目錄

第一講：有理數和數軸

模塊一：有理數的基本概念

模塊二：數軸

模塊三：相反數、倒數

第二講：絕對值

模塊一：絕對值的定義

模塊二：絕對值代數意義的應用

第三講:有理數的四則運算

模塊一：有理數的加減法

模塊二：有理數的乘除法

第四講:乘方、科學計數法、有理數的混合運算

模塊一：有理數的乘方

模塊二：有理數的計算

模塊三：科學計數法、有效數字

第五講：整式的概念和整式的加減

模塊一：單項式相關的概念

模塊二：多項式相關的概念

模塊三：整式的加減法

第六講:整式的乘除法

模塊一：累的運算

模塊;二：整式的乘法

模塊三：整式的除法

第七講:有理數計算

模塊一:有理數的計算（一）

模塊二:有理數的計算（二）

模塊三:有理數的計算（三）

第八講:小升初分班考試卷

小升初分班考試卷（一）

小升初分班考試卷（二）

小升初分班考試卷（三）

小升初分班考試卷（四）

小升初分班考試卷（五）

小升初分班考試卷（六）

模塊一有理教基本祗念

定義示例剖析

正數：像3、1、+0.33等的數，叫做正數.在小學學正數：1,2.5,,...

過的數，除0外都是正數.正數都大于0.3

17

負數：像-1、-3.12、-一、-2008等在正數前加上負數：一1,5,—,...

52

“-”（讀作負）號的數，叫做負數.負數都小于0.一個數字前面的“+

0既不是正數，也不是負數.號叫做它的符號.

正數前面的“+”可以省略，注

意3與+3表示是同一個正數.

用正、負數表示相反京義的革：

如果正數表示某種意義，那么負數表示它的相反的意譬如：用正數表示向南，那么向

義，反之亦然.北3km可以用負數表示為-3km.

“相反意義的量”包括兩個方面的含意：一是相反意

義；二是相反意義的基礎上要有量.

有理數：整數與分數統稱有理名

,正整

卜自然數

整數零正整數：1,2,10,……

［負鎏J

有理數（按定義分類卜檄

負整數:-3,-6,-15,……

分數［鬟?數

［負分?數

2

.正整數正分數：一，1.5,0.3,...

正有理數,3

正分數

有理數（按符號分類）＜零

負分數：-3.25,-1.62,...

負整數5

負有理數,

負分數

注：⑴正數和零統稱為非負數；⑵負數和零統稱為非正數；

⑶正整數和零統稱為非負整數；⑷負整數和零統稱為非正整數.

第一頁共八十一頁

夯實基礎-暮n

--—~r

【例1】（1）下列各組量中，具有相反意義的量是（）

A.節約汽油10升和浪費糧食10kgB.向東走8公里和向北走8公里

C.收入300元和支出100元D.身高180cm和身高90cm

⑵規定向前、收入為正，后退、支出為負，那么下面四個語句中錯誤的是（）

A.前進-18米的意義是后退18B.-4萬元的意義是虧損4萬元

C.收入的相反意義是支出D.后退-4米的意義是前進4米

⑶如果零上5℃記作+5℃,那么零下5℃記作（）

A.-5B.-10C.-5℃D.-10℃

⑷如果水位升高4m時水位變化記作+4m,那么水位下降3m記作m,水位不

升不降時水位變化記作m.

⑸甲，乙兩地的海拔高度分別為200米，-150米，那么甲地比乙地高出（）.

A.200米B.50米C.300米

D.350米

（6）飲料公司生產的一種瓶裝飲料外包裝上印有“600±30（ml）”字樣，請問

"600±30ml"是什么含義？質檢局對該產品抽查5瓶，容量分別為603ml,611ml,

589ml,573ml,627ml，問抽查產品的容量是否合格？

⑺在下表適當的空格里打上號.

整數分數正數負整數正分數非負數非負整數無理數

0

-1.5

]_

4

+0.62

-3

0.31

71

9

~8

【例2】⑴一種零件的長度在圖紙上是（20喘，米，表示這種零件加工要求最大

不超過米，最小不小于米.

（北京師范大學附屬實瞼中學）

⑵1是（）

A.最小的整數B.最小的正整數C.最小的自然數D.最小的有理數

（3）-4.5,6,0,2.4,兀，--,-0.313,3.14,-11,以上各數中

2

第二頁共八十一頁

屬于負數，屬于非正數，屬于非負有理數.

322

⑷在15,—,0.15,-30,-12.8,—中，負分數的個數是（）

85

A.1B.2C.3D.4

:冷模塊二數軸

定義示例剖析

數軸：規定了厚卓、氐方回和單住饞摩的直線..1____1________

101

⑴原點、正方向、單位長度稱為數軸的三要素，畫數軸的常見錯誤：

二者缺一不可.11

⑵單位長度和長度單位是兩個不同的概念，前23

沒有原點

者指所取度量單位的長度，后者指所取度量單位的

名稱，即單位長度是一條人為規定的代表“1”的線

段，這條線段可長可短，按實際情況來規定，同一

t1

數軸上的單位長度一旦確定，則不能再改變.012

⑶數軸的畫法沒有正方向

①畫一條水平的直線；

②在這條直線上適當位置取一實心點作為原??

點：234

沒有原點

③確定向右的方向為正方向，用箭頭表示；

單位長度不統一

④選取適當的長度作單位長度，用細短線畫出，

并對應標注各數，同時要注意同一數軸的單位長度

?

要一致.0

沒有單位長度

有理數與數軸的關系：

一切有理數都可以用數軸上的點表不出來.T01234

注意：數軸上的點不都代表有理數，如兀.

利用數軸比較有理數的大小：.?.?

a

數軸上右邊的點所對應的數總大于左邊的點所b01

對應的數.因此，正數總大于零，負數總小于零，b<Q<\<a

正數大于負數.

夯實基出

【例3】⑴畫出數軸，在數軸上表示下列各數，并把數用連接.

+5,—3.5,—,—1—,4,0,2.5

22

第三頁共八十一頁

44

（2）—和-0.9的大小關系是：—____—0.9

55----

⑶數軸上與原點的距離是3個單位長度的點所表示的數是.

（4）數軸上點4對應的數為-3,那么與/相距1個單位長度的點8所對應的數是

⑸數軸上的點1、B分別表示數-3和1,點C是的中點，則點C所表示的數是

（6）如右圖所示，數軸的一部分被墨水污染了，被污染的部分內含有的

整數為.

-1.3^-^2.6

⑺在數軸上任取一條長度為1999,的線段，

9

則此線段在這條數軸上最多能蓋住的整數點的個數為.

【例4】⑴在數軸上，一個點從原點開始，先向右移動了2個單位長度，再向左移動3個單位長

度后到達終點，此時這個點表示的數是（）

A.5B.1C.-1

D.-5

⑵一個點從數軸上表示-2的點開始，先向右移動1個單位長度，再向左移動2個單位

長度，則終點表示的數是.

⑶數軸上的點/對應的數是-1,一只螞蟻從N點出發沿著數軸向右以每秒3個單位長

度的速度爬行至B點后，用2秒的時間吃光了8點處的蜜糖，又沿原路以原速度返

回力點，共用去6秒，則螞蟻爬行的路程是幾個單位長度？8點與/點的距離是多

少個單位長度？8點對應的數是多少？

【例5】⑴已知數軸上有力、B兩點,它們之間的距離為1,點力與原點的距離為3,那么點8

所對應的數為.

⑵在數軸上，N點和。點的距離是N點與30所對應點之間的距離的4倍，那么N點

表示的數是.

（3）己知下圖中數軸上線段（。是原點）的七等分點4、B、C、D、E、尸中，只有兩

第四頁共八十一頁

點對應的數是整數，點M對應的數〃那么加可以取的不同值有

個，加的最小值為.

III■I■IIII

MABCDEFO~

【拓展】如圖，已知數軸上4、8、C、。四點對應的實數都是整數，每相鄰兩個點相距1個

單位，如果4對應的實數為a,8對應的實數為b,且6-2“=9,那么數軸上的原點

應該是4、B、C、。中的哪一點？

----------------.——?——.——.——?—?—?——?——?------------>

ABCD

I冷模塊三相反數、倒數

定義示例剖析

例如：+5和-5互為相反數，或者說+5是

相反數:區有得苫不同的兩個數互稱為相反數.特-5的相反數，-5是+5的相反數；

別地，0的相反數是0.例如：+3與-3互為相反數，而+3與-2雖

相反數必須成對出現，不能單獨存在.然符號不同，但它們不是相反數.

求任意一個數的相反數，只要在這個數的前面添例如：3的相反數為-3

上“-”號即可.

一般地，數a的相反數是-a；這里以a表示任意-3的相反數為-(-3)

一個數，可以為正數、0、負數，也可以是任意一個

代數式.注意-a不一定是負數.0的相反數為0

當。>0時，-a<0；當。=0時，-a=0；當a<0

時，-?>0.-(-3)>0

互為相反數的兩個數的和為零，即若。與6互為

相反數，則a+6=0：例如：3與-3互為相反數,則3+(-3)=0

反之，若a+6=0,則。與6互為相反數.---------1-------1-------1---------

-404

一對相反數在數軸上應分別位于原點兩側，并且

到原點的距離相等.

第五頁共八十一頁

多重符號的化簡：一個正數前面不管有多少個

“+”號，都可以全部去掉；例如：+[+(+6)]=6

一個正數前面有偶數個號，也可以把

“-”號全部去掉；-{-[-(-6)])=6

一個正數前面有奇數個號，則化簡后只保

留一個“一”號，即“奇負偶正”(其中“奇偶”是

—[―(-5)]=-5

指正數前面的號的個數的奇偶數，“負正”是

指化簡的最后結果的符號)

倒數：乘積為1的兩個數互為倒數.a,6互為例如：3x1=1,3與[互為倒數.

倒數，則。小=1；反之亦然.33

負倒數：乘積為-1的兩個數互為負倒數.若。，若-3x1=-1，則-3與！互為負倒數.

33

6互為負倒數，則=反之亦然.

倒數是成對出現的，單獨一個數不能稱為倒數；

互為倒數的兩個數的乘積一定是1:0沒有倒數；

求一個非零有理數的倒數，把它的分子和分母顛倒位置即可.

【例6】(1)7的相反數()

A.-B.7C.--

77

D.-7

⑵下列正確的是()

A.一個數的相反數一定是負數B.兀和-3.14互為相反數

C.所有的有理數都有相反數D.13和31互為相反數

⑶如果化簡下列各數的符號，并說出是正數還是負數

①-(+a);②③-[+(-必；④-[-(-a)]；⑤-{+[-(-0)]}

(4)-3的倒數是()

A.—B.—C.—3D.3

33

【例7]⑴3與_____互為相反數；是_________的相反數.

72

(2)-(-2)的相反數是；b+4是的相反數.

⑶十[+(-4)]}=-----------

(4)-卜[+(-5)]}與___________互為相反數，-(-a-6)與_________________互為相反

第六頁共八十一頁

數，+［_(_7+b-c)］與____________互為相反數.

(4)已知有理數a、b在數軸上表示如圖，現比較八b、-a.-b的大小，正確的是()

----1i------1------

a---0b

A.-a<-b<a<bB.a<-b<b<-a

C.-b<a<-a<bD.a<b<-b<-a

⑷.已知。力為有理數，且Q>0,b<0,a+b<0,將四個數氏瓦-。，-6按由小到大的

順序排列是

［例8］電子跳蚤落在數軸上的某點K。，第一步從K。向左跳1個單位到第二步由"向右

跳2個單位到長2，第三步由長2向左跳3個單位到K3,第四步由《向右跳4個單位

到女4……,按以上規律跳了10。步時，電子跳蚤落在數軸上的點50c所表示的數恰是

19.94,試求電子跳蚤的初始位置K。點所表示的數.

【例9】動點/從原點出發向數軸負方向運動，同時，動點B也從原點出發向數軸正方向運動,

3秒后，兩點相距15個單位長度.已知動點Z,8的速度比是1:4,(速度單位：單位

長度/秒)

-12-9-6-3036912x

①求出兩個動點運動的速度，并在數軸上標出1,8兩點從原點出發運動3秒時

的位置.

②若力,8兩點從①中的位置同時向數軸負方向運動，幾秒時，原點恰好處在兩

個動點的正中間？

③若8兩點從①中的位置同時向數軸負方向運動時，另一動點C也同時從8點

位置出發向4點運動，當遇到1點后，立即返回向8點運動，遇到8點后又立

即返回向/點運動，如此往返，直到8追上/時，點C立即停止運動.若點C一

直以20單位長度/秒的速度勻速運動，那么點C從開始運動到停止運動，行駛的

路程是多少個單位長度？

第七頁共八十一頁

知識模塊一有理數基本概念課后演練

【演練1】⑴一天早上的氣溫是-7℃,中午上升了ire,半夜又下降了9℃,那么半夜的氣

溫

是（）

A.-5℃B.5℃C.-13℃

D.13℃

⑵如果節約16噸水記作+16噸，則浪費6噸水記作.

⑶下列說法正確的是（）

A.有最小的負整數，沒有最小的正整數B.有最小的負數，沒有最大的正數

C.有最大的負數，沒有最小的正數D.有最大的負整數，沒有最大的正整數

（4）把下列各數填入表示它所在的數集的大括號：

-2.4,3,2.008,--,1-,-0.i5,0,-（-2）,3.14.

34'/

正有理數數集合：{}

非負整數集合：{}

負分數集合：{}

【演練2】檢驗5個排球，其中超過標準的克數記為正數，不足的克數記為負數.這5個排球

的記數分別為：1號球，+5；2號球，+0.7；3號球，-0.6；4號球，-3.5；5號球，

+2.5.從輕重的角度看，最輕的球是號球，最接近標準的球是號球.

知識模塊二數軸課后演練

【演練3】數軸上，點4,8分別表示-3和5,則線段48的中點所表示的數是

【演練4】有理數a,b在數軸上的對應點的位置如圖所示：則（）

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A.a+b<0B.a+b>0C.a—b=0D.a-b>0

知識模塊三相反數，倒數課后演練

【演練5】(1)-6的相反數是—，-23的倒數是_____,-4的倒數的相反數是_____

7

(2)f的相反數為2,貝lj〃=；—Q+b的相反數

【演練6】如圖所示，若點4是有理數。在數軸上對應的點，則。、-a、1的大小關系是.

-----??—?---->

A-----01

第九頁共八十一頁

定義示例剖析

1.絕對值的幾何意義：在數軸上，一個數a所對應

的點與原點的距離稱為該數的絕對值，記作時.

|3|=3，］-《=；，|。|=0

2.絕對值的代數意義：一個正數的絕對值是它本身；

一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0.

注意：①取絕對值也是一種運算，運算符號是“||"，求一

個數的絕對值，就是根據性質去掉絕對值符號.

②絕對值具有非負性，即取絕對值的結果

總是正數或0.

③任何一個有理數都是由兩部分組成:符號和它的絕

對值，如：-5符號是負號，絕對值是5.

3.絕對值的性質：

⑴絕對值的非負性，可以用下式表示：同20,這是

絕對值非常重要的性質；非負數性質：

[a(a>0)如果若干個非負數之和為0,那么其

(2)同=<0(a=0)；中的每一個非負數都為0

-a(a<0)

/c、[1(a>0)例如：若同+同=0,則a=0,b=0

a[-1(a<0)

⑷若同=a,則a20；若同=-a,則aWO；

⑸同=卜4；若同=網，則a=b或〃=一6

第十頁共八十一頁

4.利用2色對值比較兩個負有理數的大小：兩個負數，絕對值大的反而小.

總結：有孑里數大小的比較

兩數同號]同正：絕對值大的數大

同負：絕對值大的反而小

比較大小?兩數異號（一正一負）：正數大于負數

?正數與0:正數大于0

其中有0時

’負數與0:負數小于0

【例10]（1）①-|-1.5|=；②絕對值不大于3的整數有.

⑵絕對值大于2而小于5的負整數是.

⑶下列說法正確的是（）

A.符號相反的數互為相反數

B.任何有理數都有倒數

C.最小的自然數是1

D.一個數的絕對值越大，表示它的點在數軸上離原點越遠

（4）-3.5的絕對值為，-3.5的相反數為,

-3.5的倒數為,-3.5的負倒數為.

（5）若a+b=0,c和d互為倒數，的絕對值為2,求代數式的值.

a+b-c

【例11]（1）已知a、6為有理數，且。<0,b>0,|/>|<|tz|,則a、b、-a>-b的大小關

系是（）

A.-b<a<h<—aB.-b<h<—a<a

C.a<-b<b<-aD.-a<b<-b<a

（2）|x-2|+|^-3|=0>貝ij肛=；|x|=-|y-7|,則個=.

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⑶若|a-2|與妝+3|互為相反數，則26-a的值為().

A.8B.-8C.±8D.7

⑷方程上—2008|=2008—x的解的個數是().

A.1B.2C.3D.無窮多

(5)求出所有滿足條件,-可+帥=1的非負整數對(〃").

(6)設。、6同時滿足①(a-2b)2+D+l|=6+l；②|a+6-3|=0.那么曲=.

-----A---*-----*-----*-----*--->>

a~b0b-a

【例12](1)已知數a、b、c在數軸上的位置如圖所示，化簡同+川+|°+4-卜-4的結果

是—

abc

'0''—>

(2)如圖，根據數軸上給出的a、6、c的條件，試說明卜-可+|6-4-卜-4的值與。無

關.

biiai?c

0

【角軍析】(1)3b-c；&2a-2b.

【例13](1)已知|。一1|+|"-2|=0,試求

111

-----1------------------1------------------++(a+2012)(6+2012)的佰

ab(a+1)(6+1)(a+2)(b+2)

⑵已知|a+6|與|。_耳互為相反數，求任皿+從“+K2003_/『

第十二頁共八十一頁

【例14】已知甲數的絕對值是乙數絕對值的3倍，且在數軸上表示這兩數的點位于原點的兩

側，兩點之間的距離為8,求這兩個數；若數軸上表示這兩數的點位于原點同側呢？

K模塊二維對值代數意義的應用

【例15]若》=2就丁則|x|+|x-l|+|x-2|+|x-3|+|x-4j+|x-5b.

【例16】化簡：⑴|x-l|；(2)|x+5|；(3)|x+5|+|2x-3|

【拓展】|xT|+|x+2|+|x-4|

第十三頁共八十一頁

【例17]已知a",c?是非零有理數，且a+6+c=0,求4+芻+1+嗎的值.

101回14\abc\

【拓展】已知x=@+8+回+笆且a",c都不等于0,求x的所有可能值.

abcahc

探索創新-4日

【例18】如果a,b,c,d為互不相等的有理數，且c|=0—d=|d—q=1,那么卜―4等于

()

A.1B.2C.3D.4

【例J19】將1,2,3...100,這100個自然數任意分成50組，每組兩個數，將其中一個數記為a,另一個

數記為兒代入代數式;(。+6—卜一耳)中計算，求出其結果，50組都代入后可得50個值，求這

第十四頁共八十一頁

50個值的和的最小值.

知識模塊一絕對值的定義課后演練

【演練7】⑴。是最小的正整數，b是最大的負整數，c是絕對值最小的有理數，d是絕對值

等于2的數，貝lJa+(—b)+c+d=.

(2)若國=3,則N-x三

A.+1；-7B.-1；+7C.7

D.±1

(4)已知|a|=8,|=5,S.\a+b\=a+h,貝lja-b=

第十五頁共八十一頁

【演練8】若上一4|+卜+5|=0,則工=；y=

知識模塊二絕對值代數意義的應用課后演練

【演練9](1)化簡：|3-x|(2)化簡代數式,+2|+卜一4|

【演練10J若x=—0.239，求|x—1|+|x—3|4-?—I-|x—19971—[v|—|x—21—,—[x—19961的值.

【演練11]設a,b,c為非零實數，S.\a\+a=0f\ah\=ahy|c|-c=0.

化簡同一,-卜-+k一.

【演練12】有理數a,h,c,d滿足四L_l,求@+也+且+回的值.

abedabed

第十六頁共八十一頁

:冷模塊一有理數的加減法

定義示例剖析

有理數加法法則：

①同號兩數相加，取相同的筷號，并把絕對3+5=8

值陰加.

-5+3=-（5-3）=-2

②絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值

較大的加數符號，并用較大的絕對值減本較小的

絕對值.-3+0=-3

③一個數同0相加，仍得這個數.

有理數加法的運算步驟：

法則是運算的依據，根據有理數加法的運算法則，可以得到加法的運算步驟：

①確定和的符號；

②求和的絕對值，即確定是兩個加數的絕對值的和或差.

有理數加法的運算技巧：

①分數與小數均有時，應先化為統一形式.

②帶分數可分為整數與分數兩部分參與運算.

③多個加數相加時，若有互為相反數的兩個數，可先結合相加得零.

④若有可以湊整的數，即相加得整數時，可先結合相加.

⑤若有同分母的分數或易通分的分數，應先結合在一起.

⑥符號相同的數可以先結合在一起.

有理數加法的運算律：

①兩個數相加，交換加數的位置，和不變.a+b=b+a（加法交換律）

②三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后

兩個數相加，和不變.（a+b）+C=Q+（6+。）（力口法結合律）

有理數減法法則：

減去一個數，等于加上這個數的知原數.a-6=。+（-6）（減法法則）

有理數減法的運算步驟：

第十七頁共八十一頁

①把減號變為加號（改變運算符號）

②把減數變為它的相反數（改變性質符號）3—0.15—9+5-11=(+3)+(-0.15)+(-9)+(+5)+(-11)

③把減法轉化為加法，按照加法運算的步驟進行它的含義是正3,負0.15,負9,正5,負11的和.

運算.

有理數加減混合運算的步驟：

①把算式中的減法轉化為加法；

②省略加號與括號；

③利用運算律及技巧簡便計算，求出結果.

注意：根據有理數減法法則，減去一個數等于加上它的相反數，因此加減混合運算可以依據上述法則

轉變為只有加法的運算，即為求幾個正數，負數和0的和，這個和稱為代數和.為了書寫簡便，可以把加

號與每個加數外的括號均省略，寫成省略加號和的形式.

【例20】計算:

753

⑴(+7.5)+⑶-+

6

【例21】計算:

3

—20+(―15)—(―28)—17

【例22】計算:

-7.34+(-12.74)+12.34+7.34

第十八頁共八十一頁

⑶(-3)4-(-4)+1-151+[-(-7)]}(4)+

32

(5)6—+24+4——16-6.8-3.2

55

【例23】計算:

44

(1)|-18-1+1+53-1+(一53.6)+卜嗎卜(TOO)⑵*+(—；)]+[(—]+6口

555

⑶11+192+1993+19994+199995+1999996+19999997+199999998+1999999999

(4)己-213匚4上-5。6山7二82-9上

2612203042567290

第十九頁共八十一頁

1111122222

+-+-++-+-+

23459603455960

',33333、，5859、

44659605960

3模塊二有理數乘除法

定義示例剖析

有理數乘法法則：可數相乘，網號得.，異號3x4=12

-3X4=-(3X4)=-12

轡"，并把絕對值相乘.任何數同0相乘，都得0.

-3x(-4)=12

有理數乘法運算律：

①兩個數相乘，交換因數的位置，積相等.

ab=ba(乘法交換律)

②三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把

abc=(乘法結合律)

后兩個數相乘，積相等.

a(b+c)=ab+ac(乘法分配律)

③一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分

別同這兩個數相乘，再把積相加.

有理數乘法法則的推廣：

①幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數的個數是偶數時，積為正數；

負因數的個數是奇數時，積為負數.（奇負偶正）

②幾個數相乘，如果有一個因數為0,則積為0.

③在進行乘法運算時，若有帶分數，應先化為假分數，便于約分；若有小數及分數，一般先將小

數化為分數，或湊整計算；利用乘法分配律及其逆用，也可簡化計算.

在進行有理數運算時，先確定符號，再計算絕

rur13

對值，有括號的先算括號里的數.3+5=3x—=—

有理數除法法則：除以一個不等于0的數，等55

于乘這個數的倒數；a+b=a弓(bwO)

兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值

相除；