2023年高考數學一輪復習單元測評卷

第八單元立體幾何初步

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.關于直線加、〃與平面a、尸，有以下四個命題：

①若mlla，〃〃。且ahB，則”〃〃；

②若_La,〃/且a_L/?,則m_L〃；

③若加J_a,〃〃尸且?！??,則〃z_L〃；

④若mlla,〃_L尸且a_L￡,則mlln.

其中真命題的序號是（）

A.①@B.③④C.①④D.②③

2.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖中的半圓的直徑為2,則該幾何體的表面積為

（）

A.3〃+2B.4乃+2C.3〃+3D.4%+3

3.已知點在球。的表面上，.，平面3。28。，8,若筋=2,8。=4,4。

與平面所成角的正弦值為?,則球O表面上的動點P到平面ACZ）距離的最大值為

5

（）

A.2B.3C.4D.5

4.菱形A3CD中，AB=2,ZZMB=120°,將△C8D沿3。折起，。點變為E點，當

四面體七一A6。的體積最大時，四面體的外接球的面積為（）

A.20兀B.40〃C.607rD.80〃

71

5.如圖，已知等邊AAbC與等邊所在平面成銳二面角E,F分別為AB，AD

中點，則異面直線"與8所成角的余弦值為（）

6.棱長為4的正方體密閉容器內有一個半徑為1的小球，小球可在正方體容器內任意運動,

則其不能到達的空間的體積為（）

22413

A.32-----7tB.48—12萬C.28—兀D.20-----n

333

7.如圖，一個四棱柱形容器中盛有水，在底面A8CO中，AB//CD,AB=3,8=1,

側棱AA=4,若側面A4MB水平放置時，水面恰好過A￡>,8C,4G，4。的中點，那么

當底面ABC。水平放置時，水面高為（）

A.2

8.某中學開展勞動實習，學習加工制作食品包裝盒.現有一張邊長為6的正六邊形硬紙片，

如圖所示，裁掉陰影部分，然后按虛線處折成高為6的正六棱柱無蓋包裝盒，則此包裝盒

的體積為（）

A.144B.72C.36D.24

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.正方體的棱長為1,E,F,G分別為8C,CCi,的中點.則（）

A.直線。I。與直線4尸垂直B.直線4G與平面AEF平行

9

C.平面AE/截正方體所得的截面面積為一D.點C與點G到平面4EF的距離相等

8

10.沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成,

開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙

漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm,細沙全

部在上部時，其高度為圓錐高度的2（細管長度忽略不計）.假設該沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的

3

沙，且細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.以下結論正確的是

()

1024/r

A.沙漏中的細沙體積為------cm3

81

B.沙漏的體積是128萬?！?

C.細沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4cm

D.該沙漏的一個沙時大約是1565秒（萬之3.14）

11.如圖，圓柱的軸截面是四邊形ABC。，E是底面圓周上異于A3的一點，則下列結論

中正確的是（）

A.AEA.CEB.BELDEC.平面CEBD.平面4）后_1_平面

BCE

12.如圖，在棱長均相等的四棱錐中，。為底面正方形的中心，M，N分別為側

棱QA,尸3的中點，有下列結論正確的有：

A.PD〃平面OMNB.平面PCD〃平面

C.直線PO與直線MN所成角的大小為90,D.ON1PB

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

4

13.已知球。的半徑為點均在球面上，若6c為等邊三角形，且其面積為

V3,則三棱錐D-ABC的最大體積是.

14.早期的畢達哥拉斯學派學者注意到：用等邊三角形或正方形為表面可構成四種規則的立

體圖形，即正四面體、正六面體、正八面體和正二十面體，它們的各個面和多面角都全等.如

圖，正二十面體是由20個等邊三角形組成的正多面體，共有12個頂點，30條棱，20個面，

3

是五個柏拉圖多面體之一.如果把sin36°按不計算，則該正二十面體的表面積與該正二十

面體的外接球表面積之比等于

15.如圖，過球的一條半徑OP的中點a,作垂直于該半徑的平面，所得截面圓的面積與

球的表面積之比為.

16.從正方體A8CD—AIBICIDI的8個頂點中任意取4個不同的頂點，這4個頂點可能是:

（1）矩形的4個頂點；（2）每個面都是等邊三角形的四面體的4個頂點；（3）每個面都

是直角三角形的四面體的4個頂點；（4）有三個面是等腰直角三角形，有一個面是等邊三

角形的四面體的4個頂點.

其中正確結論的個數為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.如圖，在R/AAO8中，AO=OB=2,ZiAOC通過AAOB以04為軸順時針旋轉120。

得到（N8OC=120。）.點。為斜邊AB上一點，點M為線段上一點，且CM=0M.

A

(1)證明：。0_1平面4。8：

(2)當。為線段AB中點時，求多面體OACM。的體積.

18.如圖：直角梯形A8C。中，ADUBC,ZABC=90°,E,尸分別為邊AO和BC上的點,

且EF//A8,AO=2AE=2AB=4FC=4,將四邊形EFCO沿EF折起成如圖的位置，AD=AE.

(1)求證：BC//平面OAE；(2)求四棱錐。-AEFB的體積;

(3)求面CBD與面OAE所成銳二面角的余弦值.

19.如圖，邊長為2的正方形ABCO所在的平面與半圓弧co所在平面垂直，M是CO上

異于C，￡)的點.

M

（1）證明：平面AMD_L平面BMC；

（2）在線段AM上是否存在點P，使得〃平面尸如，說明理由.

20.如圖，在四棱錐M—ABC。中，四邊形A3CO為梯形，ZABC=ZBAD=90>

BC//AD,AD=2AB^2BC

（1）若E為M4中點，證明：BE〃面MCD

（2）若點M在面ABC。上投影在線段AC上，AB=1，證明：CD_L面MAC.

21.如圖，四棱錐P—A8CD的底面是邊長為1的正方形，底面A3C。，瓦F分別

為AB,PC的中點.

（1）求證：EF//平面PAD；

（2）若PA=2，試問在線段EF上是否存在點0,使得二面角。一人尸一。的余弦值為4?

若存在，確定點。的位置；若不存在，請說明理由.

22.已知圓錐的側面展開圖為半圓，母線長為2JL

（1）求圓錐的底面積；

（2）在該圓錐內按如圖所示放置一個圓柱，當圓柱的側面積最大時，求圓柱的體積

答案及解析

1.【答案】D

【解析】對于①，若加〃a,〃〃尸且則相與〃平行、相交或異面，①錯誤:

對于②，如下圖所示：

設ac〃=a,因為a_L/7,在平面用內作直線/_La,由面面垂直的性質定理可知/_La,

'：ml.a<：.mlll，'：nL/3,/u/7,因此，m±n>②正確；

對于③，若加_La,alip,則_L/?,

因為〃〃￡,過直線〃作平面/使得￡07=。，由線面平行的性質定理可得R/a，

'；mL(3,au。,則加_La,因此加_L〃，③正確；

對于④，若mHa，〃_L￡且a_L〃，則機與〃平行、相交或異面，④錯誤.

2.【答案】A

這個幾何體是由一個底面半徑為1且高為1的半圓柱，和一個半徑為1的半球的前半部分組

7T7T

成，所以它的下底面為半圓，面積為一，后表面為?個矩形加半圓，面積為2x1+一,前

22

表面為半個圓柱側面加,個球面，面積為%xlxl+'x44xl=2萬，所以其表面積為

44

3〃+2,

3.【答案】B

【解析】

如圖，因為AB_L平面BCD,BCA.CD.所以AO為球的直徑

由AB=2,BC=4得Ac=2逐

作CE1BD,則ZCAE即為AC與平面板＞所成角

?/尸V10CECE伯r

所以sinNC4E=---=——=―,得CE=2^2

5AC2#)

設CD=x由等面積法得4%=2瓜l￡+16，解得x=4

所以AD?=鉆2+3。2+82=4+16+16=36，即2R=6，R=3

又平面ACD過球心，所以P到平面ACD距離即為半徑的長

所以P到平面ACD距離的最大值為3.

4.【答案】A

【解析】由題意，三棱錐E—A8D的底面△ABD的面積為定值，當平面￡BQ1平面麗

時，此時點E到底面ABD的距離最大，此時三棱錐E—A3D的體積取得最大值，

因為四邊形A8CO為菱形，且/。48=120°,連接AC交30與點M，

可得CD=C4=CB，所以C為△A8D的外心，

過點。作平面ABD的垂線/，可得/匕點到AB,。三點的距離相等，

設/存在點。點，使得OE==OB=OD,即點。為三棱錐片一A6D的外接球的球心，

設OC=x，可得4。2+0。2=CM2+(EM+OC)2,

即4+/=1+(尤+1)2,解得x=l,

所以外接球的半徑為r=7AC2+OC2=V22+l2=&，

所以外接球的表面積為S=4萬r=44x（b）2=204.

5.【答案】C

7T

【解析】連接CE,DE，等邊AA6c與等邊△AB。所在平面成銳二面角一，

3

兀

可得/。后。二一,

3

設等邊△A6c與等邊△A3。的邊長為。，

則DE=CE=—a^即ADEC為等邊三角形，

2

所以。。=正4,

2

因為E,F分別為AB，AO中點，

所以EF//BD,異面直線EF與CD所成角即為BD,CD所成的角,

"百丫2

CL+-----CI一CI廠

在△BCD中，cosNBDC=——2-/-----=—-

064

2a---a

2

6.【答案】A

【解析】由題可得小球在八個角不能到達的空間相當于邊長為2的正方體中間挖掉一個半徑

34a4

為1的球的剩余部分，其體積為23--萬X13=8--兀，

33

小球在12條邊活動不到的空間相當于高為2,底面積為4的正四棱柱中間挖掉底面積為乃，

高為2的圓柱剩下的部分，且有3個，則其體積為（4x2-2%）x3=24-6萬，

（4、22

則小球不能到達的空間的體積為8-%+（24-6%）=32-7萬.

7.【答案】B

【解析】設四棱柱的底面梯形的高為2。,

AD,8C的中點分別為

所求的水面高為h,

illIA/1-nT7CAA(2+3)。,01(1+3)2。.

則水的體積V=SABEF14A=-------4=SABCD-h=---------h,

所以

2

8.【答案】B

￡

如圖：由正六邊形的每個內角為7，

按虛線處折成高為6的正六棱柱，即=

所以==1

tan60

可得正六棱柱底邊邊長AB=6—2x1=4,

1n

所以正六棱柱體積：V=6x—x4x4x——x>/3=72.

22

9.【答案】BC

［解析】根據題意，假設直線與直線4尸垂直，又DD11AE,AEC\AF=A,AE,AFu

平面AEF,所以。R，平面AE￡所以。2又。R〃CC「所以CG與

71

NEFC=一矛盾,所以直線。與直線AF不垂直，所以選項A錯誤;

4

因為4G,4GC平面AEF9,。尸u平面AEFd,所以4G〃平面AE廠01,故選項

B正確.

6

平面AEF截正方體所得截面為等腰梯形AEFD\,由題得該等腰梯形的上底EF=—,下底

2

A〃=0,腰長為或，所以梯形面積為2，故選項C正確;

128

假設C與G到平面AEE的距離相等，即平面AEV將CG平分，則平面AE尸必過CG的中

點，連接CG交所于〃，而H不是CG中點，則假設不成立，故選項D錯誤.

10.【答案】AC

【解析】4根據圓錐的截面圖可知：

細沙在上部時\細沙的底面半徑與圓錐的底面半徑之比等于細沙的高與圓錐的高之比，

2Q

所以細沙的底面半徑/?=-x4=-an,

33

—12/z164萬161024冬

所以體積V=一?兀戶2---=------crn'

3339T81

2.沙漏的體積V=2x1x;rx—x/z=2x—X^-X42X8=Tian'：

3<2j33

C.設細沙流入下部后的高度為4,

1024萬1f

根據細沙體積不變可知：g]=§xx%,

“，，1024萬16萬，匚匚“，一

所以------=----\,所以九?2.4。〃；

813

￡).因為細沙的體積為12475?,沙漏每秒鐘漏下0.02加3的沙,

81

1024萬

1024x3.14

所以一個沙時為:81X50y1985秒.

81

0.02

11.【答案】ABD

【解析】由AB是底面圓的直徑，得NAE3=90°，即AEJ_EB，：圓柱的軸截面是四邊

形ABCD，3。上底面4￡3，，5。，隹，又EBCBC=B,8C，BEu平面BCE,

.?.4￡，平面8?！辏海?￡，。石，故A正確；

同理可得，BE上DE，故B正確；

若DE，平面CEB，則。石，5。,；3。//4。，；.。石_149,在4位）七中4），4￡,

.?.。石_140不成立，.?.?！辏?_平面。七8不正確，故C不成立，

由A的證明可知隹_1_平面BCE,???A￡u平面A0E，所以平面BCEJ?平面ADE.

可得A,8,0正確.

12.【答案】ABD

【解析】選項A,連接BD,顯然0為BD的中點，又N為PB的中點，所以PO〃ON,由線

面平行的判定定理可得，尸?！ㄆ矫?MN；選項B,由M，N分別為側棱H4，PB的中點,

得MN〃AB,又底面為正方形，所以MN〃CD,由線面平行的判定定理可得,CD〃平面OMN,

又選項A得PD〃平面0MN,由面面平行的判定定理可得，平面尸8〃平面OMN；選

項C,因為MN〃CD,所以/PDC為直線尸。與直線MN所成的角，又因為所有棱長都相

等，所以/PDC=6（T，故直線PD與宜線MN所成角的大小為60；選項D,因底面為正

方形，所以AB2+AZ>2=8。2,又所有棱長都相等，所以p笈+PD?=%>2.故

又

PO〃ON,所以QV_LPB,故ABD均正確.

13.【答案】2叵

3

14.【答案】史叵

36萬

【解析】由圖知正二十面體的外接球即為上方正五棱錐的外接球，

設外接球半徑為R,正五邊形的外接圓半徑為〃正一十面體的棱長為/,

L51

則2=sin360=3'得「=7'

r5

所以正五棱錐的頂點到底面的距離是h=產=/_居）=普/,

所以/?2=產+（火一?2,即R2=（?）+R—乎，，解得R=*l/.

3而，丫36萬,2

所以該正二十面體的外接球表面積為球

S=4IR2=4M11J11

而該正二十面體的表面積是S正二十面體=20x^x/x/xsin60°=5后2,

所以該正二十面體的表面積與該正二十面體的外接球表面積之比等于身叵.

36"

3

15.【答案】—

【解析】截面圓半徑為，球半徑為R,則由題意得〃=

o7TX—R2

所以截面圓面積與球表面積比為叢=乃產=%4=_3_-

飛—4萬R2-4-a-正

故答案為:

16.【答案】4

【解析】（1）如圖所示：四邊形A8C。為矩形，故（1）滿足條件；

（2）四面體O—48G為每個面均為等邊三角形的四面體，故（2）滿足條件；

（3）四面體為每個面都是直角三角形的四面體，故（3）滿足條件；

（4）四面體C-81cl。為有三個面是等腰直角三角形，有--個面是等邊三角形的四面體,

故（4）滿足條件：

故正確的結論有4個.

17.【答案】（1）證明見解析；（2）遞.

【解析】（1）證明：在AOBC中，由題意可得O8=OC,NOC8=30。,

：CM=OM,...NCOM=NOCM=30。，

又NBOC=120°,，OMLOB-

根據題意，OAJ_OB,OALOC,02noe=0,04_L平面OBC,

而OMu平面OBC,OA±OM，

又OAnOB=O,；.OM_L平面AOB；

（2）解：由（1）得，OM=巫

3

為線段AB的中點，；?匕_8雙=；xgx2x2x#x2=手.

2石

“_11n2V3,

%-OML]x/X2x-^―x]

~9~

2百2j4百

???多面體OACMD的體積為：V.=V.-V,

OACMDABOCDOBM~39~9~

18.【答案】（1）證明見解析；（2）逑；（3）正

35

【解析】(I)證明：???直角梯形43co中，AD//BC,/A8C=90°,廠分別為邊AD和

BC上的點，且EF//AB,

：.CF//DE,CFc?CBF,DEtZffiCBF,則。￡7/面CBF；

FBIIAE,FBu面CBF,AEZ面CBF,則AE//面CBF；

y,'：AEDDE^E,DE^Ec?DAE

...面CBF〃面DAE

又BCu面CBF,所以8C//平面DAE

(2)取AE的中點H,連接

'JEF^ED,EFLEA,EDC\EA=E

；."_L平面DAE又平面DAE,

：.EFLDH

：.AE=ED=DA=2,

：.DH±AE,DH=B

又AEQEF=E

AEFB...

所以四棱錐。-4EFB的體積V=』XGX2X2=*?

33

(3)如圖以AE中點為原點，AE為x軸建立空間直角坐標系

貝0,0),D(0,0,6),8(-1,-2,0),E(l,0,0),F(l,-2,0)

因為甌=J■龐，所以C(L,-2,

222

u

易知麗是平面AOE的一個法向量，麗=勺=(0,2,0)

111

設平面BCD的一個法向量為〃2=(無，y,z)

’3」上?

-x-\-----z=0

由J22

x+2y+>/3z=0

HI

令x=2,則y=2,z=-273,，叼=(2,2,-25/3)?

,「皿75

??COS<〃]，〃2>=-y

所以面CBD與面DAE所成銳二面角的余弦值為亞

5

19.【答案】(1)證明見解析；(2)存在，理由見解析.

【解析】(1)???平面CMD_L平面A8CO,平面MDCc平面A5CD=CD,

BCLCD，BCu平面ABC。，???平面O/D，DMu平面CM。，；.BCLDM,

CO為直徑，CW_LOM，BCICM=C,BC,CMu平面BMC,

：.DM_L平面BMC，DMu平面AMD，

???平面AMD±平面BMC.

(2)存在.當P為AM中點時，MC//平面P8Q,

證明如下：連AC，BD，ACP\BD=O,

???ABC。為正方形，，。為AC中點，

連接OP，P為A”中點，，MC//OP,

,/MC<Z平面尸8￡>,OPu平面PBD,

二MC〃平面自肛

20.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

(1)取中點為廣，連接EF，CF，

則所為中位線，,EF//-AD^.EF=-AD,

22

乂???四邊形43CD是直角梯形，AD=2A5=2BC

BC//-AD,BC=-AD

22

/.BC//EF且BC=EF,

四邊形BCFE為平行四邊形，所以BE//CF,

因為BEz面MCD，CFu面MCD,所以BE〃面MCD.

(2)?.?在四棱錐M—A5CD中，四邊形ABCD是直角梯形,AD=2AB=2BC=2,

ZABC=ZBAD=90>

AC=CD=Vl2+12=V2

：.AC2+CD2=AD2>：.AC±CD,

設點M