2006~2007一、選擇題（315分若zfx,y在點x0,y0處可微，則下列結論錯誤的是（ A、fx,y在點x0,y0處連B、fxx,yC、fxx,y

fyx,y在點x0,y0處連fyx,y在點x0,y0處存D、曲面zfx,y在點x0,y0,fx0,y0處有切平二重極

x2x

值為

D、不存3）知的方程z1x2y2z0

x2y24x24x24y2 A、 B、 C、 D、2x2y2 x2y21x2 4x24x24y2

dS

x2y2

4x24y2

4x4

x2y24）已知直線L:x3y4z和平面:4x2y2z3則 A、L在 B、L與平行，但L不在C、L與垂直 D、L不與垂直，L不與平行5）用待定系數法求微分方程y3y2yx2的一個特解時，應設特解的形式y（ A、C、xax2bx

B、ax2bxD、x2ax2bx二、填空題（每小題3分，共15分zarctanx，則dzy

x2

dx

x2y2曲線L為原點到點1,1的直線段，則曲線積分L

x2y2ds的值1ee1ee交換積分次序后，e

fx,ydy

0 fx,y35函數zx2xyy2在點11沿方向l21的方向導數為35曲面zez2xy3在點1,20處的法線方程

x1y2 （本題7）計算二重積分xyd其中D是由拋物線y2x及直Dyx2所圍成的閉區解：原式

2

y522

xydx12yy22

2y3

y6yy

5 12 （本題7）計算三重積分zdv，其中是由柱面x2y21及z0,z1圍成的閉區 原式2d1rdr1 方法二、截片原式1zdz （7分）xdydzydzdxzdxdy，其中為旋轉拋物面zx2y2z1的上側解：方法一、利用兩類曲面積分的對應側的法向量為2x,2y,原式x2y2

2x22y2x2y2dxdy

x2y2

x2y2 2d1r3dr 方法二、利用，補充曲面1并取下原式3dxdydzxdydzydzdx 123zdz 1dxdy120x2y2（本題7分）yexy3xy1dxxexy3xy3dy，其中L為從L1a,0沿橢圓y 到點a,01解：原式yexy3xy1dxxexyxy3dy a3x1dx24abcos2d2a2

x2yx2x2y（本題7）設函數fx,y

x2y2證明：1）fxy在點0,0處偏導數存fxy在點0,0處不可證明：1）因為

0,0

fx,0f0,0lim00 x0f0,0

f0,yf0,0lim00 y0所以fxy在點0,0處偏導數存zfx0,0xfy0,0

xx x2y

2y當取ykx

k k

y

x01

1隨k之不同極限值也不同，所以此函數在0,0處不可

zfx0,0xfy0,0x2x2y y 2（本題7zxfxy

x，f具有連續二

,解zxxf1f

，z

fxyf

f

x2

x221 12

2xf

2 2

2xf

x2

f221 1 （本題7）yex是微分方程xypxyx的一個解，求分方程的通解解：因為xexpxexx

pxxexx，原方程yex1y這是一個一階線性微分方程，其通ye1exdxeex1dxdxC yexexeexxdxCexexeexexdxCyexexeexCexCexe十（本題8分）在第一卦限內作橢球面x2y2z2 的切平面，

該切平面與三坐標平面所圍成的四面體的體積最小，求切點標0解：設0

,

,z為橢球面上在第一象限的一點，過此點的切平0方程02x0xxa

2y0yy 化成截距式方xyza b2 c

xa

yb

z0c abc此切平面與坐標面圍成四面體的體積為V （下面我們去6x0y0下標 abcx要求V 滿足條

y

z

1x0

的最

a c2x2 y z值，只fx,y,

xyz滿足條 a

1x0的最大 日乘數法，只需求以下函數的駐Fx,

,z

λxyzFyz F xzF

x

y

z得

2zF zx 33a 33 a2

c2由此得x3

y3

,z3

，所以x

a,y b x

a,y3

3b3

時，有最小體積，最小體

3abc2切點坐標為 3a 3b 3c （工類）（7分）知直

L2xy1013xz2L1xy1z2LL，并求L,L所確定的平面方程

證明直線L1上任取兩點012,111

S11,2

方向向量；L2的一個方向向量為S2123S1S2L1L2L1L2所確定的平面方程AxByCzD0，它經過點1,12和點012,111，所以AB2CDB2CD

AB

所求方程為2xy1 ABCD C 十二、(化工類做)（7）設曲線積分xy2dxyxdy與路徑L0,關，其中x連續可導，且00，計算1,1xy2dx