。結構元素從信號的下面對信號產生濾波作用，這與結構元素從內部對二值圖像濾波的狀況是相像的。圖9.6灰值腐蝕運算9.3.2灰值膨脹灰值膨脹可用灰值腐蝕的對偶運算來定義。接受求極大值的方法，即在位于信號下方的條件下，求上推結構所能達到的最大值。利用結構元素的反射，求將信號限制在結構元素的定義域內時，上推結構元素使其超過信號時的最小值來定義。

用結構元素g對輸入圖像f(x,y)進行灰值膨脹

(f⊕g)(s,t)=max{f(s-x,t-y)+g(x,y)|s-x,t-y∈Df,x+y∈Dg}用一維函數對其進行簡化，定義為(f⊕g)(s)=max{f(s-x)+g(x)|s-x∈Df,x∈Dg}步驟：對結構元素g的定義域Dg中的每一個點x將信號f平移x，然后，再對每次平移信號的值加上g(x)，這樣對于結構元素定義域中的每個點都得到一個信號，對全部這些信號逐點取其最大值，便可得到膨脹結果。圖9.7灰值膨脹運算(a)灰值膨脹過程(b)灰值膨脹結果9.3.3灰值開運算灰值開和灰值閉運算是腐蝕和膨脹的組合運算。先作腐蝕再作膨脹的迭代運算：這兩種運算也為對偶運算，并且都可用填充概念來說明。

圖9.8灰值開運算

9.3.4灰值閉運算依據對偶性定義，灰值閉運算定義為：f●g=(f⊕g)g(9.14)灰值閉運算具有擴展性濾波結果總位于原始圖像的上方。它從圖像的上方磨光圖像灰值表面對下突出的尖峰（即波谷）。

圖9.9灰值閉運算圖9.10細胞組織圖像的灰值形態運算9.3.5

灰值形態學梯度利用扁平結構元素g對f作腐蝕和膨脹可得到f的局部極大和微小值，與數字差分定義的梯度相應。形態學梯度的定義為：

為了更好地獲得邊緣檢測的效果，可以將形態學梯度與閾值結合起來運用。圖9.11核磁共振圖像的形態學梯度9.3.6

高帽變換和低帽變換通過這兩種變換可以得到灰度圖像中一些重要的標記點。在較亮的背景中求暗的像素點或在較暗的背景中求亮的像素點；檢測受到噪聲污染圖像中的邊緣等。為了使上述效果更明顯，對變換后的圖像也可以作閾值處理。高帽變換從一幅原始圖像f中減去對其作開運算后得到圖像WHT(f)，其定義為：

WHT(f)

=f—(f○g)(9.16)其中，g為結構元素。高帽變換是一種波峰檢測器它在較暗的背景中求亮的像素點很有效。低帽變換與高帽變換相對偶的算子，定義為：BHT(f)

=(f●g)—f(9.17)低帽變換是一種波谷檢測器適合于在較亮的背景中求暗的像素點。圖9.12利用Top-Hat和Bot-hat變換檢測圖像峰值和谷值9.3.7開－閉運算和閉－開運算形態開、閉運算作為最基本的形態濾波運算。在實際的圖像處理中，僅僅接受形態開和閉的濾波效果往往不能令人滿足。在基本的形態開、閉運算的基礎上設計出形態開－閉和形態閉－開組合濾波器，發揮其更好的濾波性能。開－閉運算和閉－開運算互為對偶操作形態開閉－運算能夠濾除圖像中形態小于結構元素的亮噪