專訓1.分式的意義及性質的四種題型名師點金：1.從以下幾個方面透徹理解分式的意義：(1)分式無意義?分母為零；(2)分式有意義?分母不為零；(3)分式值為零?分子為零且分母不為零；(4)分式值為正數?分子、分母同號；(5)分式值為負數?分子、分母異號．2．分式的基本性質是約分、通分的依據，而約分、通分為分式的化簡求值奠定了基礎．分式的識別1．在eq\f(3x,4x－2)，eq\f(－5,x2＋7)，eq\f(4x－2,5)，2m，eq\f(x2,π＋1)，eq\f(2m2,m)中，不是分式的式子有()A．1個B．2個C．3個D．4個2．從a－1，3＋π，2，x2＋5中任選2個構成分式，共有________個．分式有無意義的條件3．無論a取何值，下列分式總有意義的是()\f(a＋1,a2)\f(a－1,a2＋1)\f(1,a2－1)\f(1,a＋1)4．當x＝________時，分式eq\f(x－1,x2－1)無意義．5．已知不論x為何實數，分式eq\f(3x＋5,x2－6x＋m)總有意義，試求m的取值范圍．分式值為正、負數或0的條件6．若eq\f(x＋2,x2－2x＋1)的值為正數，則x的取值范圍是()A．x＜－2B．x＜1C．x＞－2且x≠1D．x＞17．若分式eq\f(3x－4,2－x)的值為負數，則x的取值范圍是________．8．已知分式eq\f(a－1,a2－b2)的值為0，求a的值及b的取值范圍．分式的基本性質及其應用9．下列各式正確的是()\f(a,b)＝eq\f(a2,b2)\f(a,b)＝eq\f(ab,a＋b)\f(a,b)＝eq\f(a＋c,b＋c)\f(a,b)＝eq\f(ab,b2)10．要使式子eq\f(1,x－3)＝eq\f(x＋2,x2－x－6)從左到右變形成立，x應滿足的條件是()A．x＞－2B．x＝－2C．x＜－2D．x≠－211．已知eq\f(x,4)＝eq\f(y,6)＝eq\f(z,7)≠0，求eq\f(x＋2y＋3z,6x－5y＋4z)的值．12．已知x＋y＋z＝0，xyz≠0，求eq\f(x,|y＋z|)＋eq\f(y,|z＋x|)＋eq\f(z,|x＋y|)的值．專訓2.分式運算的八種技巧名師點金：分式的加減運算中起關鍵作用的就是通分．但對某些較復雜或具有特定結構的題目，使用一般方法有時計算量太大，容易出錯，有時甚至算不出來，若能結合題目結構特征，靈活運用相關性質、方法、解題技巧，選擇恰當的運算方法與技能，常常能達到化繁為簡、事半功倍的效果．約分計算法1．計算：eq\f(a2＋6a,a2＋3a)－eq\f(a2－9,a2＋6a＋9).整體通分法2．計算：a－2＋eq\f(4,a＋2).順次相加法3．計算：eq\f(1,x－1)＋eq\f(1,x＋1)＋eq\f(2x,x2＋1)＋eq\f(4x3,x4＋1).換元通分法4．計算：(3m－2n)＋eq\f(（3m－2n）3,3m－2n＋1)－(3m－2n)2＋eq\f(2n－3m,3m－2n－1).裂項相消法eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即\f(1,n（n＋1）)＝\f(1,n)－\f(1,n＋1)))5．計算：eq\f(1,a（a＋1）)＋eq\f(1,（a＋1）（a＋2）)＋eq\f(1,（a＋2）（a＋3）)＋…＋eq\f(1,（a＋99）（a＋100）).整體代入法6．已知eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,6)，eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,9)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,15)，求eq\f(abc,ab＋bc＋ac)的值．倒數求值法7．已知eq\f(x,x2－3x＋1)＝－1，求eq\f(x2,x4－9x2＋1)的值．消元法8．已知4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，且xyz≠0，求eq\f(5x2＋2y2－z2,2x2－3y2－10z2)的值．答案專訓11．C點撥：eq\f(4x－2,5)，2m，eq\f(x2,π＋1)不是分式．2．6點撥：以a－1為分母，可構成3個分式；以x2＋5為分母，可構成3個分式，所以共可構成6個分式．3．B4.±15．解：x2－6x＋m＝(x－3)2＋(m－9)．因為(x－3)2≥0，所以當m－9＞0，即m＞9時，x2－6x＋m始終為正數，分式總有意義．6．C點撥：x2－2x＋1＝(x－1)2.因為分式的值為正數，所以x＋2＞0且x－1≠0.解得x＞－2且x≠1.7．x＞2或x＜eq\f(4,3)8．解：因為分式eq\f(a－1,a2－b2)的值為0，所以a－1＝0且a2－b2≠0.解得a＝1且b≠±1.9．D11．解：設eq\f(x,4)＝eq\f(y,6)＝eq\f(z,7)＝k(k≠0)，則x＝4k，y＝6k，z＝7k.所以eq\f(x＋2y＋3z,6x－5y＋4z)＝eq\f(4k＋2×6k＋3×7k,6×4k－5×6k＋4×7k)＝eq\f(37k,22k)＝eq\f(37,22).12．解：由x＋y＋z＝0，xyz≠0可知，x，y，z必為兩正一負或兩負一正．當x，y，z為兩正一負時，不妨設x＞0，y＞0，z＜0，則原式＝eq\f(x,|－x|)＋eq\f(y,|－y|)＋eq\f(z,|－z|)＝1＋1－1＝1；當x，y，z為兩負一正時，不妨設x＞0，y＜0，z＜0，則原式＝eq\f(x,|－x|)＋eq\f(y,|－y|)＋eq\f(z,|－z|)＝1－1－1＝－1.綜上所述，所求式子的值為1或－1.專訓21．解：原式＝eq\f(a（a＋6）,a（a＋3）)－eq\f(（a＋3）（a－3）,（a＋3）2)＝eq\f(a＋6,a＋3)－eq\f(a－3,a＋3)＝eq\f(9,a＋3).點撥：在分式的加減運算中，若分式的分子、分母是多項式，則首先把能因式分解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能約分的先約分，然后再計算，這樣可簡化計算過程．2．解：原式＝eq\f(a－2,1)＋eq\f(4,a＋2)＝eq\f(a2－4,a＋2)＋eq\f(4,a＋2)＝eq\f(a2,a＋2).點撥：整式與分式相加減時，可以先將整式看成分母為1的式子，然后通分相加減．3．解：原式＝eq\f(x＋1,x2－1)＋eq\f(x－1,x2－1)＋eq\f(2x,x2＋1)＋eq\f(4x3,x4＋1)＝eq\f(2x,x2－1)＋eq\f(2x,x2＋1)＋eq\f(4x3,x4＋1)＝eq\f(2x（x2＋1）＋2x（x2－1）,（x2－1）（x2＋1）)＋eq\f(4x3,x4＋1)＝eq\f(4x3,x4－1)＋eq\f(4x3,x4＋1)＝eq\f(4x3（x4＋1）＋4x3（x4－1）,（x4－1）（x4＋1）)＝eq\f(8x7,x8－1).點撥：此類題在計算時，采用“分步通分相加”的方法，逐步遞進進行計算，達到化繁為簡的目的．在解題時既要看到局部特征，又要全局考慮．4．解：設3m－2n＝x，則原式＝x＋eq\f(x3,x＋1)－x2－eq\f(x,x－1)＝eq\f(x（x2－1）＋x3（x－1）－x2（x2－1）－x（x＋1）,（x＋1）（x－1）)＝eq\f(－2x,（x＋1）（x－1）)＝eq\f(4n－6m,（3m－2n＋1）（3m－2n－1）).5．解：原式＝eq\f(1,a)－eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,a＋1)－eq\f(1,a＋2)＋eq\f(1,a＋2)－eq\f(1,a＋3)＋…＋eq\f(1,a＋99)－eq\f(1,a＋100)＝eq\f(1,a)－eq\f(1,a＋100)＝eq\f(100,a（a＋100）).點撥：對于分子是1，分母是相差為1的兩個整式的積的分式相加減，常用eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)進行裂項，然后相加減，這樣可以抵消一些項．6．解：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,6)，eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,9)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,15)，上面各式兩邊分別相加，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))×2＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,9)＋eq\f(1,15)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(31,180).易知abc≠0，所以eq\f(abc,ab＋bc＋ac)＝eq\f(1,\f(1,c)＋\f(1,a)＋\f(1,b))＝eq\f(180,31).7．解：由eq\f(x,x2－3x＋1)＝－1，知x≠0，所以eq\f(x2－3x＋1,x)＝－1.所以x－3＋eq\f(1,x)＝－1.即x＋eq\f(1,x)＝2.所以eq\f(x4－9x2＋1,x2)＝x2－9＋eq\f(1,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(2)－11＝22－11＝－7.所以eq\f(x2,x4－9x2＋1)＝－eq\f(1,7).8．