隨機變量及其分布第21練專項典題精練高考匯編1.(2018·全國Ⅲ)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立.設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，則p等于A.0.7 B.0.6C.0.4 D.0.3√1234567891011121314151612345678910111213141516解析由題意可知，10位成員中使用移動支付的人數X服從二項分布，即X～B(10，p)，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.又因為P(X＝4)<P(X＝6)，所以p>0.5，所以p＝0.6.所以當a在(0,1)內增大時，D(X)先減小后增大.2.(2019·浙江)設0<a<1，則隨機變量X的分布列是則當a在(0,1)內增大時，A.D(X)增大

B.D(X)減小C.D(X)先增大后減小

D.D(X)先減小后增大12345678910111213141516X0a1P√3.(2021·新高考全國Ⅱ)某物理量的測量結果服從正態分布N(10，σ2)，下列結論中不正確的是A.σ越小，該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大B.σ越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C.σ越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.σ越小，該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等√12345678910111213141516解析對于A，σ2為數據的方差，所以σ越小，數據在μ＝10附近越集中，所以測量結果落在(9.9,10.1)內的概率越大，故A正確；對于B，由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5，故B正確；對于C，由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，故C正確；對于D，因為該物理量一次測量結果落在(9.9,10.0)的概率與落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次測量結果落在(9.9,10.2)的概率與落在(10,10.3)的概率不同，故D錯誤.123456789101112131415164.(2018·浙江)設0<p<1，隨機變量ξ的分布列是12345678910111213141516ξ012P則當p在(0,1)內增大時，A.D(ξ)減小

B.D(ξ)增大C.D(ξ)先減小后增大

D.D(ξ)先增大后減小√1234567891011121314151612345678910111213141516即當p在(0,1)內增大時，D(ξ)先增大后減小.5.(2017·全國Ⅱ)一批產品的二等品率為0.02，從這批產品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數，則D(X)＝_____.123456789101112131415161.96解析由題意得X～B(100,0.02)，∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.6.(2021·浙江)袋中有4個紅球，m個黃球，n個綠球，現從中任取兩個球，記取出的紅球數為ξ，若取出的兩個球都是紅球的概率為

，一紅一黃的概率為

，則m－n＝__，E(ξ)＝___.12345678910111213141516112345678910111213141516化簡得(m＋n)2＋7(m＋n)－60＝0，得m＋n＝5，解得m＝3，故n＝2.所以m－n＝1，易知ξ的所有可能取值為0,1,2，7.(2017·全國Ⅲ)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關.如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：12345678910111213141516最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數216362574以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列；解由題意知，X所有的可能取值為200,300,500，由表格數據知，12345678910111213141516最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數216362574則X的分布列為X200300500P0.20.40.4(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位：瓶)為多少時，Y的均值達到最大值？12345678910111213141516最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數216362574解由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200≤n≤500.當300≤n≤500時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6n－4n＝2n；若最高氣溫位于區間[20,25)，則Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，因此E(Y)＝2n×0.4＋(1200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.當200≤n<300時，若最高氣溫不低于20，則Y＝6n－4n＝2n；12345678910111213141516若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以當n＝300時，Y的均值達到最大值，最大值為520元.123456789101112131415168.(2021·新高考全國Ⅰ)某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題.每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；12345678910111213141516解由題意得，X的所有可能取值為0,20,100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列為12345678910111213141516X020100P0.20.320.48(2)為使累計得分的均值最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.12345678910111213141516解當小明先回答A類問題時，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.當小明先回答B類問題時，記Y為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為0,80,100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列為12345678910111213141516Y080100P0.40.120.48E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因為57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以為使累計得分的均值最大，小明應選擇先回答B類問題.123456789101112131415169.(2021·杭州模擬)已知隨機變量ξ滿足P(ξ＝x)＝ax＋b(x＝－1,0,1)，其中a，b∈R.若E(ξ)＝

，則D(ξ)等于√12345678910111213141516模擬精選解析根據題意可得分布列為12345678910111213141516ξ－101Pb－aba＋b10.(2021·常州模擬)俄國著名飛機設計師埃格·西科斯基設計了世界上第一架四引擎飛機和第一種投入生產的直升機，當代著名的“黑鷹”直升機就是由西科斯基公司生產的.1992年，為了遠程性和安全性上與美國波音747競爭，歐洲空中客車公司設計并制造了A340，是一種有四臺發動機的遠程雙過道寬體客機，取代只有兩臺發動機的A310.假設每一架飛機的引擎在飛行中出現故障率為1－p，且各引擎是否有故障是獨立的，已知A340飛機至少有3個引擎正常運行，飛機就可成功飛行；A310飛機需要2個引擎全部正常運行，飛機才能成功飛行.若要使A340飛機比A310飛機更安全，則飛機引擎的故障率應控制的范圍是√12345678910111213141516解析由題意得，飛機引擎正常運行的概率為p，12345678910111213141516令－3p4＋4p3>p2，即－3p2＋4p>1，11.(多選)(2021·肇慶模擬)已知兩種不同型號的電子元件的使用壽命(分別記為X，Y)均服從正態分布，

這兩個正態分布密度曲線如圖所示，下列選項正確的是參考數據：若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)≈0.9545.A.P(μ1－σ1≤X≤μ1＋2σ1)≈0.8186B.P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)C.P(X≤σ2)<P(X≤σ1)D.對于任意的正數t，有P(X≤t)>P(Y≤t)√12345678910111213141516√√12345678910111213141516對于B，由正態分布密度曲線，可知μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，B選項正確；對于C，由正態分布密度曲線，可知σ1<σ2，所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，C選項錯誤；對于D，對于任意的正數t，由圖象知P(X≤t)表示的面積始終大于P(Y≤t)表示的面積，所以P(X≤t)>P(Y≤t)，D選項正確.12.(多選)(2021·唐山模擬)下列說法正確的是A.某投擲類游戲闖關規則是參加游戲者最多投擲5次，只要有一次投中，

即闖關成功，并停止投擲，已知每次投中的概率為

，則闖關成功的

概率為B.從10名男生、5名女生中選取4人，則其中至少有一名女生的概率為12345678910111213141516√D.若隨機變量η～N(2，σ2)，且δ＝3η＋1，則P(η<2)＝0.5，E(δ)＝6√選項B，從10名男生、5名女生中選取4人，則其中至少有一名女生分為1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都是女生四種情況.12345678910111213141516選項D，由隨機變量η～N(2，σ2)，則P(η<2)＝0.5，E(η)＝2，所以E(δ)＝E(3η＋1)＝3E(η)＋1＝7，故D不正確.1234567891011121314151613.(2021·嘉興模擬)甲、乙兩人進行5局球賽，甲每局獲勝的概率為

，且各局的比賽相互獨立，已知甲勝一局的獎金為8元，設甲所獲的獎金總額為X元，則甲所獲獎金總額的方差D(X)＝___.1234567891011121314151660解析設甲獲勝的局數為Y，14.(2021·杭州二中模擬)有3個人在一樓進入電梯，樓上共有4層，設每個人在任何一層出電梯的概率相等，并且各層樓無人再進電梯，設電梯中的人走空時電梯需停的次數為ξ，則E(ξ)＝___.1234567891011121314151612345678910111213141516解析由題意知，大樓共5層，則ξi的分布列為ξi01P1234567891011121314151615.(2021·肇慶模擬)為落實中央“堅持五育并舉，全面發展素質教育，強化體育鍛煉”的指示精神，小明和小亮兩名同學每天利用課余時間進行羽毛球比賽.規定每一局比賽中獲勝方記2分，失敗方記0分，沒有平局，誰先獲得10分就獲勝，比賽結束.假設每局比賽小明獲勝的概率都是(1)求比賽結束時恰好打了7局的概率；12345678910111213141516(2)若現在是小明6∶2的比分領先，記X表示結束比賽還需打的局數，求X的分布列及均值.12345678910111213141516解X的可能取值為2,3,4,5，12345678910111213141516∴X的分布列為12345678910111213141516X2345P16.(2021·蘭州一中模擬)2021年五一期間，我國高速公路繼續執行“節假日高速公路免費政策”.某路橋公司為掌握五一期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了5月1日上午9：20～10：40這一時間段內通過的車輛數，統計發現這一時間段內共有600輛車通過該收費點，它們通過該收費點的時刻的頻率分布直方圖如圖所示，其中時間段9：20～9：40記作區間[20,40)，9：40～10：00記作[40,60)，10：00～10：20記作[60,80)，10：20～10：40記作[80,100].例如：10點04分，記作時刻64.(1)估計這600輛車在9：20～10：40時間段內通過該收費點的時刻的平均值(同一組中的數據用該組區間的中點值代表)；12345678910111213141516解由題意，得這600輛車在9：20～10：40時間段內通過該收費點的時刻的平均值為(30×0.005＋50×0.015＋70×0.020＋90×0.010)×20＝64，即10點04分.12345678910111213141516(2)為了對數據進行分析，現采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，設抽到的4輛車中，在9：20～10：00之間通過的車輛數為X，求X的分布列與均值；12345678910111213141516解結合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知，抽取的10輛車中，在10：00前通過的車輛數就是位于時間分組中在[20,60)這一區間內的車輛數，即(0.005＋0.015)×20×10＝4，所以X的可能取值為0,1,2,3,4.1234567891011121314151612345678910111213141516所以X的分布列為X01234P(3)由大數據分析可知，車輛在每天通過該收費點的時刻T服從正態分布N(μ，σ2)，其中μ可用這600輛車在9：20～10：40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，σ2可用樣本的方差近似代替(同一組中的數據用該組區間的中點值代表)，已知5月5日全天共有1000輛車通過該收費點，估計在9：46～10：40之間通過的車輛數(結果保留到整數).參考數據：若T～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<T≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<T≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<T≤μ＋3σ)≈0.9973.12345678910111213141516解由(1)可得μ＝64，σ2＝(30－64)2×0.1＋(50－64)2×0.3＋(70－64)2×0.4＋(90－64)2×0.2＝324，所以σ＝18.估計在9：46～10：40這一時間段內通過的車輛數，也就是46<T≤100通過的車輛數，由T～N(μ，σ2)，得12345678910111213141516所以估計在9：46～10：40這一時間段內通過的車輛數為1000×0.8186≈819(輛).考情分析練后疑難精講高考常考內容，考查離散型隨機變量的分布列、均值和方差，以及利用分布列、均值、方差進行決策或分析，多與概率結合考查綜合題型，試題閱讀量大，常以解答題的形式出現，難度中檔偏上.一、分布列的性質及應用核心提煉1.離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn離散型隨機變量X的分布列具有兩個性質：(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2·pn＝3.均值、方差的性質(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X).(2)X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).(3)X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).題號249

二、隨機變量的分布列核心提煉1.n次獨立重復試驗與二項分布題號156781012131415162.超幾何分布一般地，在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品，則X的分布列為P(X＝k)＝

，k＝0，1，2，…，m.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝min{n，M}.三、正態分布核心提煉正態曲線的特點(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交.(2)曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱，曲線在x＝μ處達到峰值(3)曲線與x軸之間的面積為1.(4)當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移.(5)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定.σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.題號311

12345易錯對點精補1.[T10補償](2021·新鄉模擬)某同學上學的路上有4個紅綠燈路口，假如他走到每個紅綠燈路口遇到綠燈的概率為

，則該同學在上學的路上至少遇到2次綠燈的概率為√2.[T3補償](2021·廣州模擬)在某次數學測試中，學生成績ξ服從正態分布(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)內的概率為0.6，則任意選取兩名學生的成績，恰有一名學