第五講空間等參薄板2023/2/18第一頁，共六十二頁，2022年，8月28日空間與軸對稱問題等參數單元薄板彎曲問題2023/2/18第二頁，共六十二頁，2022年，8月28日5-1空間問題簡介

工程實際中的很多問題難于簡化為平面問題，如受任意空間載荷作用的任意形狀幾何體，受對稱于軸線載荷作用的回轉體，本章簡單介紹兩類問題：軸對稱問題和空間問題的有限元計算。空間問題的主要困難：（1）離散化不直觀；————（網格自動生成）（2）未知量的數目劇增?！▽δ承﹩栴}簡化）——————（軸對稱問題）空間分析的優點：精確。2023/2/18第三頁，共六十二頁，2022年，8月28日5-1空間問題簡介

某一平面圖形繞平面上某一軸旋轉形成的回轉體稱為軸對稱物體，此平面稱為子午面。在動力機械，特別是葉輪機械中，有很多零件都具有軸對稱特性，比如輪盤、旋轉軸、承力環等。對于直齒圓柱齒輪，由于齒的存在，嚴格地說它并非軸對稱物體。如果忽略齒的部分(將齒用外載荷表示)，則所得到的齒根以內的旋轉體部分為軸對稱物體。軸對稱物體的變形及應力分布不一定是軸對稱的，只有當其約束和載荷都對稱于旋轉軸時，軸對稱物體的變形和應力分布才是軸對稱的。軸對稱物體+軸對稱約束+軸對稱載荷=軸對稱系統對軸對稱系統的應力分析=軸對稱物體2023/2/18第四頁，共六十二頁，2022年，8月28日5-2軸對稱問題1）幾何形狀關于軸線對稱；2）作用于其上的載荷關于軸線對稱。3）約束條件關于軸線對稱。 因過z軸的任一子午面都是對稱面，其 上任一點p只在該平面上發生位移，即 彈性體內任一點的位移、應力與應變只 與坐標r、z有關，與無關。從而，軸 對稱問題可轉化為二維問題，但因與平 面問題有區別，常稱為二維半問題。zrxp柱坐標系2023/2/18第五頁，共六十二頁，2022年，8月28日5-2軸對稱問題

注意：應變雖然與無關，但是周向應變，周向應力，由徑向位移引起，因為徑向位移會導致周長的改變。2、基本方程位移分量應力分量應變分量2023/2/18第六頁，共六十二頁，2022年，8月28日5-2軸對稱問題虛功方程2、基本方程應變分量軸對稱問題的彈性矩陣：2023/2/18第七頁，共六十二頁，2022年，8月28日5-2軸對稱問題剛度矩陣的推導：步驟1：選擇單元類型步驟2：選擇位移函數步驟3：確定應變位移和應力應變關系步驟4：推導單元剛度陣2023/2/18第八頁，共六十二頁，2022年，8月28日5-2軸對稱問題3、單元位移函數

zroi(rz)rmurjuriumwjwiwiim(rz)mmj(rz)jj單元類型：三角形單元利用節線位移，待定系數，可得2023/2/18第九頁，共六十二頁，2022年，8月28日5-2

軸對稱問題 其中為r的函數，故[B]的元素不是常量，與平面三角形單元有區別。當r---》0時，f不存在，即奇異，需近似處理。4、應變矩陣5、單元剛度矩陣2023/2/18第十頁，共六十二頁，2022年，8月28日5-2軸對稱問題6、軸對稱單元的特點(與平面三角形單元的區別)軸對稱單元為圓環體，單元與單元間為節圓相連接；節點力與節點載荷是施加于節圓上的均布力；單元邊界是一回轉面；應變分量中出現了，即應變不是常量；且應變矩陣在r--》0時，存在奇異點，需特殊處理，通常用該單元的形心坐標替代節點坐標。2023/2/18第十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日5-2軸對稱問題剛度矩陣近似表達：為三角形面積2023/2/18第十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日問題描述：如下圖所示，一個半徑為100m的正方形截面圓環，截面尺寸為10m×10m，底端固定，徑向受100N軸對稱載荷，材料的彈性模量為3.0×1011Pa，試用有限元法進行分析。軸對稱問題分析實例2023/2/18第十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日軸對稱問題分析實例分析類型：Structural單元類型：Solid和Quad4node42指定對稱模式2023/2/18第十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日軸對稱問題分析實例材料屬性定義模型及有限元網格剖分2023/2/18第十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日軸對稱問題分析實例添加約束：添加載荷：2023/2/18第十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日軸對稱問題分析實例2023/2/18第十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日5-3空間問題有限元法1、基本方程2023/2/18第十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日5-3四面體單元1）單元類型：四面體單元節點位移向量2）位移函數：線性位移函數2023/2/18第十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日5-3四面體單元利用節點位移可待定系數，并整理為如下形式 這些系數為四面體體積V各行各元素的代數余子式其中2023/2/18第二十頁，共六十二頁，2022年，8月28日5-3四面體單元3）應變矩陣其中 顯然[B]為常量矩陣，故四面體單元為常應變單元2023/2/18第二十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日5-3四面體單元4）剛度矩陣2023/2/18第二十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日空間問題分析實例問題描述：如下圖所示，一立方體的尺寸為10m10m20m，底端固定，前面頂端右側角點受Fx=1000N，Fy=1000N，Fz=1000N的集中力，材料的彈性模量為3.0×1011Pa，試用有限元法進行靜力分析。2023/2/18第二十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日空間問題分析實例分析類型：Structural單元類型：Solid和Brick8node45材料屬性定義2023/2/18第二十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日空間問題分析實例三維模型有限元網格剖分(四面體)2023/2/18第二十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日空間問題分析實例添加約束：添加載荷：2023/2/18第二十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日空間問題分析實例2023/2/18第二十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日6-1等參數單元 提高計算精度的方法：單元細分；構造高精度單元。 由前可知，三角形有較矩形單元更好的邊界適應性，矩形單元比三角形有更高的精度，但是，一般來說，矩形單元只適合用于矩形規則區域的求解，對于任意形狀的非規則區域，單元分割困難，計算精度在邊界上存在問題。2023/2/18第二十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日6-1等參數單元 如果將矩形單元改為任意四邊形單元，用于求解不規則區域時單元分割方便，而且至少4個節點8個自由度。但是，任意四邊形單元不能滿足相鄰單元之間的位移協調。 因此，實際工程中，往往更希望有單元精度高、邊界適應性好的單元，等參單元具有此特點。2023/2/18第二十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日6-1等參數單元 所謂等參單元：即以規則形狀單元（如正四邊形、正六面體單元等）的位移函數相同階次函數為單元幾何邊界的變換函數，進行坐標變換所獲得的單元。由于單元幾何邊界的變換式與規則單元的位移函數有相同的節點參數，故稱由此獲得的單元為等參單元。借助于等參單元可以對一般任意形狀的求解域方便地進行有限元離散。2023/2/18第三十頁，共六十二頁，2022年，8月28日6-1等參數單元2(1,-1)3(1,1)4(-1,1)1(-1,-1)1、等參變換 將局部坐標下的規則形狀單元轉換為總體坐標下幾何形狀扭曲的單元，以滿足任意形狀離散的要求。2023/2/18第三十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日6-1等參數單元局部坐標總體坐標變換函數2023/2/18第三十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日6-1等參數單元變換實例xyz

t

3(1,1)4(-1,1)2(1,-1)1(-1,-1)

y=1=1=-1=12(x2,y2)1(x1,y1)3(x3,y3)4(x4,y4)uvP(x,y)2023/2/18第三十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日6-2等參數單元形函數2、形函數的性質同前在矩形單元上的變化如圖注意：不是直線2023/2/18第三十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日6-2等參數單元形函數形函數N1的正確表示直線直線（1,-1）不是平面-1-0.500.51-1-0.500.5100.250.50.751-1-0.500.512023/2/18第三十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日6-3等參數單元位移函數3、等參單元位移函數：單元內任意點p的位移函數(2D)： 其中：Ni和坐標變換式的形函數相同。2023/2/18第三十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日6-4等參數單元剛度矩陣4、等參單元剛陣

1）應變矩陣 注意：應變為位移對x，y的導數，如四節點四邊形單元計算式如右：用于二維等參元2023/2/18第三十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日6-4

等參數單元剛度矩陣2）復合求導 記為矩陣(如四節點四邊形單元) [J]稱為Jacobi矩陣，由坐標變換式確定，當[J]的逆存在時，則形函數對x，y的導數可求，即應變陣可求。2023/2/18第三十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日6-4等參數單元剛度矩陣應變矩陣2023/2/18第三十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日6-4等參數單元剛度矩陣3）剛度矩陣 一般而言，等參單元的剛度積分很難有解析式，必須進行數值積分，目前普遍采用高斯數值積分法。(略)2023/2/18第四十頁，共六十二頁，2022年，8月28日6-5空間六面體單元8(x5,y5,z5)1234(x4,y4,z4)5(x5,y5,z5)67xzy

23(1,-1,1)48(1,1,-1)6572023/2/18第四十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日6-5空間六面體單元1)形函數(i=1,2,…8)其中：例：2023/2/18第四十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日6-6等參數單元說明等參單元的幾點說明：1）等參單元為協調元，滿足有限元解收斂的充要條件。證明略。2）等參單元存在的充要條件是： 為了保證能進行等參變換(即總體坐標與局部坐標一一對應)，通常要求總體坐標系下的單元為凸，即不能有內角大于或等于或接近180度情況。2023/2/18第四十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日6-6等參數單元說明3）等參單元的優點是當單元邊界呈二次以上的曲線時，容易用很少的單元去逼近曲線邊界。4）上述等參單元的理論公式可適應三次以上的曲線型等參元，只是階次提高，單元自由度相應增加，計算更復雜，積分更困難，實際中，很少超過3次曲線型。5）上述推導要求：保持坐標變換中幾何模式階次與描述單元位移函數中形函數的階次相同。如取坐標變換的幾何模式階次較單元的位移函數的階次高，則稱此單元為超單元，反之，為亞單元。這兩類單元的收斂性也可得到滿足。略6）當然，也可取描述單元幾何形狀的幾何模式不是形函數的，如p-element2023/2/18第四十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日7-1薄板彎曲問題 力學概念定義的板是指厚度尺寸相對長寬尺寸小很多的平板，且能承受橫向或垂直于板面的載荷。如板不是平板而為曲的(指一個單元)，則稱為殼問題。如作用于板上的載荷僅為平行于板面的縱向載荷，則稱為平面應力問題；如作用于板上的載荷為垂直于板面的橫向載荷，則稱為板的彎扭問題，常簡稱板的彎曲問題。2023/2/18第四十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日7-1薄板彎曲問題1、基本假設（克?；舴蚣僭O）

1）直線假設：即變形前垂直于板中面的直線，在彎曲變形后仍為直線，且垂直于彎曲后的中面。說明在平行于中面的面上沒有剪應變，即xyzt變形前的直線變形后的直線zxz2023/2/18第四十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日7-1薄板彎曲問題2）厚度不變假設：即忽略板厚變化。即。由于板內各點的擾度與z坐標無關，只是x，y的函數，即3）中面上正應力遠小于其它應力分量假設：平行于中面的各層相互不擠壓，不拉伸，沿z向的正應力可忽略，即

4）中面無伸縮假設：彎曲過程中，中面無伸縮，即2023/2/18第四十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日7-1薄板彎曲問題2、基本方程

1）幾何方程分別表示薄板彎曲曲面在x，y方向的曲率表示薄板彎曲曲面在x，y方向的扭率繞x軸轉角繞y軸轉角2023/2/18第四十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日7-1薄板彎曲問題2）應力應變關系（HOOK定律）記為矩陣形式：2023/2/18第四十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日7-1薄板彎曲問題3）內力矩公式 單位寬度上垂直x，y軸的橫截面上彎矩、扭矩xyzt2023/2/18第五十頁，共六十二頁，2022年，8月28日7-2薄板彎曲的矩形單元 用有限元法求解薄板彎曲問題，常在板中面進行離散，常用的單元有三角形和矩形。為了使相鄰單元間同時可傳遞力和力矩，節點當作剛性節點，即節點處同時有節點力和節點力矩作用。每個節點有三個自由度，即一個擾度和分別繞x，y軸的轉角。如右圖矩形單元mjil節點位移向量和節點力向量2023/2/18第五十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日7-2薄板彎曲的矩形單元3、位移函數 薄板彎曲時，只有w(x,y)是薄板變形的未知基本函數，而其它量，如u,v等都是w(x,y)的函數，故薄板矩形單元的位移函數的選擇實際就是w(x,y)的選取。注意單元有12個自由度，則另兩個轉角為：2023/2/18第五十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日7-2薄板彎曲的矩形單元 待定系數：利用12個節點位移值可待定12個系數，整理w(x,y)為插值函數形式：其中，形函數：2023/2/18第五十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日7-2薄板彎曲的矩形單元單元收斂性分析：

1）位移函數中包含有常量項，反映了剛體位移，如為擾度常量，為轉角常量。

2）位移函數中包含了常量應變項，如形變分量為：

表明薄板處于均勻彎扭變形狀態，即常應變狀態。這里的常應變為擾度的二次函數，而在平面單元中為位移的一次式，這是因為板有厚度，其形變是指不同厚度上的。2023/2/18第五十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日7-2薄板彎曲的矩形單元單元收斂性分析：

3）相鄰單元在公共邊界上擾度是連續的但轉角不一定連續。 設邊界ij邊y=-b則有位移 四個系數剛好通過i，j兩個端點的擾度值和繞y軸的兩個轉角值唯一確定；同時，相鄰單元在此邊界上也能通過i，j的值唯一確定，故連續。

如對于繞x軸的轉角： 四個系數不能通過i，j的兩個已知轉角值唯一待定；同理，相鄰單元在此邊界上也不能唯一確定四個系數。故轉角不連續。

所以，薄板矩形單元是非協調單元。但實踐表明，當單元細分，其解完全能收斂真實解。2023/2/18第