穩恒電流電磁學第一頁，共六十一頁，2022年，8月28日第四章穩恒電流§4.1電流的穩恒條件§4.2歐姆定律§4.3非靜電力與電源電動勢§4.4復雜電路與基爾霍夫定律第二頁，共六十一頁，2022年，8月28日§4.1電流的穩恒條件1、電流與電流密度矢量2、電流的連續性方程3、穩恒條件4、穩恒電流第三頁，共六十一頁，2022年，8月28日§電流與電流密度矢量1、電流的形成電荷流動形成電流。在宏觀范圍內，電流就是大量自由電荷的定向運動。（1）產生電流的條件：存在載流子，即可以自由運動的電荷；存在迫使電荷作定向運動的某種作用由于導體對載流子的定向運動具有阻力，要維持這種定向運動，必須有外加作用。第四頁，共六十一頁，2022年，8月28日（2）不同材料中的載流子金屬中電流的載流子是：自由電子金屬中存在大量自由電子，在電場作用下定向運動，形成金屬中電流，同時由于電子質量很小，不會引起宏觀上可觀察到的質量遷移。電解液中電流的載流子是：正負離子半導體中的載流子是：電子和空穴導電氣體中的載流子是：電子和正負離子。第五頁，共六十一頁，2022年，8月28日（3）真空中的電流熱電子發射 真空中沒有自由電荷，因此不會有電流。金屬中的自由電子只在金屬內部自由運動，很難進入真空形成電流。但隨著金屬溫度的升高，會有大量電子從金屬中逸出，這就是熱電子發射，使真空中出現大量載流子，在外電場作用下形成真空中的電流。第六頁，共六十一頁，2022年，8月28日（4）隧道電流微觀粒子具有貫穿勢壘的隧道效應，即使金屬溫度不高時，電子仍有一定的幾率穿過勢壘進入真空，從而在特定條件下，在真空中形成微弱的隧道電流。1982年，IBM蘇黎世實驗室的Binnig博士和Rohrer博士成功的研制出一種新型的表面分析儀器－掃描隧道顯微鏡(STM)，隨后，第一次利用STM在硅單晶表面觀察到周期性排列的原子陣列，首次直接看到單個的原子。由于這一成就，獲得1986年的諾貝爾物理獎。第七頁，共六十一頁，2022年，8月28日圖3.1STM原理示意圖圖3.2C60分子的

STM圖像第八頁，共六十一頁，2022年，8月28日2、電流的方向規定：正電荷流動的方向為電流的方向。因此，導體中電流的方向總是沿著電場的方向，從高電勢流到低電勢。實驗表明：正電荷沿某方向運動和等量負電荷反方向運動所產生的電量遷移等效；除個別現象（如霍爾效應）外，它們產生的電磁效應也相同。第九頁，共六十一頁，2022年，8月28日3、電流強度定義：電荷的定向運動形成電流，電流強度即單位時間內通過導體任一橫截面的電量，稱為電流強度I，簡稱電流。在Δt時間內通過導體任一橫截面的電量Δq，則電流I表達式為：單位：安培（A），1A＝1C/s。第十頁，共六十一頁，2022年，8月28日4、電流密度電流物理量只表示導體中橫截面的總電流大小，不能反映出導體沿橫截面的分布情況，包括電流強弱和方向等細微情況，因此，引入了電流密度矢量j。定義：通電導體內任一點的電流密度矢量j的方向是該點電流的方向，大小等于通過該點單位垂直截面的電流。單位：A/m2第十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日5、電流場電流密度是空間位置的函數，這樣的矢量場描述了導體中的電流分布，稱為電流場。類似于電場線描述電場，引入“電流線”描述電流場。電流線即電流所在空間的一組曲線，其上任一點的切線方向和該點的電流密度方向一致。一束這樣的電流線圍成的管狀區域稱為電流管。第十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日6、電流與電流密度若已知載流導體內P點的電流密度為j，則可以求得通過該點任一面元的電流：通過導體任一有限截面S的電流強度為：

即通過S面的電流I等于通過該面的電流密度矢量通量。第十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日§電流連續性方程1、電流連續性方程（1）積分形式按照電荷守恒定律，由閉合曲面包圍的空間內電荷的減小量等于通過閉合曲面流出的電荷量。在導體內任取一閉合曲面S，所圍區域為V，則單位時間內流出閉合曲面的電量應等于區域V內電量的減少。第十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日（2）微分形式利用數學上的高斯公式，

和可得電流連續性方程得微分形式：第十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日2、電流連續性方程的意義是電荷守恒電律的表達式電流連續性方程表明：電流線只能起、止于電荷隨時間變化的地方；對于電荷密度不隨時間變化的地方，電流線既無起點也無終點，即電流線是連續的。第十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日§4.1.3、穩恒條件穩恒電流是電流場不隨時間變化的電流。載流導體內的電場不隨時間變化，要求產生這種電場的電荷分布是不隨時間變化的，即由電流連續性方程可得電流的穩恒條件：或第十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日穩恒條件的意義電流的穩恒條件表明：任何時刻進入任何閉合曲面的電流密度矢量通量都為0，即電流線不會在任何閉合曲面包圍的空間內終止或產生。穩恒電流的電流線只能是連續的閉合曲線，稱為穩恒電流的閉合性。穩恒電路因此由導體組成的穩恒電流通道（稱為電路）一定是閉合電路。第十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日穩恒電流的特性穩恒電流有兩個特性：（1）穩恒電流的電流線或電流是閉合的，電流線不可能有起點和終點。（2）沿任一電流管的各截面電流強度相等。第十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日§、穩恒電場穩恒電場穩恒電路中的電場是由不隨時間變化的電荷分布產生的電場，雖然不滿足導體靜電平衡條件，但亦不隨時間變化，因此也稱為穩恒電場，它是一種靜態電場。穩恒電場與靜電場有相同的性質。

服從相同的場方程式，即滿足高斯定理和環路定理；電勢、電勢差的概念對穩恒電場仍有效；但靜電平衡條件及其推論不再成立。第二十頁，共六十一頁，2022年，8月28日§4.2歐姆定律1826年德國物理學家歐姆通過實驗發現，在穩恒條件下，通過一段導體的電流和導體兩端的電壓成正比，即或式中，比例系數R與電流的大小無關，而由導體的材料性質，大小和形狀所決定，稱為該導體的電阻。電阻單位：歐姆（1Ω＝1V/A）

第二十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日（1）電阻率與電導率實驗表明：對于橫截面均勻的各向同性導體，其電阻R與導體長度L成正比，與橫截面積S成反比，即式中，ρ稱為導體的電阻率，是完全由導體的材料性質決定的量，單位為Ωm。電阻率的倒數σ稱為導體的電導率，單位為(Ωm)-1。第二十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日圖3.3幾種材料的電阻率ρ第二十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日（2）歐姆定律的微分形式實驗指出：當保持金屬的溫度恒定時，金屬中的電流密度j與該處的電場強度E成正比，即上式表明：導體內任一點的電流密度矢量與該點的場強方向相同，大小成比例。歐姆定律的微分形式對頻率不是很高的非穩恒電流也是適用的。在更一般的情況下，電導率本身也是場強的函數，因此有：第二十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日§焦耳定律1、電流功率電流流過導體時，正電荷從高電勢處向低電勢處運動，在這過程中，電場對電荷做功。根據歐姆定律，單位時間內電場做的功即電流的功率為：單位為瓦特（1W=1J/s)第二十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日2、焦耳定律電場做的功將轉變成其他形式的能量。電場所做的功為：實驗表明，電流通過歐姆介質（純電阻元件）時，電能將以發熱的形式釋放出來，即：上式稱為焦耳定律。做功的單位為：焦耳（J）這一結論只對純電阻R的情況成立。第二十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日3、焦耳定律的微分形式單位體積的導體內的電功率稱為電功率密度，用p來表示，則由歐姆定律的微分形式，可得：上式稱為焦耳定律的微分形式。第二十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日§歐姆定律的經典解釋與失效問題1、金屬導電性的經典微觀解釋2、金屬的導電性的量子理論解釋3、歐姆定律失效情況：電場很強時；高氣壓下的電離氣體；晶體管、電子管等器件、超導介質等以及其它情況。第二十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日§4.3非靜電力與電源電動勢1、非靜電力與普遍形式的歐姆定律2、電源電動勢與路端電壓3、常見的幾種穩恒電源4、穩恒電路中電荷與靜電場的作用第二十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日§非靜電力與普遍形式的歐姆定律1、穩恒電流必須有非靜電力根據穩恒電流條件可知，穩恒電流的電流線必須是閉合曲線，穩恒電路必須是閉合回路。因此，電荷沿閉合回路繞行一周后，所經歷過程的電勢總改變量為0。當正電荷沿電勢下降的路段運動時，靜電力做功，電荷的電勢能減小，電能轉化為熱能或其他形式的能量。當正電荷沿電勢上升的路段運動，電荷的電勢能增加，靜電力對電荷運動起阻礙作用，不消耗其他形式的能量，電荷無法從電勢能小的地方運動到電勢能高的地方，因此穩恒電路中，一定還有一種非靜電力本質的力作用于電荷。第三十頁，共六十一頁，2022年，8月28日2、電源定義：提供非靜電力并將其他形式能量轉換為電勢能的裝置。通常電源有正負兩極，電勢高的叫正極，電勢低的叫負極。作用：（1）通過極板及外電路各處積累的電荷在外電路中產生靜電場使電流經外電路由正極指向負極。（2）在電源內部除了有靜電力之外還有非靜電力，在二者聯合作用下，電流經電源內部由負極流向正極。上述兩部分電流一起形成了閉合的穩恒電流。第三十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日3、普遍形式的歐姆定律為定量的描述電源提供的非靜電力特性，引進物理量k，對應于描述靜電力的物理量E（電場強度），k表示電源內部單位正電荷受到的非靜電力，其方向在電源內與電場方向相反。電荷除受非靜電力作用之外，還會受到靜電力作用。因此，電荷q受到的總力為：q(E+K)。歐姆定律應推廣為普遍形式的歐姆定律：

電流是靜電力和非靜電力共同作用的結果，在只有靜電力的電路段時，回到通常的歐姆定律形式。第三十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日圖3.4電源內部的非靜電力第三十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日§電源電動勢與路端電壓1、電動勢ε

實際上，描述電源特性常用的物理量是電動勢，定義為將單位正電荷從負極經電源內部移到正極時非靜電力所做的功。

電源的電動勢反映電源中非靜電力做功的本領，是表征電源本身特性的物理量，與外電路的性質以及電路是否接通無關。第三十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日2、全閉合電路電動勢有些電源分布于整個閉合回路中，如感生電動勢、溫差電動勢等，無法區分電源內部和外部，這時把電動勢定義為沿閉合回路的線積分，即

稱它為整個閉合回路的電動勢。對通常電源而言，K僅限于電源內部。電動勢的單位與電勢相同：伏特（V）第三十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日3、路端電壓電源正極與負極之間的電勢差U=U＋-U－稱為電源的路端電壓。路端電壓與電源的通電流狀態和電源的本身特性有關。（1）電源不通電流情況包括電源同外電路斷開、兩相同電源并聯及電源在平衡補償電路中的情況。此時，電源內電流密度j＝0，k＝-E，因此有：

第三十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日（2）電源放電情況當電源接入外電路時，電流從電源正極流出，經外電路流回負極，再通過電源電流從負極流向正極，稱為電源處于放電情況。此時，在電源內部由普遍形式的歐姆定律得：在電源內部，j由負極指向正極，故第三十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日由此，得：這里，S是電源內部導體的垂直橫截面，r稱為電源的內阻，由電源的內部結構情況所決定。處于放電狀態的電源，其路端電壓為：第三十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日如上圖，當電源所接的外電路是電阻為R的純電阻性電路時，電源電動勢、內阻、外電路電阻與電路中電流I的關系為：上式稱為單電源簡單直流電路的全電路歐姆定律。圖3.5電源和電阻構成的回路第三十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日（3）電源充電情況當電源同另一個電動勢更大的電源在電路中并聯連結時，電路的電流流向我們研究的電源正極，然后經過電源內部流向負極，再從負極流出。此時，稱電源處于充電狀態。由普遍形式的歐姆定律得：在電源內部，j由負極指向正極，故第四十頁，共六十一頁，2022年，8月28日由此，得：這里，S是電源內部導體的垂直橫截面，r為電源的內阻。充電電源的路端電壓為：第四十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日3、多電源簡單直流電路的全電路歐姆定律對于閉合電路中有很多電源和串聯電阻時，有多電源簡單直流閉合電路的全電路歐姆定律公式：上式中，表示電路中電源電動勢的代數和，求和中放電電源的電動勢值取正，充電電源的電動勢值取負。第四十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日§常見的幾種穩恒電源1、化學電池：通過化學反應提供非靜電力，將化學反應釋放出的化學能轉換成電能。2、溫差電池：利用溫差電效應把熱能直接轉換成電能的電池。兩種不同的金屬導體組成閉合回路，當它們相接的兩個結點處于不同溫度時，回路中將產生電動勢，這種現象稱為溫差電效應，是不同導體內載流子濃度不同引起的擴散和溫度不均勻引起的載流子熱擴散綜合導致的一種現象。3、太陽能電池：把光能轉換成電能的電池。4、核能電池：將核能直接轉換成電能的電池。5、發電機、濃差電源等第四十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日圖3.6丹聶耳電池圖3.7干電池結構示意圖圖3.8溫差電效應

圖3.9溫差電堆示意圖第四十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日圖3.10太陽能電池陣列圖3.11核能電池示意圖第四十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日表3.1化學電池的分類第四十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日§穩恒電路中電荷、靜電場的作用1、穩恒電路的特點

由穩恒條件和歐姆定律微分形式，在電路中沒有非靜電力時，可得:

對于均勻介質（σ是常數），可得或第四十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日2、穩恒電路中電荷分布特點因此有穩恒電路中電荷分布的特點：在穩恒電流情況下，均勻導體內任一閉合曲面S內q＝0，即內部宏觀電荷密度為0，凈電荷只分布在導體表面、不同導體的分界面或電源電極與電解質溶液接觸處等導體內不均勻處；外電路中，電流線與電場線方向一致，并必定平行于導體表面，即導體表面是一個電流線管；否則會造成電荷的積累，破壞電流的穩定性；電源內部，電流線的方向由E和K共同決定。第四十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日3、穩恒電路中靜電場的作用在穩恒電路中，靜電場的作用非常重要，主要有以下兩個方面：調節電荷分布的作用，在電流達到穩恒的過程中，靜電場擔負著重要的調節電荷分布的作用。靜電場起著能量的中轉作用電路上消耗的電能是由非靜電場提供的。靜電場起的中轉作用是：把電源內部的非靜電能轉換成電能，再通過外電路把電能轉換成有用的其他形式的能量。第四十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日§4.4復雜電路與基爾霍夫定律

1、復雜電路歐姆定律只能適用于解比較簡單的電路。對于實際碰到的直流電路，往往有許多條導線交匯于一點，整個電路由若干個閉合回路組成，同一回路的各段電路中的電流并不相同；歐姆定律無法解決這類復雜電路。1847年基爾霍夫(Kirchhoff)給出求解一般復雜電路的Kirchhoff方程組，通過求解線性方程組的辦法解決復雜電路問題。第五十頁，共六十一頁，2022年，8月28日2、基本概念（1）節點：在電路中，三條或三條以上導線相交在一起的點，如A、B、C和D四個節點。（2）支路：兩個相鄰節點間，由電源和電阻串聯而成且不含其他節點的通路。通過支路的電路叫做支路電路；支路兩端的電壓叫支路電壓。（3）回路：起點和終點重合在一個節點的環路。（4）獨立回路：各回路不相重合，即每個回路至少有一條其它回路所沒有的支路。獨立回路數目減1正好等于支路的數目減去節點的數目。第五十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日圖3.12多回路直流復雜電路第五十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日3、基爾霍夫方程（1）基爾霍夫第一方程對電路中每一個節點，有的電流流入節點，有的電流自節點流出。根據電荷守恒定律和穩恒電流條件，流入分支點的電流應等于流出分支點的電流，因此，對于每一個分支點，有：求和時，流入節點的電流值取正，流出節點電流值取負。第五十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日（2）基爾霍夫第二方程對于復雜電路中任一閉合回路，沿閉合回路繞行一周，回路中各電阻上電勢降落的代數和等于各電源的電動勢造成的電勢升高的代數和，這一結論稱為基爾霍夫第二方程。式中，ε為回路的總電動勢，r是總內阻，R是總電阻。正負取法如下：