國內外經典教材名師講堂古扎拉蒂《計量經濟學基礎》第17章動態計量經濟學模型：自回歸與分布滯后模型主講老師：李慶海

17.1本章要點

●分布滯后模型

●自回歸模型

●考伊克模型

●工具變量法

●自回歸模型的診斷

●分布滯后的阿爾蒙方法或多項式分布滯后

引言

在涉及時間序列數據的回歸分析中，如果回歸模型不僅含有解釋變量（諸X）的當前值，還含有它們的滯后（過去）值，就把它稱為分布滯后模型（distributed-lagmodel）。

如果模型在它的解釋變量中包含因變量的一個或多個滯后值，就稱它為自回歸模型（autoregressivemodel）。該模型描述了因變量相對其過去值的時間路徑又被稱為動態模型（dynamicmodels）。自回歸與分布滯后模型廣泛地應用于計量經濟分析之中。本章對這類模型作一周密的考察以明確如下問題：

1．滯后在經濟學中的作用是什么?

2．滯后的理由是什么?

3．在經驗計量經濟學中常用的滯后模型有什么理論上的依據?

4．自回歸與分布滯后模型之間有沒有關系?如果有，又是什么關系?能從一個模型推導出另一個模型嗎?

5．在估計這類模型時會遇到一些什么樣的統計問題?

6．變量之間的領先一滯后關系意味著因果關系嗎?如果是這樣，你將如何度量它?

17.2重難點導學

一、“時間”或“滯后”在經濟學中的作用

在經濟學中，變量Y（因變量）對另一（些）變量X（解釋變量）的依賴很少是瞬時的。常見的情形是，y對X的響應有一個時間上的延遲，這種時間上的延遲就稱做滯后（lag）。

下面考慮相關例子消費函數假定某人的年薪增加了2000美元，并假定它是一種“永久性”增加,即這一薪金的增加將一直保持下去。那么，這種收入的增加將會對個人的年消費支出產生什么影響呢?在得到收入的這種增加之后，人們通常并不急于把全部增加的收入馬上花掉。比如說，受益者也許決定在收入增加后的第一年增加800美元的消費支出，第二年增加600美元，第三年增加400美元，而把剩余的部分用于儲蓄。到第三年末，此人的年消費支出將增加1800美元。于是可把消費函數寫成其中y是消費支出，而X是收入。

更一般地，可寫成：

β0表示隨著X一個單位的變化，Y均值的同期變化，故稱短期或即期乘數。β0+β1給出下期Y（均值）的變化β0+β1+β2給出再下期Y的變化，以此類推。β0+β1,β0+β1+β2這些部分的和稱中期乘數。經過k期之后，得到：

稱為長期或總分布滯后乘數。如果定義便得到“標準化”βi。于是，標準化βi的“局部和”將給出在某一特定時期所感到的沖擊占長期或總沖擊(即總滯后乘數)的比例。二、滯后的原因

1．心理上的原因。作為一種習慣勢力(惰性)的結果，人們在價格上升或收入增加之后,并不馬上改變他們的消費習慣，也許因為改變的過程會帶來一些直接的負效應。例如，由于彩票中獎瞬時變成百萬富翁的人們也許不會改變他們已長期適應的生活方式，因為他們不知道怎樣對這種意外之財立即作出反應。當然，給予合理的時間，他們也許能學會怎樣使用他們新得到的巨款。再則，人們不一定知道某種變化是“永久“性的或“暫時”性的。因此，我對我的收入增加的反應要看這種增加是否永久而定：如果這是一種不會再有的增加，而且在以后的時期里我的收入將回到原來的水平，那么我也許會把全部增加的收入儲蓄起來。但若別人是我的話，也許會“盡情地享受”。

2．技術上的原因。假使相對于勞動而言，資本的價格下跌致使用資本代替勞動較為經濟。無疑資本的添置需要時間（孕育時期）。此外，如果人們預期價格下跌是暫時現象，特別是在資本價格的暫時下跌之后會回升到原先的水平，廠商就不會匆忙用資本去代替勞動。

有時，不完全信息也是滯后的原因。目前，各種性能和價格的計算機充斥著個人計算機市場，而且，自從20世紀70年代后期個人計算機面世以來，大多數計算機的價格均急劇下跌。結果，個人計算機的未來用戶均等待觀望各種競爭商品的性能與價格而在購買上遲疑不決。之所以遲疑不決，也許因為他們期待價格進一步下跌和技術創新的出現。

3．制度上的原因。這種原因也會造成滯

后。例如，契約上的義務也許妨礙廠商從一個勞動或原料來源轉換到另一個來源。作為另一個例子，一些人已將他們的獎金存放到有固定存期比如說一年、三年或七年的長期儲蓄賬戶之中，那么，盡管貨幣市場情況表明資金有獲得更高收益的可能性，可是收益已基本上被“鎖定”了。同理，雇主常常讓雇員在幾個健康保險計劃之中選擇一個。但是一旦選定，雇員也就在一年之內不能從一個保險計劃調換到另一個。雖然這種規定是為了行政管理上的便利而作出的，卻把雇員鎖定了一年之久。由于上述原因，滯后在經濟學中占有中心地位。這一點明顯地反映在經濟學的短期－長期方法論中。正是出于這種理由，說短期價格或收入彈性一般小于（從絕對值上看）相應的長期彈性，以及短期邊際消費傾向一般小于長期邊際消費傾向。三、分布滯后模型的估計

兩種方法：（1）現式估計法（2）限定各β遵從某種變化模式的先驗約束法現式估計法原理：

在使用現式估計法的時候，需要序貫地對原式進行估計，這一序貫程序一直進行，直至滯后變量的回歸系數開始統計上不顯著或至少有一個變量的系數變號為止。如上述模型，若尚未規定滯后的長度，那么這個模型就被稱為無限（滯后）模型。若滯后的長度k已經設定，這種形式就被稱為有限（滯后）分布模型。既然解釋變量xt-1,xt-2等也是非隨機的，那么原則上，普通最小二乘法(OLS)可用于(17-1)的估計。（17-1）這種方法由阿爾特（Alt）和丁伯根

（Tinbergen）采用。

他們建議序貫地對（17-1）進行估計：

首先，將Yt

對Xt回歸；

然后，將Yt

對Xt和Xt-1回歸，依此類推增加滯后項進行回歸。

這一序貫程序將終止于滯后變量的回歸系數開始變成統計上不顯著或至少有一個變量的系數改變符號（由正變負或由負變正）之時。現式估計法的不足

1．滯后的最大長度是什么，沒有任何先驗性的指引。

2．在估計滯后的相繼過程中，剩下來的自由度越來越少，致使統計推斷不太可靠。

3．更重要的是，在經濟時間序列數據中，連續的(滯后)值一般都是高度相關的；多重共線性的陰影籠罩著整個估計問題。多重共線性導致不準確的估計；就是說，標準誤相對于所估系數來說有傾向于偏大。結果，根據通常計算的t，就易于(錯誤地)聲稱(各)滯后系數在統計上不顯著。

4．對滯后長度的序貫尋找，將使研究者受到數據開采的指責。四、分布滯后模型的考伊克方法考伊克曾提出一種估計分布滯后模型的巧妙方法：考伊克假設所有的β都有相同的符號，并按照幾何級數項衰減。其中λ（0<λ<1）稱為分布之后的衰減率，而1-λ稱為調節速度。（17-2）

假設的合理性：

當追溯到越是遙遠的過去，該滯后對于Y的影響就越小。這是一個合理的假設。幾何意義描繪了考伊克模式的幾何意義。λ越接近于1，βk的衰減速度就越慢λ越接近于0，βk的衰減速度就越快注意考伊克模式的以下特點：（1）通過假定λ非負，排除β變號出的可能性;（2）通過假設λ<1,對遙遠的β比對近期的β賦予了更小的權重；（3）確保長期乘數，即β的總和是有限值，即（17-3）考伊克變換由（17-2），無限滯后模型（17-1）可以寫為

嚴格地說，（對參數而言的）線性回歸分析方法不適用于這類模型，然而考伊克提出了創造性的解決方法。他將（17-4）滯后一期得到（17-4）（17-5）用λ乘以（17-5）得到（17-6）：

從（17-4）中減去（17-6），得到

整理得上述過程稱為考伊克變換。（17-6）（17-7）（17-8）考伊克變換的優點①現在只需要估計三個參數：α，β，λ。

②通過僅用一個變量（如Yt-1）代替Xt-1,Xt-2,…,在一定程度上解決了多重共線性的問題。考伊克變換的主要特點：

1.

本質上，這個這一變換表明了如何把一個分布滯后模型轉換為一個自回歸模型。

2.Yt-1和Yt一樣都是隨機的。如果使用OLS方法，必須證明Y獨立于隨機干擾項vt。（運用OLS方法的假設前提之一：解釋變量是非隨機的，或者如果是隨機的，則須獨立于隨機干擾項）。

3．在原始模型（17-1）中，干擾項是μt；而在轉換后的模型中，干擾項是。后者的統計性質依賴于前者。但是會發現，即使原始的μt是無關的，νt也是序列相關的。相關證明在后面章節中給出。

4．滯后的Y的出現違背了德賓-沃森檢驗的基本假定之一。（思考DW檢驗的假定前提）一個檢驗序列相關的替代方法是德賓h檢驗。這一內容將會在后文詳細介紹。模型結構性質的描述：不過，在實際應用中，中位滯后和平均滯后常用來刻畫一個分布滯模型的滯后結構。

中位滯后中位滯后是指在X的以單位持續變化之后，Y變化一半，即變化達到其總變化的50%所需要的時間。對于考伊克模型，中位滯后有如下形式：考伊克模型：中位滯后=因此，如果λ=0.2，則中位滯后是0.4306；但如果λ=0.8，中位滯后為3.1067.用文字來說，對于前一情形，Yd的總變化的50%可在少于半個時期內完成，而對于后一情形這需要經過多于3個時期才能完成50%的變化。這一對比并不奇

怪，因為知道λ值越高，調整的速度越慢。λ值越低,調整的速度越快。表達式證明平均滯后假設所有的βk都是正的，則平均滯后定義為：這是以各個β系數為權數的所有相關滯后的加權平均。扼要地說，它是滯后加權平均時間。（類似于投資學中的久期）

考伊克模型：平均滯后=（17-9）證明：因為0<λ<1,k=0,1,2……當λ↑，中位滯后↑，調整的速度降低；當λ↓，中位滯后↓，調整的速度加快；當λ→0時，中位滯后→0，調整的速度無窮大；五、考伊克模型的合理化：適應性預期模型（AE模型）

假設如下的一個模型：其中：Y=對貨幣（實際現金余額）的需求

=均衡、最優、預期的長期或正常利率

=誤差項方程（17-10）設想，貨幣需求是預期（預測意義的）利率的函數。（17-10）由于預期變量X*不可直接觀測，對預期的形成做如下的設想：

其中γ滿足0≤γ≤1，被稱期望系數（coefficientofexpectation）。假設(17-11)稱適應性預期（adaptiveexpectation）或累進式期望(progressiveexpectation)或錯誤中學習假設（errorlearninghypothesis）。

(17-11)表明：人們每期都按變量的現期值與前期期望值之間的差距的一個分數去修改期望值。（17-11）另一種方法是把（17-11）寫成:

從而說明時間t的利率期望值是時間t的利率真實值與它的前期期望值各以γ和1-γ為權的加權平均。

如果γ=1，則意味期望是立即全部實現的。

如果γ=0，則意味謂期望是靜止的。（17-12）將(17-12)代入(17-10),得到：

現將(17-10)滯后一期并乘以1-γ，得到：

（17-13）-（*），得到:

（其中γ代表期望系數）

(17-14)為適應性預期模型，簡稱AE模型。（17-13）（*）（17-14）回顧一下考伊克模型并將之與AE模型比較：適應性預期模型和考伊克模型的相似之處在于它們都是自回歸模型，并且它們的誤差項類似。它們惟一的區別在于詮釋的方式不同。

AE模型的優點:1.它為經濟參與者的行為提供了一個可靠的預期模型，在模型中他們將根據過去的經驗對他們的預期建模，特別是他們可以從錯誤中學習。2.越遙遠的經驗比越新進的經驗發揮更小的作用，這也符合常識。

RE支持者批評AE的假設（RE假說最先由J．穆特提出，然后由R．盧卡斯和T．薩金特推廣）：

AE假設是不適宜的，因為它在期望的形成中只依靠一個變量的過去值。RE假定：“各個經濟行為者在建立他們的期望時，利用了當前所能獲得的有關信息，并不純粹依賴于過去的經驗。”“預期之所以是合理的，是因為這些預期在其形成時就已有效地容納了所有能夠得到的全部信息”，而不僅僅是過去的信息。六、另一種合理化考伊克模型:存貨調整或部分調整模型這個模型由馬克·納洛夫（MarcNerlove）提出,假定存在一種均衡:在給定的技術、利息率等情況下生產給定產出所需要的最優的,理想的,或者長期的資本存量的數量。簡而言之，即假定理想資本水平X是產出的線性方程。公式：(17-15)

由于理想資本水平并不可直接觀測，納洛夫給出以下假設，該假設又被稱作部分調整或存貨調整。模型如下：(17-16)

其中δ是調整彈性，其值0<δ≤1。同時Yt-Yt-1=實際改變量，Yt*-Yt-1=理想改變量。

由于兩個時期資本存貨的改變量恰恰就等于投資，（17-16）式可改寫為（17-17）在（17-16）式中，若δ=1，則實際資本存貨與理想存貨量相等。也就是說，實際存貨與理想存貨是同步（同一個時間段內）調整的。若δ=0，則意味著沒有發生改變，這是因為在t時的實際存貨與前一時間段的觀測值是相同的。一般說來，δ介于0和1之間。注意：調整機制（17-16）式可以另外表示成（17-18）現在，將（17-18）式中的用（17-15）式替換，得到:這就是部分調整模型。算出（17-19）式的估計量，可以很容易地得出（17-15）式中的系數。部分調整模型同時也是一種自回歸模型。但是必須記住，即使在外觀上此模型與自適應預期模型（AE模型）相似，在概念上他們是不同的。（17-19）七、自回歸模型的估計以上的三個式子實際上都是自回歸，可是不能直接用經典的OLS方法對參數進行估計。考伊克模型適應性預期模型局部調整模型所有這些模型都有如下的共同形式：（17-20）不能直接用經典的OLS對參數進行估計的原因有兩個：

1．隨機解釋變量的存在

2．序列相關的可能性即使假設原來的分布項ut滿足所有的經典假設，如：vt也未必滿足以上所有的性質。以考伊克模型為例

則也就是不為0。而且由于作為一個解釋變量出現在該模型中，它必然和存在相關關系。實際上，可以證明：

以上說明同樣適用于適應性預期模型。

如果在一個回歸模型中的解釋變量和隨機分布干擾項存在相關關系，則OLS估計量不僅有偏，而且不一致。也就是說即使樣本容量無限增大，它的估計量也不會漸進地趨向于真實的總體值。

因此，用傳統的OLS方法對考伊克模型和適應性預期模型進行估計可能會引起嚴重的后果。

但部分調整模型卻不一樣：

在部分調整模型中：因此，如果ut和δut滿足之前的線性回歸模型經典假設，則用OLS對部分調整模型進行估計，得出的結果仍然是一致的，盡管它傾向于有偏（在有限或小樣本中）。直觀地說，它們一致的原因是：盡管Yt-1依賴于ut-1和之前其他的所有干擾項，但它和當前的誤差項ut無關。所以，只要ut是序列獨立，則Yt-1也會獨立，至少和ut不相關，從而滿足用OLS估計的一個重要前提假設。八、工具變量的使用方法(IV)如果有方法能夠把考伊克模型或適應性預期模型中的Yt-1和vt（誤差項）的相關關系去除掉，則能用OLS方法得到一致的估計值。利維亞坦提供了以下的解決方法：假如能夠找到一個替代變量代替Yt-1，它和Yt-1高度相關，但和vt無關，這樣的替代變量稱做工具變量（IV）。利維亞坦建議用Xt作為以下式子的工具變量：這樣，能通過一階條件，對求導，獲得OLS估計的正規方程。

（17-21）（17-22）通過工具變量的方法，用OLS估計得到正規方程:兩組正規方程不同之處在于第三條式子，也就是工具變量Xt-1僅在(17-21)式的第三條式子代替Yt-1，而非出現在第一和第二條式子里。它不是以下的回歸方程：利維亞坦已經證明了從(17-21)式得到的估計值是一致的，而從(17-22)式得到的估計值卻不是一致的，為什么呢？因為Yt-1和可能相關，而Xt和Xt-1則與Vt無關。利維亞坦的方法成功地解決了參數估計的一致性問題，但同時它又可能產生多重共線性問題，因為Xt和Xt-1是高度相關的，因此利維坦的方法盡管得到一致的估計值，但它們卻不是有效的（有較大的方差）。九、在自回歸模型中偵察自相關:德賓h檢驗如12章所提到的，德賓-沃森d統計量可以用來檢測自回歸。但是該統計量不宜用于偵察自回歸模型中的（一階）自相關。這是因為,如果對這些模型使用d檢驗,就會產生內在偏誤,妨礙發現序列相關。同時，d的期望值應當在純隨機序列中。德賓(Durbin)本人提出了自回歸模型一階序列自相關的一個大樣本檢驗,稱之為h統計量：

其中，n=樣本容量，=滯后項Yt-1的方差。（17-23）

德賓h

檢驗要求大樣本容量.

補充:德賓-沃森h檢驗的定義比僅多一個觀察值,因此二者近乎相等。（17-24）h服從標準正態分布：因此取α=5%若h>1.96，則拒絕沒有一階正自相關的假設;若h<-1.96，則拒絕沒有一階負自相關的假設;若-1.96≤h≤1.96，則接受沒有一階自相關的假設。h統計量的特性:

1．不需要考慮自回歸模型中有多少個X變量或多少個Y的滯后值,都可以應用.計算h是只需考慮Y的一階滯后項Yt-1的方差。

2．若大于1,無法使用h檢驗（為什么?）不過,現實中這通常不會發生。

3．由于h檢驗是大樣本檢驗,因此嚴格意義上不能在小樣本檢驗中使用,這點Inder和Kiviet已有證明。十、分布滯后的阿爾蒙方法或多項式分布滯后雖然考伊克模型在現實中廣為應用，但他是基于這樣的假定，即隨著滯后的延長，β系數按幾何方式下降。由圖17-1（b）和（d）可見，似乎βi是滯后長度i的一個函數，并能找到合適的曲線反映兩者之間的函數關系。這就是S.阿爾蒙（ShirleyAlmon）提出的方法。回到前面考慮過的有限分布滯后模型:這又可簡寫為：（17-25）（17-26）圖17-1阿爾蒙多項式滯后模式韋亞斯特拉斯定理：定理表述：阿爾蒙假定βi可用滯后長度i的一個適當高次的多項式來逼近。

阿爾蒙以此定理為基礎，建立了相關的分布滯后模型

Step1：例如，17-1a所展示的滯后模型如果合適，就可寫為：（17-27）

Step2：如果βi遵循圖17-1的模式，則可寫為：

更一般地，可以寫為：

這是i的一個m次多項式。這里假定m（多項式的次數）小于k（滯后的最大長度）。（17-28）（17-29）

Step3:假定β符合圖17-1a所展現的樣式，從而用二次多項式逼近是合適的。將（17-27）代入（17-26），得到：（17-30）

Step4：定義：就可以把（17-30）寫為：

Tips:可以看出（17-31）可以用普通的OLS方法去估計。阿爾蒙技術與考伊克方法相比有明顯的優點，后者由于隨機解釋變量Yt-1的出現很可能與干擾項相關，從而涉及嚴重的估計問題。（17-31）

Step5：由α估計出β。一旦從（17-31）估計出諸α，即可從(17-27）估計原始的諸β系數如下:阿爾蒙方法使用前提在應用阿爾蒙技術之前，必須解決以下實際問題：

1．設定滯后k的最大值，就是（17-26）滯后長度k。

●方法一：這里也許可以采納戴維森和麥金農的意見:從一個很大的滯后長度開始，看模型的擬合度是否會隨滯后長度的減少而顯著惡化。

●方法二：也可以用施瓦茨信息準則選取合適的滯后長度;Eviews能幫助進行AIC檢驗。

2．定出多項式的次數m

方法一：一般地說，多項式的次數應至少比i和βi的函數曲線的轉向點個數大1。如圖17-1a僅有一個轉向點，從而一個二次多項式就是一個良好的逼近。圖17-1c中有兩個轉向點，從而一個三次多項式就是一個良好的逼近。（17-32）方法二：也可以在經濟理論的指導下選擇一個模型。如戴維森和麥金農的建議：從一個足夠大的滯后長度開始,然后逐漸減小。例如在一個二次和三次多項式之間選擇：其中在（17.13.9）中可以發現a2統計上顯著而a3不顯著，就可以認為二次多項式給出了一個較好的近似。（17-33）（17-34）

3．一旦m和k確定了，就很容易構造出諸Z。例如，若m=2,k=5，則諸Z是：（17-35）阿爾蒙滯后程序的優點：

1．它給出了一個涵蓋形形色色的滯后結構的靈活方法。而考伊克系數則拘泥于假定諸β系數是幾何遞減的。

2．在用阿爾蒙方法時不像考伊克技術那樣，不必擔心滯后因變量作為解釋變量出現在模型中從而產生估計問題。

3．如果可以擬合一個足夠低次的多項式，則待估系數（指諸α）的個數要比原先系數（指諸β）的個數要少的多。阿爾蒙技術的問題：

1．多項式次數以及滯后的最大期數基本上是一種主觀臆斷。

2．諸Z變量可能有很大的標準誤，從而使一個或多個系數在通常t檢驗的基礎上在統計上不顯著。十一、經濟學中的因果檢驗：格蘭杰檢驗

回歸分析中考慮一個變量依賴于另一個變量，但這不一定意味著因果關系。

Causality：誘發性,原因,起因,因果性,因果關系,有固定相互聯系的現象之間的關系,因果律

Causation：引起結果，產生效果，原因,起因，因果關系，固定相互聯系的現象之間的關系，因果律

Example：考慮兩個變量：GNP和貨幣供給M。它們相互之間有著分布滯后的影響。換句話說，這里存在著時間序列滯后關系。那么，是否可以確定這兩個變量之間因果關系的方向呢？為了闡明這一點，格蘭杰提出了一個簡單的方法對因果關系進行了檢驗。

格蘭杰檢驗

基本原理

格蘭杰因果關系檢驗假設，有關GDP或M變量的預測信息，全部包含在這兩個變量的時間序列之中。格蘭杰檢驗首先對以下回歸進行估計：（17-36）（17-37）其中假定干擾項μ1t和μ2t不相關。方程（17-36）假擬當前GNP與GNP自身及M的過去值有關。方程（17-37）假擬當前M與M自身以及GNP的過去值有關。在模型中GNP和M可以用和。分別讀作GNP點和M點

(表示GNP的增長率；

表示貨幣供給的增長率）。討論情形：

1．如果（17-36）中滯后M系數的估計量作為一個群體在統計上異于零點（即），并且（17-37）中的滯后GNP系數的估計量的集合不是統計上異于零的（即），則表明有從M到GNP的單向因果關系。

2．反之，如果（17-36）中的滯后M的系數集不是統計上異于零的（即

），而（17-37）中的滯后GNP的系數集卻是統計上異于零的（即），則表明有從GNP到M的單向因果關系。

3．如果M和GNP的系數集在兩個回歸中都是統計上異于零的，則表示有反饋或雙向因果關系。

4．最后，如果M和GNP的系數集在兩個回歸中都不是統計上顯著的，就表示兩者之間各自的獨立性。

結論更為一般的，由于將來不能預測過去，如果變量X是變量Y的（格蘭杰）原因，則X的變化應先于Y的變化。

因此，在做Y對其他變量（包括自身的過去值）的回歸時，如果引入X的過去或滯后值能顯著地改進對Y的預測，就可以說X是Y的（格蘭杰）因。

類似地定義Y是X的（格蘭杰）原因。

格蘭杰檢驗步驟

——以GNP-M一例加以說明

Step1：將當前的GNP對所有的滯后GNP項以及其他變量（如果有的話）做回歸，但在這一回歸中不包括M的滯后變量。這是一個受約束的回歸。從而得到受約束的殘差平方RSSR

Step2：現在做含有M滯后項的回歸，這是一個無約束的回歸，由此回歸得到無約束的殘差平方RSSUR

Step3：原假設是：，即M的滯后項不屬于此回歸。

Step4：為了檢驗此假設，利用F檢驗：

它遵循自由度為m