隨機(jī)變量及其分布第21練專項(xiàng)典題精練高考匯編1.(2018·全國Ⅲ)某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，則p等于A.0.7 B.0.6C.0.4 D.0.3√1234567891011121314151612345678910111213141516解析由題意可知，10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即X～B(10，p)，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.又因?yàn)镻(X＝4)<P(X＝6)，所以p>0.5，所以p＝0.6.所以當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，D(X)先減小后增大.2.(2019·浙江)設(shè)0<a<1，則隨機(jī)變量X的分布列是則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，A.D(X)增大

B.D(X)減小C.D(X)先增大后減小

D.D(X)先減小后增大12345678910111213141516X0a1P√3.(2021·新高考全國Ⅱ)某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，下列結(jié)論中不正確的是A.σ越小，該物理量在一次測(cè)量中在(9.9,10.1)的概率越大B.σ越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5C.σ越小，該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.σ越小，該物理量在一次測(cè)量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等√12345678910111213141516解析對(duì)于A，σ2為數(shù)據(jù)的方差，所以σ越小，數(shù)據(jù)在μ＝10附近越集中，所以測(cè)量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大，故A正確；對(duì)于B，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為0.5，故B正確；對(duì)于C，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y(cè)量結(jié)果落在(9.9,10.0)的概率與落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次測(cè)量結(jié)果落在(9.9,10.2)的概率與落在(10,10.3)的概率不同，故D錯(cuò)誤.123456789101112131415164.(2018·浙江)設(shè)0<p<1，隨機(jī)變量ξ的分布列是12345678910111213141516ξ012P則當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，A.D(ξ)減小

B.D(ξ)增大C.D(ξ)先減小后增大

D.D(ξ)先增大后減小√1234567891011121314151612345678910111213141516即當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，D(ξ)先增大后減小.5.(2017·全國Ⅱ)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)＝_____.123456789101112131415161.96解析由題意得X～B(100,0.02)，∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.6.(2021·浙江)袋中有4個(gè)紅球，m個(gè)黃球，n個(gè)綠球，現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為ξ，若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為

，一紅一黃的概率為

，則m－n＝__，E(ξ)＝___.12345678910111213141516112345678910111213141516化簡得(m＋n)2＋7(m＋n)－60＝0，得m＋n＝5，解得m＝3，故n＝2.所以m－n＝1，易知ξ的所有可能取值為0,1,2，7.(2017·全國Ⅲ)某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：12345678910111213141516最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列；解由題意知，X所有的可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知，12345678910111213141516最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574則X的分布列為X200300500P0.20.40.4(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位：瓶)為多少時(shí)，Y的均值達(dá)到最大值？12345678910111213141516最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574解由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200≤n≤500.當(dāng)300≤n≤500時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y＝6n－4n＝2n；若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，因此E(Y)＝2n×0.4＋(1200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.當(dāng)200≤n<300時(shí)，若最高氣溫不低于20，則Y＝6n－4n＝2n；12345678910111213141516若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以當(dāng)n＝300時(shí)，Y的均值達(dá)到最大值，最大值為520元.123456789101112131415168.(2021·新高考全國Ⅰ)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；12345678910111213141516解由題意得，X的所有可能取值為0,20,100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列為12345678910111213141516X020100P0.20.320.48(2)為使累計(jì)得分的均值最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.12345678910111213141516解當(dāng)小明先回答A類問題時(shí)，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.當(dāng)小明先回答B(yǎng)類問題時(shí)，記Y為小明的累計(jì)得分，則Y的所有可能取值為0,80,100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列為12345678910111213141516Y080100P0.40.120.48E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因?yàn)?7.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以為使累計(jì)得分的均值最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.123456789101112131415169.(2021·杭州模擬)已知隨機(jī)變量ξ滿足P(ξ＝x)＝ax＋b(x＝－1,0,1)，其中a，b∈R.若E(ξ)＝

，則D(ξ)等于√12345678910111213141516模擬精選解析根據(jù)題意可得分布列為12345678910111213141516ξ－101Pb－aba＋b10.(2021·常州模擬)俄國著名飛機(jī)設(shè)計(jì)師埃格·西科斯基設(shè)計(jì)了世界上第一架四引擎飛機(jī)和第一種投入生產(chǎn)的直升機(jī)，當(dāng)代著名的“黑鷹”直升機(jī)就是由西科斯基公司生產(chǎn)的.1992年，為了遠(yuǎn)程性和安全性上與美國波音747競(jìng)爭，歐洲空中客車公司設(shè)計(jì)并制造了A340，是一種有四臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)的遠(yuǎn)程雙過道寬體客機(jī)，取代只有兩臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)的A310.假設(shè)每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障率為1－p，且各引擎是否有故障是獨(dú)立的，已知A340飛機(jī)至少有3個(gè)引擎正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行；A310飛機(jī)需要2個(gè)引擎全部正常運(yùn)行，飛機(jī)才能成功飛行.若要使A340飛機(jī)比A310飛機(jī)更安全，則飛機(jī)引擎的故障率應(yīng)控制的范圍是√12345678910111213141516解析由題意得，飛機(jī)引擎正常運(yùn)行的概率為p，12345678910111213141516令－3p4＋4p3>p2，即－3p2＋4p>1，11.(多選)(2021·肇慶模擬)已知兩種不同型號(hào)的電子元件的使用壽命(分別記為X，Y)均服從正態(tài)分布，

這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示，下列選項(xiàng)正確的是參考數(shù)據(jù)：若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)≈0.9545.A.P(μ1－σ1≤X≤μ1＋2σ1)≈0.8186B.P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)C.P(X≤σ2)<P(X≤σ1)D.對(duì)于任意的正數(shù)t，有P(X≤t)>P(Y≤t)√12345678910111213141516√√12345678910111213141516對(duì)于B，由正態(tài)分布密度曲線，可知μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，由正態(tài)分布密度曲線，可知σ1<σ2，所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，對(duì)于任意的正數(shù)t，由圖象知P(X≤t)表示的面積始終大于P(Y≤t)表示的面積，所以P(X≤t)>P(Y≤t)，D選項(xiàng)正確.12.(多選)(2021·唐山模擬)下列說法正確的是A.某投擲類游戲闖關(guān)規(guī)則是參加游戲者最多投擲5次，只要有一次投中，

即闖關(guān)成功，并停止投擲，已知每次投中的概率為

，則闖關(guān)成功的

概率為B.從10名男生、5名女生中選取4人，則其中至少有一名女生的概率為12345678910111213141516√D.若隨機(jī)變量η～N(2，σ2)，且δ＝3η＋1，則P(η<2)＝0.5，E(δ)＝6√選項(xiàng)B，從10名男生、5名女生中選取4人，則其中至少有一名女生分為1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都是女生四種情況.12345678910111213141516選項(xiàng)D，由隨機(jī)變量η～N(2，σ2)，則P(η<2)＝0.5，E(η)＝2，所以E(δ)＝E(3η＋1)＝3E(η)＋1＝7，故D不正確.1234567891011121314151613.(2021·嘉興模擬)甲、乙兩人進(jìn)行5局球賽，甲每局獲勝的概率為

，且各局的比賽相互獨(dú)立，已知甲勝一局的獎(jiǎng)金為8元，設(shè)甲所獲的獎(jiǎng)金總額為X元，則甲所獲獎(jiǎng)金總額的方差D(X)＝___.1234567891011121314151660解析設(shè)甲獲勝的局?jǐn)?shù)為Y，14.(2021·杭州二中模擬)有3個(gè)人在一樓進(jìn)入電梯，樓上共有4層，設(shè)每個(gè)人在任何一層出電梯的概率相等，并且各層樓無人再進(jìn)電梯，設(shè)電梯中的人走空時(shí)電梯需停的次數(shù)為ξ，則E(ξ)＝___.1234567891011121314151612345678910111213141516解析由題意知，大樓共5層，則ξi的分布列為ξi01P1234567891011121314151615.(2021·肇慶模擬)為落實(shí)中央“堅(jiān)持五育并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，強(qiáng)化體育鍛煉”的指示精神，小明和小亮兩名同學(xué)每天利用課余時(shí)間進(jìn)行羽毛球比賽.規(guī)定每一局比賽中獲勝方記2分，失敗方記0分，沒有平局，誰先獲得10分就獲勝，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽小明獲勝的概率都是(1)求比賽結(jié)束時(shí)恰好打了7局的概率；12345678910111213141516(2)若現(xiàn)在是小明6∶2的比分領(lǐng)先，記X表示結(jié)束比賽還需打的局?jǐn)?shù)，求X的分布列及均值.12345678910111213141516解X的可能取值為2,3,4,5，12345678910111213141516∴X的分布列為12345678910111213141516X2345P16.(2021·蘭州一中模擬)2021年五一期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費(fèi)政策”.某路橋公司為掌握五一期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費(fèi)點(diǎn)記錄了5月1日上午9：20～10：40這一時(shí)間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有600輛車通過該收費(fèi)點(diǎn)，它們通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的頻率分布直方圖如圖所示，其中時(shí)間段9：20～9：40記作區(qū)間[20,40)，9：40～10：00記作[40,60)，10：00～10：20記作[60,80)，10：20～10：40記作[80,100].例如：10點(diǎn)04分，記作時(shí)刻64.(1)估計(jì)這600輛車在9：20～10：40時(shí)間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；12345678910111213141516解由題意，得這600輛車在9：20～10：40時(shí)間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值為(30×0.005＋50×0.015＋70×0.020＋90×0.010)×20＝64，即10點(diǎn)04分.12345678910111213141516(2)為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機(jī)抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中，在9：20～10：00之間通過的車輛數(shù)為X，求X的分布列與均值；12345678910111213141516解結(jié)合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知，抽取的10輛車中，在10：00前通過的車輛數(shù)就是位于時(shí)間分組中在[20,60)這一區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)，即(0.005＋0.015)×20×10＝4，所以X的可能取值為0,1,2,3,4.1234567891011121314151612345678910111213141516所以X的分布列為X01234P(3)由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在每天通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻T服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ可用這600輛車在9：20～10：40之間通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替，σ2可用樣本的方差近似代替(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)，已知5月5日全天共有1000輛車通過該收費(fèi)點(diǎn)，估計(jì)在9：46～10：40之間通過的車輛數(shù)(結(jié)果保留到整數(shù)).參考數(shù)據(jù)：若T～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<T≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<T≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<T≤μ＋3σ)≈0.9973.12345678910111213141516解由(1)可得μ＝64，σ2＝(30－64)2×0.1＋(50－64)2×0.3＋(70－64)2×0.4＋(90－64)2×0.2＝324，所以σ＝18.估計(jì)在9：46～10：40這一時(shí)間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，也就是46<T≤100通過的車輛數(shù)，由T～N(μ，σ2)，得12345678910111213141516所以估計(jì)在9：46～10：40這一時(shí)間段內(nèi)通過的車輛數(shù)為1000×0.8186≈819(輛).考情分析練后疑難精講高考常考內(nèi)容，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差，以及利用分布列、均值、方差進(jìn)行決策或分析，多與概率結(jié)合考查綜合題型，試題閱讀量大，常以解答題的形式出現(xiàn)，難度中檔偏上.一、分布列的性質(zhì)及應(yīng)用核心提煉1.離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn離散型隨機(jī)變量X的分布列具有兩個(gè)性質(zhì)：(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2·pn＝3.均值、方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X).(2)X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).(3)X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).題號(hào)249

二、隨機(jī)變量的分布列核心提煉1.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布題號(hào)156781012131415162.超幾何分布一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則X的分布列為P(X＝k)＝

，k＝0，1，2，…，m.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝min{n，M}.三、正態(tài)分布核心提煉正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交.(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，曲線在x＝μ處達(dá)到峰值(3)曲線與x軸之間的面積為1.(4)當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移.(5)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定.σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.題號(hào)311

12345易錯(cuò)對(duì)點(diǎn)精補(bǔ)1.[T10補(bǔ)償](2021·新鄉(xiāng)模擬)某同學(xué)上學(xué)的路上有4個(gè)紅綠燈路口，假如他走到每個(gè)紅綠燈路口遇到綠燈的概率為

，則該同學(xué)在上學(xué)的路上至少遇到2次綠燈的概率為√2.[T3補(bǔ)償](2021·廣州模擬)在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中，學(xué)生成績?chǔ)畏恼龖B(tài)分布(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)內(nèi)的概率為0.6，則任意選取兩名學(xué)生的成績，恰有一名學(xué)