5．1．2垂線★垂線的定義兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就叫這兩條直線互相垂直．其中一條直線叫另一條直線的垂線，它們的交點叫垂足.★垂線的性質：在同一平面內，過

或

一點，有且只有一條直線與已知直線 垂直．直線外直線上★垂線段：過直線外一點畫已知直線的垂線，以這點和垂足為端點的線段就是這點到這條直線的垂線段．直線外一點與直線上各點連結的所有線段中，

最短．★點到直線的距離：從直線外一點到這條直線的垂線段的長度．注：“垂線段”和“點到直線的距離”是兩個不同的概念．垂線段是圖形，點到直線的距離是一個長度，是一個數量，不是垂線段這個圖形本身，但在求點到直線的距離時，需先作出垂線段，然后計算或度量出該垂線段的長度．垂線段例1讀句子畫圖，并回答問題：(1)作∠BAC=90°，交直線l于點B，C，過點A作AD⊥l于點D；解：(1)如圖5-1-15；(2)根據所畫圖形，判斷下列說法是否正確.①線段BC的長叫點B到直線AC的距離.()②線段AD的長叫點A到直線l的距離.()③線段AD叫點B到直線AD的距離.()④線段AB，AC，AD中，AD最短.()×√×√1．(2017北京)如圖5-1-16所示，點P到直線l的距離是()A．線段PA的長度B．線段PB的長度C．線段PC的長度D．線段PD的長度B2．如圖5-1-17，AC⊥CD，∠BED=90°，回答下列問題：(1)∠ACD=

度；(2)直線AD與BE的位置關系是

；90互相垂直(3)點B到直線AD的距離是線段

的長度，點D到直線AB的距離是線段

的長度；(4)在線段DA、DB、DC中，最短的線段是

；在線段BA、BE、BD中，線段

最短，理由是

.BEDCDCBE垂線段最短3．用三角尺在圖5-1-18中分別過點C畫AB的垂線段．解：如圖.例2如圖5-1-19，直線AB、CD相交于點O，OM⊥AB．(1)若∠1=∠2，求∠NOD的度數；解：(1)∵OM⊥AB，∴∠BOM=∠AOM=90°．∵∠AOM=∠1+∠AOC，∠1=∠2，∴∠AOM=∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°．∴∠NOD=∠COD-∠CON=90°.(2)若∠1=∠BOC，求∠MOD的度數．(2)由題意得∠BOC-∠1=90°，∴∠1=∠BOC=∠BOC-90°，∴∠BOC=120°，∴∠1=∠BOC=30°，∴∠MOD=∠COD-∠1=150°．4．如圖5-1-20，直線AB、CD相交于點O，EO⊥CD于點O，∠AOE=36°，則∠BOD的度數為()A．36°B．44°C．50°D．54°D5．如圖5-1-21，∠PQR=138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，則∠SQT=

.42°6．如圖5-1-22，直線AB、CD相交于點O，∠AOC

與∠AOD的度數比為4∶5，OE⊥AB，OF平分∠DOB，求∠EOF的度數．解：設∠AOC=4x，則∠AOD=5x.∵∠AOC+∠AOD=180°，∴4x+5x=180°，解得x=20°，∴∠AOC=4x=80°，∴∠BOD=80°.∵OE⊥AB，∴∠BOE=90°.∵OF平分∠DOB，∴∠BOF=∠BOD=40°，∴∠EOF=∠BOE-∠BOF=50°．C1．已知直線AB、CB、l在同一平面內，若AB⊥l，垂足為B，CB⊥l，垂足也為B，則符合題意的圖形可以是()2．下列說法正確的是()A．有且只有一條直線垂直于已知直線B．從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這點到這條直線的距離C．互相垂直的兩條線段一定相交D．直線外一點A與直線上各點連結而成的所有線段中最短線段的長是3cm，則點A到該直線的距離大于3cmB3．在直線AB上任取一點O，過點O作射線OC、OD，使OC⊥OD，當∠AOC=30°時，∠BOD的度數是()A．60°B．120°C．60°或90°D．60°或120°D4．如圖5-1-23，計劃把河中的水引到水池C中，可以先過點C作CD⊥AB，垂足為D，然后沿CD開渠，可使所開的渠最短，你認為這種設計方案的根據是

.垂線段最短5．如圖5-1-24，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D．(1)點C到AB的垂線段是線段AB；(2)點A到BC的距離是線段AD；(3)線段AB的長度是點B到AC的距離；(4)∠BAD=∠C．上面的結論中，正確的有

(填序號)．(3)(4)6．如圖5-1-25，三條直線AB、CD、EF相交于點O，若∠1∶∠2∶∠3=1∶2∶3，則∠2的度數為

，直線AB與CD的位置關系是

.60°垂直7．如圖5-1-26，點O是直線AB上一點，∠AOC= 40°，OD平分∠AOC，∠COE=70°．(1)請你說明DO⊥OE；解：(1)∵OD平分∠AOC，∴∠DOC=∠AOC=20°．∵∠COE=70°，∴∠DOE=90°，即DO⊥OE．(2)OE平分∠BOC嗎？為什么？(2)OE平分∠BOC．理由如下：∵∠AOC+∠COE+∠BOE=180°，∠AOC=40°，∠COE=70°，∴∠BOE=70°，即∠BOE=∠COE，∴OE平分∠BOC．8．如圖5-1-27，在這個圖形中完成下列作圖：(1)作出點A到BC的垂線段AD，并量出點A到直線BC的距離；解：(1)如圖，線段AD是點A到直線BC的垂線段，而點A到直線BC的距離是指垂線段AD的長度，約為0.9cm．(2)過點B作AC的垂線，垂足為E；過點C作AB的垂線，垂足為F；(2)畫一條線段或射線的垂線，就是畫這條線段或射線所在直線的垂線，因此垂足可能在線段或線段的延長線上．在本題中作垂線時，分別將BA、CA畫長一些，即延長線段BA、CA，如圖．(3)延長段線DA、CF、BE，你會發現什么有趣的結論？(3)延長DA、CF、BE后，可以發現它們交于同一點G．9．如圖5-1-28，直線AB、CD、EF相交于點O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，則∠AOG的度數為()A．56°B．59°C．60°D．62°B10．如圖5-1-29，三條直線a、b、c兩兩相交，且b⊥c，若∠1=∠3，則∠2=

．120°11．(1)如圖5-1-30，直線AB、CD、EF相交于點O，CD⊥AB，∠AOE∶∠AOD=3∶5.求∠BOF、∠DOF的度數；解：∵CD⊥AB，∴∠AOD=90°.又∵∠AOE∶∠AOD=3∶5，∴∠AOE=54°，∴∠BOF=∠AOE=54°，∠DOF=∠BOD-∠BOF=36°.(2)如圖5-1-31，直線AB、CD、EF相交于點O，EF⊥AB，OG為∠COF的平分線，若∠BOC∶ ∠COG=5∶1．求∠DOF的大?。猓骸逜B⊥EF，∴∠BOF=90°.∵∠BOC∶∠COG=5∶1，OG為∠COF的平分線，∴∠COG∶∠COF=1∶2，∴∠COG∶∠BOF=1∶3，∴∠COG=∠BOF=30°，∴∠COF=60°，∴∠DOF=180°-∠COF=120°.12．如圖5-1-32①②所示，將兩個相同三角尺的兩個直角頂點O重合在一起，像圖5-1-32①②那樣放置．(1)若∠BOC=60°，如圖①，猜想∠AOD的度數；解：(1)∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=30°．又∵∠COD=90°，∴∠AOD=∠AOC+∠COD=120°．(2)若∠BOC=70°，如圖②，猜想∠AOD的度數；(2)∵∠AOB+∠COD+∠BOC+∠AOD=360°，∠AOB=90°，∠COD=90°，∠BOC=70°，∴∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-∠B